数学建模论文——城市公共系统规划自行车租赁服务

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目录

一、问题的重述 (2)

1.1 问题背景 (2)

1.2 问题提出 (2)

二、问题的分析 (3)

2.1 问题一的分析 (3)

2.2 问题二的分析 (3)

2.3 问题三的分析 (3)

三、模型的假设 (3)

四、符号的说明 (4)

五、模型的建立、求解与结果分析 (5)

5.1 问题一的模型 (5)

模型建立 (5)

模型求解 (7)

结果分析 (7)

5.2 问题二的模型 (13)

模型建立 (13)

模型求解 (13)

结果分析 (14)

5.3 问题三的模型 (15)

模型建立 (15)

模型求解 (17)

结果分析 (18)

六、模型的评价 (19)

6.1 模型的优点 (19)

6.2 模型的不足 (19)

6.3 模型的改进 (19)

七、参考文献 (19)

八、附录 (20)

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一、问题的重述

1.1 问题背景

近年来，随着经济的发展，我国各级城市的机动车保有量都进入了持续高速增长时期，但由此所引发的道路拥堵、空气污染也引起了政府以及百姓的极大关注。众所周知，建立快速、便捷的城市公共交通体系是解决这一问题的有效手段之一。然而，居民居住地和交通站点通常都有一段距离，这段不远的距离以及现实存在的公共交通拥挤现象则使居民乘坐公共交通的意愿降低，公共自行车服务系统已被证明能够从一定程度上缓解这一现象。

1.2 问题提出

公共自行车服务系统是指在某个区域内，隔一定距离规划出一些停放自行车的租赁点（如地铁出口、城市中心等人员密集的地方），一个租赁点放置一定数量的自行车，很多的自行车租赁点共同组成一个网络以形成一个服务系统，居民可以在任意租赁点租、还车辆，费用全免（某些城市收取少量的超时费用，但目的只是用来提高自行车的利用率，不以盈利为目的），根据租赁点自行车的使用频率，避免部分租赁点的自行车短缺或堆积现象发生，将通过调度专用车进行合理调度，以最大程度地满足居民对车辆需求，提高车辆利用率（系统有自动报警功能。

公共自行车租赁服务系统纳入城市公共交通体系，有助于解决公交出行“最后一公里”问题，使公共交通服务网络趋于更加完善。西安市经开区公共自行车服务系统于2011年4月开始建设，到目前为止，已建成租赁点30个（附件1），自行车总量达到850辆。目前正在筹备第三期建设。

根据题目中给出的条件和附录中的信息解决如下几个问题：

（1）根据目前经开区网点自行车需求情况等信息，若要求调度平均耗时尽量少，请针对已有的30个租赁点设计最优车辆分配方案、调度方案，并给出完成调度所耗费的时间。

（2）假设经开区公共自行车服务系统三期建设准备投入建设经费200万元，据此建立数学模型，确定新增租赁点数目、位置以及合适的放置车辆数目。

（3）针对问题（2），进一步研究，如果要求在150min内完成调度，是否需要增加调度车辆（购置调度车辆费用由其它项目经费解决，不包含在三期建设提

供的200万元经费中间）？并给出该情形下的自行车调度方案。

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二、问题的分析

2.1 问题一的分析

问题一是一个TSP问题（即货郎担问题），没有提及任何的费用问题，只需要考虑时间以及路程，而在分析过程中路程可以用时间来衡量，装卸自行车也使用时间来衡量，因此这可以看成是一个单目标规划问题，利用lingo编程用穷举的的方法对最短路程进行求解，进而转化成时间，目标是使调度车行驶的时间最少。

2.2 问题二的分析

问题二中，经开区公共自行车服务系统三期建设准备投入建设经费200万元，由此建立线性规划数学模型，确定新增租赁点数目、位置以及合适的放置车辆数目。我们在此首先考虑居民需求，也就是在满足租赁点自行车数量上限的前提下，使得公共自行车数量达到最大值，确定租赁点相应数目对应地点后，利用几何关系，分析比较新增租赁点分布合理性，从而解出新增租赁点的数目、位置和各个租赁点分配的自行车数量。

