2013艺术生高考数学复习学案(二)
§37 平面向量 1 (1)
【考点及要求】
1．解掌握平面向量的概念； 2．握平面向量的线性运算． 【基础知识】
1．向量的概念（向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量）；
2．向量的加法与减法（法则、几何意义）；
3．实数与向量的积（定义、运算律、两个向量共线定理）； 4．平面向量基本定理. 【基本训练】
1．判断下列命题是否正确：
⑴两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； （ ） ⑵若四边形ABCD 是平行四边形，则AB =DC ； （ ） ⑶若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；
（ ）
⑷若AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线； （ ） ⑸若AB +BC +CA =0，则A 、B 、C 三点共线；
（ ）
2．若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于（ ） A ．b +a 21
B ．b a
2
1-
C ．a +b 2
1 D ．a b
2
1-
3．设M 为△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ）
A ．A
B +B
C +AC B ．AM +MB +BC
C ．AM +BM +CM
D ．3AM +AC
4．已知C 是线段AB 上一点，BC =λCA （λ＞0）．若OA =a ，OB =b ，请用a ，
b
表示OC ．
O
A
D
B
C
M
N
【典型例题讲练】
例1、如图所示，OADB 是以向量OA =a ，OB =b 为边的平行四边形，又BM=31
BC ，
CN=3
1
CD ．试用a ，b 表示OM ，ON ，MN ．
变式: 平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →
＝d ，
试用c ，d 表示AB →和AD →.
例2设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量
（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e )，求证A 、B 、D 三点共线；
（2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．
变式: 已知OA 、OB 不共线，OP = a OA +b OB ．求证：A 、P 、B 三点共线的充
要条件是a +b =1． 【课堂小结】
向量是既有大小又有方向的量,应用概念解题,注意数形结合；能够从图形和代数式两个角度理解向量的加减以及数乘运算。 【课堂检测】
1．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段
中所表示的向量中，
（1）与向量FE
共线的有 ． （2）与向量D F
的模相等的有 ．
（3）与向量ED
相等的有 ．
2．已知正方形ABCD 边长为1，AB +BC +AC 模等于（ ）
A ．0
B ．3
C ．22
D ．2
3．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →； ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
4．已知ABC D 中，点E 是对角线AC 上靠近A 的一个三等分点，设EA →＝a ，EB →
＝
b ，则向量BC 等于 （ ） A. 2a ＋b
B.2a －b
C.b －2a
D.－b －2a
§38 平面向量 1 (2)
【典型例题讲练】
例3如图，OA →＝a ，OB →＝b ，AP →＝t AB →（t ∈R)，当P 是（1）AB →中点，（2）AB →的三等分点（离A 近的一个）时，分别求OP →.
变式: 在△OAB 中，C 是AB 边上一点，且BC
CA
＝λ(λ>0)，若OA →＝a ，OB →＝b ，
试用a，b表示OC→.
例4．某人在静水中游泳，速度为4 3 千米/时，他在水流速度为4千米/时的
河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
变式:一艘船从A点出发以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时
河水的流速为 2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
【课堂小结】
在理解向量加减法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则以及减法的三角形法则，并了解向量加减法在物理学中的应用。
【课堂检测】
1．四边形A BCD满足AD→＝BC→，且｜AC→｜＝｜BD→｜，则四边形A BCD是 .
2．化简：（AD→＋MB→）＋（BC→＋CM→）＝
3．若AB→＝5e1，CD→＝－7e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是
（）
A.平行四边形
B.等腰梯形
C.菱形
D.梯形但两腰不相等
【课后作业】
1．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给
出下列命题：①AB→＝－1
2
a－b②BE→＝a＋
1
2
b③CF→＝－
1
2
a＋
1
2
b④AD→＋
BE →
＋CF →＝0.其中正确的命题个数为 （ ） A.1
B.2
C.3
D.4
2．若O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于 （ ） A. AO →
B. BO →
C. CO →
D. DO →
3．已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：PG ＝1
3
(PA ＋PB ＋PC ).
§39
平面向量 2 (1)
【考点及要求】
1. 理解平面向量的坐标表示；
2. 掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；
3. 理解向量平行的等价条件的坐标形式． 【基础知识】
1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j 成立，即向量a 的坐标是________
2.平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝___________， a －b ＝____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.