2.3 问题三的分析

问题三中，针对问题（2），进一步研究，题目要求在150min内完成调度，若总用时低于150min则不需要增加调度车辆，若总用时大于150min则需要增加调度车辆。该问相当于是问题一的拓广，我们在此利用问题一的模型，只需要考虑时间以及路程，而在分析过程中路程可以用时间来衡量，由此转化成关于时间的单目标函数求解，即求解一辆调度车时的最短路径，两辆调度车时的调度总用时，三辆车时的调度总用时……当车辆数目满足调度用时小于150min时，确定此时的调度路线，即为所求解。

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三、模型的假设

1.租赁点之间的距离使用经纬度计算，即假设到达任意租赁点所走的路程

就是两租赁点之间的距离，不考虑街道等因素对本题模型的影响。2.为简化模型，不考虑调度车启动和停止的时间，假设调度车运输过程匀

速行驶，不会受到交通事故、红绿灯等外界因素的影响。

3.假设各个租赁点每天的自行车需求量不变，且自行车的需求时间刚好处

在附件二中的时间段。

4.假设居民的骑行距离不超过2km，在某个租赁点还车的概率与租车点和

还车点的距离成反比，骑行距离超过2km的情况一定不会发生。

5.求解过程中，自行车数量出现小数时采用四舍五入取整。

四、符号的说明

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五、模型的建立、求解与结果分析

5.1 问题一的模型

模型建立

在问题一中，我们考虑编号为1到30的租点。建立以调度车行驶时间最少为目标的模型，我们结合调度车行驶的方向性，运用lingo 编程找出任意两个租赁点的可行最短路径，也就是运用穷举的方法筛选出最短的行驶路径，从而求出从一个点到另一个点花费的时间。

设租赁点之间的距离用矩阵d 来表示，ij

d 表示租赁点i 与租赁点j 之间的距

离。而租赁点之间的距离

ij

d 本模型按照题目要求用经纬度进行计算，此运算过

程用Matlab 编程实现，设0-1矩阵x 用来表示经过的个城市之间的路线。设：

0,1,ij i j

x i j i j ?=?

?若租赁点不到租赁点若租赁点到租赁点，且在之前 考虑每个租赁点后只有一个租赁点，则

11,i 1,2,,n

ij

j j i

x

n

=≠==∑

考虑每个租赁点前只有一个租赁点，则

11,1,2,n

ij

i i j

x

j n

=≠==∑

但仅有以上约束条件不能避免在一次遍历中产生多于一个互不连通回路。为此我们引入额外变量i

u ()1,2,,i n =，附加一下充分约束条件，即

1,1i j ij u u nx n i j n

-+≤-<≠≤

该约束的解释为：

①i 与j 不会构成回路，若构成回路有ij x =1，ji x =1，则1,1,i j

j i u u u u -≤--≤-从而有02≤-,导致矛盾；

②i ，j 与k 不会构成回路，若构成回路有

ji

x =1，jk x =1，ki x =1，则i j u u -≤

-1，

2,2,1,12,2,n n i j n n <≠程序进行实现，求得在一辆调度车的行驶的最短路径，

模型求解

经过lingo编程能够得到最短路线经过的租赁点序号：

x(1,2)=1, x(2,3)=1, x(3,17)=1, x(4,22)=1, x(5,19)=1, x(6,23)=1, x(7,8)=1, x(8,27)=1, x(9,30)=1, x(10,28)=1, x(11,12)=1, x(12,14)=1, x(13,15)=1, x(14,13)=1, x(15,16)=1, x(16,1)=1, x(17,4)=1, x(18,11)=1, x(19,29)=1, x(20,5)=1, x(21,20)=1, x(22,6)=1, x(23,24)=1, x(24,10)=1, x(25,21)=1, x(26,25)=1, x(27,26)=1, x(28,9)=1, x(29,18)=1, x(30,7)=1 而其余全为0。由以上数据可以得到一辆调度车时的最佳行车回路为：

→1→2→3→17→4→22→6→23→24→10→28→9→30→7→8→27→26→25→21→20→5→19→29→18→11→12→14→13→15→16→1→

总共用时27.87min。本文问题一中有两辆调度车进行运输，考虑到调度问题的复杂性，结合实际情况把租赁点进行分区管理，使调度过程简单、效率高，本模型将只有一辆调度车时最佳行驶路线经过的租赁点划分为两部分，两辆调度车分别经过各自租赁点的时间基本相等。分组如下

第一组：→11→12→14→13→15→16→1→2→3→17→4→22→6→23→24→第二组：→10→28→9→30→7→8→27→26→25→21→20→5→19→29→18→假设每辆调度车负责的区域一定，则每组的租赁点调度时应该构成行驶路线回路，使用附录二中的程序分别对两组租赁点的最佳行驶路线进行求解，得到最佳行驶路线：

第一组：→7→30→28→10→9→8→21→20→5→19→18→25→26→27→7→所花费时间18.75min

第二组：→1→15→11→12→13→14→2→3→17→4→22→24→23→6→29→16→1→所花费时间20.02min

如下图所示

结果分析

1.该模型的调度时间在合理可控的范围之内，能够很好地实现车辆调度只在附件2中车辆需要最多的时间段进行这一目标，本模型的计算结果有很高的理论意义和实用价值。

2.各租赁点实际装卸车辆时间和该组运输过程已经超出了要求的时间，即在车辆需要最多的时间段完成调度，本模型对租赁点增减调度车辆进行适当的调

整，使模型的最终结果很好地满足题目中的要求。

3.本模型中数据使用四舍五入取整，使模型的数据易于计算，但此处由路程求得的时间并未进行取整，使得最终结果相对于全部取整得到的结果更加精确。

5.2 问题二的模型

模型建立

问题2中，要求在事先确定了70个备选租赁点选择k个点作为三期建设点，利用excel求出该70个点的日平均车辆需求量，数据处理得到降序的日需求量值，按照日均值数据大小进行编号，如下图所示

已知建设经费为200万元，一辆自行车的花费金额为0.1万元，设建设花费总金额为W ，新增租赁点个数为k,新增自行车数目为m,对应的降序排列日平均车辆需求量为y k

因此，由线性关系，得到目标函数： maxW=5*k+0.1m ≤200; 约束条件为;

10m 1

1

≥-

∑∑==k

l

l k

l

l y y % ,

y l

>0,

y

l

≤f l ≤40,

m, k 均为整数，

利用以上线性规划模型，用matlab 求解。

模型求解

求解结果为k=24,m ≥762，

则新增租赁点数目为24个，可购买自max M=800

结合该新增的24个租赁点一天内三个时间段自行车需求量与平均需求量，对相应租赁点自行车放置数目进行初步的配置，如图所示;

新增租赁点具体位置分布简化为下图所示，以问题（1）中分化区域界限为基准，新增点分布在对应的上下区域内；

结果分析

新增租赁点设置以满足日均最大需求量为基准，在经费额度内，三期设置24个点时，车辆日平均总需求量为692辆，则实际车辆数目应满足超出需求的10%，即762辆，此时花费总额为196.2万元；当三期设置25个点时，车辆日均总需求量为713辆，实际车辆数为784辆，此时花费总额为203万，超出经费总额度；故三期建设设置24个租赁点满足最大经费利用。且以该区域中心点为原点时，新增24个点较为均匀的分布在该区域内。

5.3 问题三的模型

模型建立

在问题三中，我们将已建成的30个租赁点与问题二中求解的三期新增的24个租赁点重新编号为1到54，建立以调度车行驶时间最少为目标的模型中，结合调度车行驶的方向性，运用lingo编程找出全程租赁点的可行最短路径，也就是运用穷举的方法筛选出最短的行驶路径，从而求出调度车完成调度时道路行驶

花费的时间。

问题三处理过程相当于是对问题一的拓广，模型建立相同，即利用lingo 求解货郎担问题解法。

如下的模型：

,1

11min 1,i 1,2,..1,i 1,2,1,101,,1,2,i 1,2,n

ij ij

i j n

ij i i j n

ij j j i i j ij ij i z d x x n s t x n u u nx n i j n x i j n u n ==≠=≠?