4.实数与向量积的坐标表示：若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________
5. 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，由a ∥b ? x 1 y 2－x 2 y 1＝_______ 【基本训练】 1.设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、
d 的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( )
A.（2,6）
B.（-2,6）
C.（2,-6）
D.（-2,-6） 2.平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足2
1AC =
→
--→
--CB
，连DC 并延
长至E ，使|
→
--CE
|=
4
1|
→
--ED
|，则点E 坐标为：
( )
A 、（-8，3
5-
） B 、（3
11,
3
8-
） C 、（0，1） D 、（0，1）或
（2，3
11）
3．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ）
A ．x =1,y =3
B ．x =3,y =1
C ．x =1,y =－5
D ．x =5,y =－1 4．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αt a n =
（ ） A ．4
3 B ．4
3-
C ．
3
4 D ．3
4-
【典型例题讲练】
例1、 已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，
3）、（3，4），求顶点D 的坐标。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A (-2，4)，B (3，-1)，C (-3，-4)，且CA CM 3 ＝，CB CN 2 ＝，求M ，N 的坐标和MN 的坐标.
变式: 若向量j i AB 2 -＝，j m i BC + ＝，其中i ，j 分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，求使A ，B ，C 三点共线的m 值.
【课堂小结】
设：(x 1, y 1)、b
(x 2, y 2)
（1）加减法：a 〒b =(x 1〒x 2,y 1〒y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). （2）数乘：若a =(x,y),则λa =(λx,λy)
（3）a
∥b
(b ≠0)12210a b x y x y λ?=?-=
注意：充要条件不能写成：112
2
x y x y =或1
12
2
x
y x y =
，但在解题中，当分母不为0时常
使用； 【课堂检测】
1．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ）
A ．x =1,y =3
B ．x =3,y =1
C ．x =1,y =－5
D ．x =5,y =－1 2．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αt a n =
（ ） A ．
4
3 B ．4
3-
C ．
3
4 D ．3
4-
3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= 5．已知A B C D 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________
§40 平面向量 2 (2)
【典型例题讲练】
例3已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及.AB t OA OP +＝问：
(1) t 为何值时，P 在x 轴上? P 在第二象限？ (2) 四边形OABP 能否成为平行四边形？若能；求出相应的t 值；若不能；请说
明理由.
变式: 已知a ＝(3, -1), b ＝(-1, 2), c
＝(-1,0), 求λ与μ，使
c a b λμ=+
例4．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝( y ，2y -x )的对应关系用)( u f v ＝表示， (1) 证明对于任意向量a ，b 及常数m ，n 恒有)
()()(b nf a mf b n a m f ++＝成立；
(2) 设a ＝(1，1)，b ＝(1，0)，求向量)
(a f 及
)
(b f 的坐标；
变式引申: 求使)(c f ＝(p ，q ) (p ，q 为常数)的向量c 的坐标.
【课堂小结】
运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 【课堂检测】
1．若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 2．已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上，求x 的值.
3．已知向量a =(2x －y +1,x +y －2), b
=(2,－2),x 、y 为何值时，
(1)a b = ； (2) //a b
【课后作业】
1．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ； （2）若()()
a b c k a -+2//，求实数k ；
2.(2005湖北)．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是
3.设→
--OA =（3，1），→
--OB =（-1，2），→
--OC ⊥→
--OB ，→
--BC ∥→
--OA ，O 为坐标原点，则满足→
--OD +→
--OA =→
--OC 的→
--OD 的坐标是＿＿＿＿
§41
平面向量 3 (1)
【考点及要求】
熟练掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的几个重要性质及数量积运算规律解决有关问题。 【基础知识】
1．知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则有a 〃 b ＝___________ ，
其中夹角θ的取值范围是________。规定0〃a ＝___________；向量的数量积的结果是一个______。
2．设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ0是a 与e 夹角，θ是a 与b 夹角.
①e 〃a ＝a 〃e ＝｜a ｜cos θ0；②a ⊥b ?a 〃b ＝_____；③当a 与b 同向时，a 〃b ＝______；
当a 与b 反向时，a 〃b ＝_______；特别地，a 〃a ＝_______或｜a ｜＝_________。④cos θ＝____________；⑤｜a 〃b ｜____｜a ｜｜b ｜（用不等号填空）。
3．平面向量数量积的坐标表示：
已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a 〃b ＝_____________；记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝_______________。其中｜a ｜=_________。
4.两向量垂直的坐标表示：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?___________.
【基本训练】
1.判断正误，并简要说明理由.
①a〃0＝0；②0〃a＝0；③0－AB→＝BA→；④｜a〃b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b有a〃b≠0；⑥a〃b＝0，则a与b中至少有一个为0；
⑦对任意向量a，b，c都有(a〃b)c＝a(b〃c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.⑨a〃b>0，则它们的夹角为锐角。
2. 已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则BC→〃CA→=__________
3．已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，则a〃b=_________ 4．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为（）
（1）（a〃b）〃c－(c〃a)〃b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b| （3）(b〃c)〃a－(c〃a)〃b不与c垂直（4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2
A.（2）（4）
B.（2）（3）
C.（1）（2）
D.（3）（4）5．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）〃（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为（）
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【典型例题讲练】
例2、已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a〃b.
变式：设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .
例2已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
变式:已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a〃b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
【课堂小结】
掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
【课堂检测】
1．△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且a〃b＞0，则△ABC为（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
2．已知等边△ABC的边长为1，且BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a〃b＋b〃c＋c〃a 等于（）
A.－3
2
B.
3
2
C.0
D. 9 4
3．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为（）
A.60°
B.90°
C.45°
D.30°
4．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .
5．已知| i |＝| j|＝1，i〃j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a〃b ＝ .
6．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a〃b＝ .
§42 平面向量 3 (2)
【典型例题讲练】
例3已知a＝(1， 3 )，b＝( 3 ＋1， 3 －1)，则a与b的夹角是多少?
变式: 已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(x a＋y b)⊥a，且｜x a ＋y b｜＝1.
例4．在△ABC中，AB→＝(1，1)，AC→＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.
变式1:已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a ＋5b与m a－3b互相垂直？
变式2:已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且AP→＝tAB→ (0≤t≤1)，则OA→〃OP→的最大值是多少?
【课堂小结】
掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，
能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
【课堂检测】
1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为
（）
A.平行
B.不平行不垂直
C.a⊥b
D.以
上均不对
2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a〃b为
（）
A.63
B.83
C.23
D.57 3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－x b)⊥（a－b)，则x等于
（）
A.－23
B. 7
2
C.－
7
3
D.－
7
4
4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为（）
A.（10
3
，+∞） B.［
10
3
，+∞）
C.（－∞，10
3
） D.（－∞，
10
3
］
5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为（）
A.－
13
13
B.
13
13
C.0
D.1
【课后作业】
1．已知向量c与向量a＝（ 3 ，－1）和b＝（1， 3 ）的夹角相等，c的模
为 2 ，则
c＝ .
2．若a＝（3，4），b＝(1，2)且a〃b＝10，则b在a上的投影为 .
3．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：
①|a|＝x12＋y12②b2＝x22＋y22③a〃b＝x1x`2＋y1y`2④a⊥b?x1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 .
4．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：AB→⊥AD→；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
5．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
6．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
§43 平面向量 4 (1)
【考点及要求】
利用平面向量的概念及运算法则，尤其在掌握向量平行与垂直的性质的基础上，解决向量相关问题。
【基础知识】
（1）平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝____________________；
（2）两个向量平行的充要条件
a∥b?_______________?_________________
（3）两个向量垂直的充要条件
a⊥b?_______________?_________________
【基本训练】
1.选择题
已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A．a与b相等
B．如果a与b平行，那么a与b相等
C. a〃b＝1
D．a2＝b2
2．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是
A.a⊥b?a〃b＝0
B.a〃b＝｜a｜〃｜b｜
C.a〃b＝－b〃a
D.a〃b＝－｜a｜〃｜b｜
3．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若AB→∥BC→，则x的值为
A.0
B.3
C.15
D.18 4．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)〃(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
5．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与k a－4b也互相垂直，则k的值为
A.－6
B.6
C.3
D.－3 6．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝p a＋q b，则实数p、q
的值为
A.p＝4，q＝1
B.p＝1，q＝4
C.p＝0，q＝1
D.p＝1，q＝－4
7．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是
A.3i＋2j
B.－2i＋3j
C.－3i＋2j
D.2i－3j
8．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为
A.2i－j
B.i－2j
C.2i＋j
D.i
＋2j
【典型例题讲练】
例1四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DA→＝d，且a〃b＝b〃c＝c〃d
＝d〃a，试问四边形ABCD是什么图形?