=???==?????==???

-+≤-<≠≤??==?=??∑∑∑或为实数，

然后运用lingo 程序进行实现，求得在一辆调度车的行驶的最短路径，即本全局最优解。然后利用问题一中上下区域分界线，对应的54个租赁点分布在上下区域，求解两辆调度车调度最短路径；

同问题一，建立线性规划模型，求解调度车装卸车用时，

将z与150min比较，若满足z小于150min,则调度车分配合理；若z大于150min,则将一辆调度车工作时最短路线分为三个工作段，3辆调度车循环工作在该三个段中，即该时段在1段调度，下时段在2段调度，在下一时段在3段调度，三辆车循环工作，比较与150min大小，直至满足z小于150min.

模型求解

利用lingo求解，当增加两辆调度车，即总共4辆调度车时满足z小于150min。

数据呈现为，当为一辆调度车工作时，最短路径为

→36→33→31→14→13→88→12→87→84→11→80→77→72→18→19→5→20→21→69→25→26→27→63→7→30→8→47→9→10→28→56→60→79→62→73→76→29→16→15→1→2→34→3→17→4→6→23→46→49→50→24→45→22

→36→，此时耗时为t=73.58min;

当两辆调度车分区工作时，

上区域最短调度路径为

→7→30→8→47→9→10→28→56→60→79→62→73→76→77→72→18→19→5→20→21→69→25→26→27→63→7，此时耗时t=31.32min;

下区域最短调度路径为

→1→2→34→3→17→4→6→23→46→49→50→24→45→22→36→33→31→14→13→88→12→87→84→11→80→29→16→15→1，此时耗时t=40,50min;

装卸车用时（仅考虑三个时段中的早时段）上区域耗时t=138min，下区域耗时t=146min,总用时均超出150min;

运用matlab软件求解，当将该最短路径按照相应调度用时分为四段时，即有4辆调度车工作时，t1=138.11min,t2=128.09min,t3=117.17min,t4=132.03min,t 值均小于150min,此时调度情况为，

一段：→22→36→33→31→14→13→88→12→87→84→11→80→77→72→二段：→72→→18→19→5→20→21→69→25→26→27→63→7→30→8→三段：→8→47→9→10→28→56→60→79→62→73→76→29→16→15→

四段：→15→1→2→34→3→17→4→6→23→46→49→50→24→45→22→该四段构成一个完整的调度路线，且满足题设条件。

结果分析

该模型的调度时间在合理可控的范围之内，能够很好地实现车辆调度只在车辆需要最多的时间段进行这一目标，本模型的计算结果有很高的理论意义和实用价值。

该模型先将在一辆调度车工作时的最短路径求解出来，通过逐一增加调度车辆数目以对上述路径分段，求解出各段调度车调度总用时来与条件进行比较，方法较繁琐却较为准确的满足条件。