变式：在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且a〃b＜0，则△ABC的形状是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
例2若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|.
证明：a⊥b.
变式引申: .已知a＋b＝c，a－b＝d 求证：|a|＝|b| c⊥d
【课堂小结】
1.熟悉向量的性质及运算律；
2.能根据向量性质特点构造向量；
3.熟练平
面几何性质在解题中应用；4.熟练向量求解的坐标化思路.
【课堂检测】
1当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.相等
2下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；
③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，
故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |
A.①②③
B.⑤
C.③⑤
D.①⑤
3下列四式中不能
．．化简为PQ的是（）
A.)
BA
PC
AB-
(QC
+
+
(BQ
)
AB+
PA
+ B.)
(
C.CQ
PA-
+
AB
QP
- D.BQ
QC+
3．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)〃(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°4．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与k a－4b也互相垂直，则k的值为
A.－6
B.6
C.3
D.－3 5．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝p a＋q b，则实数p、q
的值为
A.p＝4，q＝1
B.p＝1，q＝4
C.p＝0，q＝1
D.p＝1，q＝－4
6．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是
A.3i＋2j
B.－2i＋3j
C.－3i＋2j
D.2i－3j
7．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为
A.2i－j
B.i－2j
C.2i＋j
D.i
＋2j
8．已知a2＝2a〃b，b2＝2a〃b，则a与b的夹角为
A.0°
B.30°
C.60°
D.180°
§44 平面向量 4 (2)
【典型例题讲练】
例3圆O 内两弦AB 、CD 垂直相交于P 点，求证：PO PD PC PB PA 2=+++.
变式: 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标. 例4．已知A(3,0),B(0,3),C(cos ).sin ,αα (1)若α2sin ,1求-=?BC AC 的值；
(2)若. OC ),,0(,13||的夹角与求且OB OC OA πα∈=+
变式1: 平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足
OC
=OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为
变式2: 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于m ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AF AE ?的值为
【课堂小结】
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.在综合学习向量知识之后，解决问题的途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质. 【课堂检测】
1．设-=1(a
cos α
,
3), (=b sin )3,α,且a ∥b
， 则锐角α为
2．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，
动点2),(x PB PA y x P =?满足，则点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
3．已知向量值是
相互垂直，则
与且k b a b a k b a
-+-==2),2,0,1(),0,1,1( 4．已知b a
,是非零向量且满足的夹角是
与则b a b a b a b a
,)2(,)2(⊥-⊥-
【课后作业】
1．若A,B 两点的坐标是A(3φcos ,3φsin ,1),B(2,cos θ2,sin θ1),|AB |的取值范围是
A. [0,5]
B. [1,5]
C. (1,5)
D. [1,25]
2．（选做）从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(-=a
方向取线段长|AB|=34,则点B 的坐标为
A.(-9,-7,7)
B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7)
C. (18,17,-17)
D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)
3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 已知两点A(3, 1)， B(-1, 3)，若点C 满足
OC
=OB OA βα+, 其中α、β∈R 且α+β=1, 则点C 的轨迹方程为 ( )
A.01123=-+y x
B.5)2()1(22=-+-y x
C. 02=-y x
D. 052=-+y x
§45 等差数列(1)
【考点及要求】
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式、前n 项和的公式，能运用公式解决一些简单问题.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系. 【基础知识】 1.数列：按照 ______.数列中的每一个数叫做数列
的______.数列可以看成是定义域为 __的函数，其图像是 __ .
2.一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于____________，那么这个数列就叫做____________，这个常数叫做等差数列的____ _，其通项公式为 _____________或______________.
3.若c b a ,,为等差数列，则称b 为a 与c 的 ____ ，且=b __ ；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的 条件.
4.在等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则=+n m a a _____________.
5.判断一个数列为等差数列的常用方法有： .
6.等差数列的求和公式为=n S ___________或_____________；其推导方法为__________.
7.若数列}{n a 是等差数列，则从函数的观点看，n a 是关于n 的_____次函数，其图象是直线上均匀排开的一群孤立的点，n S 是关于n 的_______次函数，当
1a ____0，d ____0时，n S 有最_____值；
当1a ____0，d ____0时，n S 有最______值；当d _____0时，等差数列为常数数列.
8.数列}{n a 的项n a 与其前n 和n S 的关系是：n a =_________________. 【基本训练】 1.在数列
}
{n a 中，
2
1=a ，
1
221+=+n n a a ，则通项
=
n a ___________，
=101a .
2.在等差数列}{n a 中，首项11=a ，
公差为3=d ，如果2005=n a ，则=n .
3.等差数列{}n a 中，已知3
11=a ，33,452==+n a a a ，则n =______. 4.高斯求和：=
++++100321 .
5.在等差数列{}n a 中，若111=a ，4
=d ，则前n 项和n S =_____________.
【典型例题讲练】
例1 在等差数列}{n a 中，已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为9
85，
求这5个数.
练习 在等差数列}{n a 中， (1)已知153
,334515==a a ，求61a ；
(2)前三项是
x
x x 1
,
65
,
11
+，求11a .
例2 在等差数列}{n a 中， (1)已知5,1056==S a ，求8a 和8S ； (2)已知316=a ，求31S .
练习 (1)已知50
,302010
==a a ，若242
=n
S ，求n . (2)已知168
,48128
==S S ，求1a 和d ；
练习 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32：27，则公差d =_________
【课堂小结】
【课堂检测】
1.已知}{n a 为等差数列，33-=a ，前
4项和16
4
-=S ，则=
2
a .
2.已知等差数列}{n a 中，15,742==a a ，则前10项的和10S ＝________.
【课后作业】
1.在等差数列}{n a 中，已知240),9(30,1849
=>==-n n S n a S ，求n .
北京艺术生高考数学复习资料—五数列
数列 等差数列知识清单 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调 性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其 中2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?2 a b A += 。 4、等差数列的前n 和的求和公式：11() (1)2 2 n n n a a n n S na d +-= =+ 。 5、等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是A P ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m -= -()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶n d =； ② 1n n S a S a +=奇偶 ； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；② 1 S n S n = -奇 偶 。 6、数列最值 （1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最 值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1 0n n a a +≤??≥?。 课前预习 1．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是 等差 数列 2．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 105 3．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项 4．设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若 36 S S ＝1 3 ，则 612 S S ＝ 310
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．1111+23 10+++ B ．1111+2!3! 10!+++ C ．1111+23 11+++ D ．1111+2!3!11!+++ 7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )． 8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c
2019年高考数学艺术生百日冲刺：全册测试题(Word版,含答案)
专题1集合与常用逻辑测试题 命题报告： 1.高频考点：集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。 2.考情分析：高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。 3.重点推荐：9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。 一．选择题（共12小题，每一题5分） 1．集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】：B={（1，1），（1，2），（2，1）}； -=：．故选：C． ∴B的真子集个数为3217 2已知集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|1≤x＜6} C．{x|﹣3≤x＜6} D．{x|﹣2≤x≤6} 【答案】：B 【解析】y=x2﹣2x﹣2的对称轴为x=1；∴y=x2﹣2x﹣2在x∈（2，4）上单调递增；∴﹣2＜y＜6；∴M={y|﹣2＜y＜6}，N={x|x≥1}；∴M∩N={x|1≤x＜6}．故选：B． 3已知集合A={x|ax﹣6=0}，B={x∈N|1≤log2x＜2}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是（） A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{0，2，3} 【答案】：D 【解析】B={x∈N|2≤x＜4}={2，3}；∵A∪B=B；∴A?B；∴①若A=?，则a=0； ②若A≠?，则；∴，或；∴a=3，或2；∴实数a所有值构成的集合为{0，2，3}．故选：D． 4（2018秋?重庆期中）已知命题p：?x∈R，x2﹣x+1＞0，命题q：若a＜b，则＞，下列命题为真命题的是（）
2013届高考数学第一轮专题复习测试卷 第一讲 坐标系
第一讲 坐标系 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.点M 的直角坐标为 ),则它的球坐标为( ) 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ???? ? ????? ???? ? ????? 解析 :2,1,tan 0,tan 02,x 0. 4 11,,1 5.4 r y x ??θ?θπθππ θ=== === <-=-= <= =由≤≤得又≤所以 答案:B 2.在平面直角坐标系中,以(1,1)为圆心 为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点,以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为 ( ) () B.. C. D.44A ρθρθππρθρθ? ?=- ? ? ?? ?- ?? =- =?=- 解析:由题意知圆的直角坐标方程为 (x-1)2 +(y-1)2 =2. 化为极坐标方程为(ρcos θ-1)2 +(ρsin θ-1)2 =2.