本模型中数据使用四舍五入取整，使模型的数据易于计算，但此处由路程求得的时间并未进行取整，使得最终结果相对于全部取整得到的结果更加精确。

六、模型的评价

6.1 模型的优点

1)根据题目要求实时观测到的数据归结到3个车辆使用需求最多的时间

段，并进行了平均（可以认为每天的需求量不变），这样使我们的求解简

单易行，且不影响结果的正确性。

2)我们使用了TSP问题模型，通过Lingo求解可以很容易求出通过每个点

的最优路径，具有非常好的普适性，并且该模型符合调度车辆调度时基

本经过每一个租赁点的实际情况，具有很好的实用性。

3)求最优行驶路径时我们未考虑红、绿灯，十字路口等实际问题，而且并

未涉及天气变化对自行车出租造成的影响，仅考虑租赁点间距离，所以

该方法可以很容易推广到求解其他类似问题。

4)求解最短调度时间时，我们采用的是尽量满足大多数人的需求，所以对

由MATLAB计算出的数据采用Excel表格进行了合理平均和取整处理，

同时该方法也符合实际中大多数资源优化配置所采用的策略方案，具有

很好的推广性。

6.2 模型的不足

1)本模型开始求解阶段根据一辆车的最优运行路径和租赁点的具体位置对

租赁点进行了人为划分，该划分很有可能并非最佳的。

2)本模型距离是通过经纬度计算求得的直线距离，两点之间永远是直线距

离最短，且未考虑到实际中的道路畅通与否问题。但该问题仅给出了各

点的经纬度，未给出实际距离，而采用经纬度计算出结果是在误差允许

的范围之内的，因此这样的假设是可以接受的。

3)求解问题二时，模型建立相当粗糙，约束条件较少，使得结果呈现的效

果局限性较大

6.3 模型的改进

第三问模型在前两问的基础上并未继续分区，而是采用分片负责，循环

往复的方法，该方法节省了调度车辆的运行时间。如果第一问也采用该

方法，将会节约大约5min调度的时间，而随着调度车辆数量的增加，该

时间将进一步减少。

七、参考文献

1.肖华勇.《实用数学建模与软件应用》.西安：西北工业大学出版社，2008

2.刘承平.《数学建模方法》.北京：高等教育出版社，2002

3.孙蓬.《matlab基础教程》.北京：清华大学出版社，2011

4.徐伟，师义民，秦超英，孙浩.《概率论与数理统计》.北京：高等教育出版

社，2009

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八、附录

附录一

Latitude=[34.324828, 34.323762, 34.326341, 34.333265, 34.334874, 34.338787, 34.350865, 34.347572, 34.353369, 34.362644, ...,

34.321862, 34.320289, 34.320766, 34.319536, 34.325223, 34.326699, 34.327779, 34.332914, 34.333272, 34.336238, ...,

34.339934, 34.339114, 34.342825, 34.346730, 34.347557, 34.347512, 34.347840, 34.362294, 34.330239, 34.353466, ...,

34.319670, 34.316808, 34.323129, 34.323307, 34.322830, 34.328435, 34.331893, 34.332668, 34.330462, 34.335888, ...,

34.336245, 34.336424, 34.339405, 34.343161, 34.342922, 34.347572, 34.347632, 34.346916, 34.350552, 34.353056, ...,

34.353771, 34.357645, 34.357884, 34.358718, 34.366227, 34.367896, 34.361221, 34.364738, 34.358241, 34.359850, ...,

34.353652, 34.347810, 34.350195, 34.351983, 34.343757, 34.343042, 34.342684, 34.345009, 34.341074, 34.342714, ...,

34.336603, 34.333145, 34.346708, 34.335560, 34.330254, 34.338720, 34.328584, 34.332162, 34.335679, 34.328435, ...,

34.323785, 34.326289, 34.325275, 34.320684, 34.316868, 34.316808, 34.316927, 34.317702, 34.324275, 34.357764, ...,

34.353413, 34.350254, 34.340597, 34.334159, 34.329270, 34.326408, 34.321698, 34.318537, 34.322473, 34.317166];

Longitude=[108.952954, 108.948562, 108.943199, 108.943387, 108.953161, 108.944636, 108.952532, 108.950232, 108.945525, 108.936075, ...,

108.966896, 108.958515, 108.954131, 108.953233, 108.954643, 108.955020, 108.943360, 108.959745, 108.953439, 108.954014, ...,

108.954176, 108.940288, 108.944591, 108.932985, 108.962386, 108.959018, 108.956170, 108.945435, 108.953287, 108.950170, ...,

108.945121, 108.937072, 108.937072, 108.943540, 108.929958, 108.935779, 108.928377, 108.936929, 108.943540, 108.927514, ...,

108.936569, 108.945193, 108.935707, 108.935563, 108.927658, 108.936785, 108.943827, 108.927442, 108.935779, 108.926867, ...,

108.936857, 108.936138, 108.927514, 108.945049, 108.945768, 108.951301, 108.947421, 108.952308, 108.952954, 108.959566, ...,

108.960284, 108.967399, 108.955254, 108.964093, 108.953098, 108.966177, 108.957194, 108.962297, 108.963375, 108.972034, ...,

108.960213, 108.960716, 108.971459, 108.975628, 108.963985, 108.971891, 108.971172, 108.969088, 108.966932, 108.960788, ...,