∴0.40 4,04044 . . ρρθρθρρππππθρθρπθ? ? ??-- = ???? ?? ? ? ?-= ?? ??? ? -∴-∴?-- = ???? ??? ? ?-= ?? ?? ?- ?? ?= 也过极点与等价对应的极坐标方程为 答案:A 3.在极坐标系中,点(ρ,θ)与(-ρ,π-θ)的位置关系为( ) A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线θ= 2 π (ρ∈R)对称 解析:点(ρ,θ)也可以表示为(-ρ,π+θ),而(-ρ,π+θ)与(-ρ,π-θ)关于极轴所在直线对称,故选A. 答案:A 4.在柱坐标系中,两点24,,04,,333M N π π???? ? ?? ??? 与的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.8 解析:解法一:由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为 N |MN |4,24,,0MN 5.3. , C π'∴'===?? ??? 再由勾股定理得故选 解法二:可将M ?N 化为直角坐标 ,N(MN 5.. C =-∴=故选 答案:C
文科艺术生高考数学复习试题
精心整理 文科艺术生高考复习数学试题内容：集合与简易逻辑、函数、复数、统计与概率、立体几何（平行）、程序框图 1.已知全集R U =，集合{}{}3|,5,4,3,2,1≥∈==x R x B A ，右图中阴影部分所表示的集合为（） A.{}1 B.{}2,1 C.{}32,1， D.{}21,0， 2.命题“∈?x R,0123=+-x x ”的否定是（） A ．∈?x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R,0123≠+-x x C ．∈?x R,0123=+-x x D ．∈?x R,0123≠+-x x 3．已知函数()1,0,, 0.x x x f x a x -≤?=?>?若()()11f f =-，则实数a 的值等于（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知ni i m -=+11，其中n m ,是实数，i 是虚数单位，则=+ni m （） A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 5．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2212 a b +≥”的否命题是（） A ．若2211,2a b a b +≠+<则B ．若2211,2 a b a b +=+<则 C ．若221,12a b a b +<+≠则D ．若221,12 a b a b +≥+=则 6．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（） （A ）10（B ）11（C ）12（D ）16 7.“x x 22-<0”是“40< 9.4两个平面平行 ●知识梳理 1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行. ●点击双基 1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是 A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行 答案：C 2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾. 答案：C 3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是 A.α、β都平行于直线a、b B.α有三个不共线点到β的距离相等 C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β 解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； B 错，若A 、B 、 C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β； D 正确. 答案：D 4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题： .????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥① a a a c a c c c b a b a b a c b c a ;;;; 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥ ●典例剖析 【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α. 剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷I 新课标) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率 是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程 为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2013课标全国Ⅰ，文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3 ＝1－x 2 ，则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2013课标全国Ⅰ，文6)设首项为1，公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2013课标全国Ⅰ，文7)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2013课标全国Ⅰ，文8)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2 ＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF | ＝POF 的面积为( )． A ．2 B ． ．．4 9．(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )． 10．(2013课标全国Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2 A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )． A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 第一节、集合 【基础知识】 1、理解集合中的有关概念 （1）集合中元素的特征： 、 、 （2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。 （3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集；整数集 ；有理数集 、 实数集 。 （4）集合的表示法： 、 、 注意：区分集合中元素的形式：如：}12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ；}12|{2++==x x x x D ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。(注意：B A ?，讨论时不要遗忘了φ=A 的情况。) 2、集合间的关系及其运算 （1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 （2）{________________}A B =I ；{________________}A B =U ；{_______________}U C A = （3）对于任意集合B A ,，则：①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___； ②?=A B A I ；?=A B A Y ；?=U B A C U Y ；?=φB A C U I ； 3、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。 【基础训练】 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 第36讲空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ①理解直线的方向向量与平面的法向量； ②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、 速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的 三角函数性质与图像 知识清单： ．．．．．．．．．． 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地， ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+（0≠ω ）的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ （Z k ∈），对称中心(,0)k π； cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=（Z k ∈） ，对称中心1(,0) 2 k ππ+； )tan(?ω+=x y 的对称中心（ 0,2πk ）. 课前预习 1．函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2． 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π ． 3．函数sin 2 x y =的最小正周期是2π 4．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5．函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6．为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7．将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位，所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8． 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9．已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5（x ∈R ） ⑴求f (x )的最小正周期；y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间；[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴，对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像？ 变式1：将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =，π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．； 变式1：函数y =2sin x 的单调增区间是［2k π－2 π ，2k π＋ 2 π ］（k ∈Z ） 变式2、下列函数中，既是（0， 2 π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ，求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin （x+ 6 π ）?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域；(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I) 理科数学 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )． A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．B?A D．A?B 2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． A．－4 B． 4 5 - C．4 D． 4 5 3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )． A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样 4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0)的离心率为 5 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )． A ． 500π3cm 3 B ．866π3 cm 3 C ． 1372π3cm 3 D ．2048π3 cm 3 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． 第1节 常见不等式及其解法 1．一元一次不等式的解法 不等式ax ＞b (a ≠0)的解集为：当a ＞0时，解集为{x |x ＞b a }．当a ＜0时，解集为{x |x ＜b a }． 的情形，以便确定解集的形式． 解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式！！ 解不等式（高中我们能遇到的所有不等式）的通用步骤：①解方程②画图像③写解集 例1．解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －81 4≥0； (4)－1 2x 2＋3x －5＞0； (5)－2x 2＋3x －2＜0； (6)已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1＞0的解集． 例2．解下列不等式： (1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －1 3－4x >1 叮叮小文库 1．已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，1]∪[3，＋∞) C ．(2,3] D ．(－∞，－1]∪(3，＋∞) 2．设a >0，不等式－c 数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页） 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合2 0{}|2A x x x =-> ,{|B x x <<=,则 ( ) A .A B =R B .A B =? C .B A ? D .A B ? 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D .45 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C .按学段分层抽样 D .系统抽样 4.已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> ,则C 的渐近线方程为 ( ) A .1 4y x =± B .1 3y x =± C .1 2 y x =± D .y x =± 5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( ) A .[3,4]- B .[5,2]- C .[4,3]- D .[2,5]- 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器 高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为 ( ) A .3866π cm 3 B . 3500π cm 3 C .31372πcm 3 D .32048πcm 3 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m = ( ) A .3 B .4 C .5 D .6 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值 为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m = ( ) A .5 B .6 C .7 D .8 10.已知椭圆 E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点. 若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A .22 14536 x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 11.已知函数22,0, ()ln(1),0.x x x f x x x ?-+=?+>? ≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( ) A .(,1]-∞ B .(,0]-∞ C .[2,1]- D .[2,0]- 12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3, n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++= ,12 n n n b a c ++=,则 ( ) A .{}n S 为递增数列 B .{}n S 为递减数列 C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列 D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________. 14.若数列{}n a 的前n 项和21 33 n n S a = +,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. --------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷) 数 学(理科) 一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项。 1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=? B 、A ∪B=R C 、B ?A D 、A ?B 【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B. 2、若复数z 满足错误！未找到引用源。 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( ) A 、－4 （B ）－4 5 错误！未找到引用源。 （C ）4 （D ）45 【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题. 【解析】由题知z =|43|34i i +- ==3455i +，故z 的虚部为4 5，故选D. 3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A 、简单随机抽样 B 、按性别分层抽样错误！未找到引用源。 C 、按学段分层抽样 D 、系统抽样 【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题. 【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C. 4、已知双曲线C ：22 22 1x y a b -=（0,0a b >> ）的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A . 14y x =± B .13y x =± C .1 2y x =± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题. 高三艺术生数学高考复习策略 艺体特长生在高三学习文化课的时间比较短，专业考试结束回到学校后，只剩下三个月的时间了，那么如何有效的利用这三个月的时间让这些数学基础较差的学生在高考中数学成绩再有所提高呢？这是艺体特长生教师所面临的必需解决的问题。我个人认为从学生和老师两个层面入手较好。 首先学生层面：把握学生情况，以利对症下药。艺体特长生高三在校时间很短，一轮复习形同虚设，在回校后的三个月，正值二三轮复习，时间短，内容量大，学生往往感觉无从下手，且伴随恐惧、浮躁心理。同时艺体特长生的数学基础的薄弱由来已久，且各人的情况不同，甚至差异较大。所以要想在短时间内有明显的提高困难很大。所以教师应在把握艺术生的实际的前提下，把复习目标定位为在原有的水平基础上有所提高，保证艺术生的已有水平能得到正常发挥，同时尽量保障在能力允许的情况下，能有新的突破。 对此我们应做到如下几点： 1、介绍老师的复习计划、目标要求，使学生做到心中有数，克服恐惧、浮躁心里；同时提出较严格的要求，包括对他们的知识要求、能力要求、学习要求、目标要求等，对学习的各个环节应做到那些要明确告诉学生，在学习过程中强化他们的学习习惯，以巩固复习效果。 2、树立学生学习的信心：教师应把树立学生信心贯穿教学始终，多鼓励，少批评，以欣赏的眼光看他们，想方设法调动他们学习数学的积极性，使他们树立好能学好数学的信心，变害怕数学为喜欢数学，变不得已学数学为主动学数学。另外有必要帮助他们克服心理弱点,鼓励她们“敢问”“多问”树立好他们学习数学的信心。切忌动辄说数学难教，这题太难你们做不出，你们基础差等去刺激学生。 3、重视对学生的学法指导，学生有信心、有干劲还不行，他们还普遍存在基础差、不会学的情况，所以指导学生如何学习也很关键，指导要具体明确，包括制定计划、专心上课、独立作业、解决疑难、系统小结等。要求学生制定自己相应的学习计划，合理安排时间，充分把握好课堂上理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节．要引导学生注重解题分析，积极思考，参与课堂中。要独立完成作业，重视平时的考练，培养自己的意志毅力和应试的心理素质，对作业及考练过程中暴露出来的错误要主动反复思考，建立错 题本，并要经常把易错的地方拿出来复习强化，作适当的重复性练习。同时注意通过对知识、方法、题型等通过分析、综合、类比、概括，揭示其内在联系．以达到对所学知识融会贯通的目的．使学生能对所学知识由“会”到“熟”， 集合 一、知识清单： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。 ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子 集有2n －2个. 6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: ①;A B A B A ??= A B A B B ??= ②()()(); U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B = ③()()card A B card A =+ ()()card B card A B - 二、课前预习 2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析 一、选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合{} {2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=? B.A ∪B=R C.B ?A D.A ?B 考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+ ), ∴A ∪B=R. 答案：B 2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为 ( ) A .4- B .45 - C .4 D . 45 考点 ：复数的运算 解析：由题知== = ，故z 的虚部为 . 答案：D 3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( ) A .简单随机抽样 B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 考点 ：抽样的方法 解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样. 答案：C 4.已知双曲线 ： （ ）的离心率为 ，则 的渐近线方程为 A. B. C.1 2 y x =± D. 考点 ：双曲线的性质 解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为. 答案：C 5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于 A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时， ，当 时， ， ∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A 6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A . 3 5003 cm π B . 38663cm π C. 313723cm π D. 3 20483 cm π 考点 ：球的体积的求法 解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则 ，解得R=5，∴球的体积为 35003 cm π = . 答案：A 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3 B .4 C.5 D.6 考点 ：等差数列2013届高考数学第一轮专项复习教案设计22.doc
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