《新编基础物理学》第1章习题解答和分析

第1章 质点运动学

1-1. 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为x ＝8t 3

－6t （m ），试计算质点 (1) 在最初2s 内的平均速度，2s 末的瞬时速度；

(2) 在1s 末到3s 末的平均加速度，3s 末的瞬时加速度. 分析：平均速度和瞬时速度的物理含义不同，分别用x t ?=?v 和d d x

t

=v 求得；平均加速度和瞬时加速度的物理含义也不同，分别用a t

?=

?v

和d d a t =v 求得.

解：(1) 在最初2s 内的平均速度为

31(2)(0)(8262)0

26(m s )2

x x x t t -?-?-?-====???v

2s 末质点的瞬时速度为

212d 24690(m s )d x

t t

-=

=-=?v (2) 1s 末到3s 末的平均加速度为

22(3)(1)(2436)(246)96(m s )2

a t t -?-?---====???v v v

3s 末的瞬时加速度

23d 48144(m s )d a t t

-=

==?v

1-2．一质点在xOy 平面内运动，运动方程为2

2(m),48(m)x t y t ==-. （1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；

（2）求=1 s =2 s t t 和时质点的位置、速度和加速度.

分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程.写出质点的运动学方程)(t r

表达式.对运动学方程求一阶导、二阶导得()t v 和()a t ，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度.

解：（1） 由2,x t = 得：,2

x

t =

代入248y t =- 可得：2

8y x =-，即轨道方程. 画图略

（2）质点的位置矢量可表示为

22(48)r ti t j =+-

则速度

d 28d r

i t j t

=

=+v 加速度

d 8d a j t

=

=v

当t =1s 时，有

1224(m),28(m s ),8m s r i j i j a j --=-=+?=?v

当t =2s 时，有

1248(m),216(m s ),8m s r i j i j a j --=+=+?=?v

1-3．一质点的运动学方程为22

(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位. 求： （1）质点的轨迹方程；

（2）在2s t =时质点的速度和加速度. 分析： 同1-2.

解：（1）由题意可知：x ≥ 0，y ≥ 0，由2

x t =，可得t =

,代入2(1)y t =- 整理得：

1=

即轨迹方程

（2）质点的运动方程可表示为

22(1)r t i t j =+-

则

d 22(1)d r

ti t j t =

=+-v d 22d a i j t

==+v

因此, 当2s t =时，有

1242(m s ),22(m s )i j a i j --=+?=+?v

1-4．一枚从地面发射的火箭以2

20m s -?的加速度竖直上升后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动. 略去空气阻力并设g 为常量，试求： （1）火箭达到的最大高度；

（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间.

分析：分段求解：030s t ≤≤时，2

20m s a -=?，可求出11,x v ；t ＞30s 时，g a -=.可求出

2()t v ，2()x t .当20=v 时，火箭达到的最大高度, 求出t 、x . 再根据0x =，求出总时间.

解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x 轴正方向建立一维坐标系，设火箭在坐标原点时，

t =0s ，且=30s.则当0≤ t ≤30s，由d d x

x a t

=

v ,得 30

20d d x

x t =?

?v v ， 解得 20x t =v

当130s =v 时

11600m s -=?v

由d d x x

t

=

v ， 得 1

30

20d d x t t x =?

?，

则

19000m x =

当火箭未落地, 且t ＞30s, 又有

2

21

30

9.8d d x t

x t -=?

?v v v

解得

28949.8x t =-v

同理由d d x x t

=

v 得 1

30

(8949.8)d d t

x

x t t x -=?

?

解得

2

4.989413410x t t =-+- … ①

由20x =v ，得91.2s t =，代入①得

max 27.4km x ≈

（2）由①式可知，当0x =时，解得

1166s t ≈

216s<30s t ≈（舍去）

1-5．质点沿直线运动，加速度2

4a t =-，式中a 的单位为2

m s -?，t 的单位为s ，如果当t =3s

时，x =9m ，1

2m s -=?v ，求质点的运动方程.

分析 本题属于第二类运动学问题，可通过积分方法求解. 解 由分析可知

02

00d d (4)d t

t

a t t t ==-???v

v v 积分得

3

0143

t t =+-v v 由

030

001d d (4)d 3

x

t t

x x t t t t ==+-???v v 得

24

001212

x x t t t =+-

+v 将t =3s 时，x =9m ，1

2m s -=?v 代入上两式中得

101m s -=-?v ，x 0=0.75m

所以质点的运动方程为

24

10.752(m)12

x t t t =-+-

1-6. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度大小平方成正比，即2

d /d t k =-v v ， 式中k 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度大小为 0kx

e

-=v v . 其中0v 是发动机关闭时的速度大小.

分析：要证明~x v 关系，可通过积分变量替换将时间变量替换掉，即d d d d a t x

==v v

v ，积分即可证明. 证： 2d d d d d d d d k =?==-v v v

v v x t x t x

分离变量得

d d k x =-v

v

两边积分

001

d d x k x =-??v

v v v , 0

ln

kx =-v v 证得

0kx

e -=v v

1-7．一质点沿半径为R 做圆周运动，运动学方程为2

012

s t bt =+v ，其中v 0，b 都是大于零的常量.求：

（1）t 时刻质点的加速度大小及方向； （2

）在何时加速度大小等于；

分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程()t s s =，求导可求出质点的运动速率d d s

t

=

v ，而切向加速度d d t a t

=v ，法向加速度2n a ρ=v ，总加速度2

2n a a a +=τ

，当a =时，即可求

出t .

解：（1）质点的运动速率

0d d s

bt t

=

=+v v 切向加速度

d d t a b t =

=v 法向加速度

22

0()n bt a R

ρ+==v v 加速度大小

a =

=方向

()2

1

1tan

tan n

t

bt a a bR

θ--+==v

（2

）当a =

时，可得

2

222

0()2bt b b R ??++=????

v

解出

t b

=

v 1-8. 物体以初速度1

20m s -?被抛出，抛射仰角60°，略去空气阻力，问： （1）物体开始运动后的末，运动方向与水平方向的夹角是多少 末的夹角又是多少 （2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45°角这时物体的高度是多少 （3）在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大 （4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大

分析：（1）建立坐标系，写出初速度0v ，求出()t v 、θtan ，代入t 求解.

（2）由（1）中的θtan 关系，求出时间t ；再根据y 方向的运动特征写出()t y ，代入t 求y . （3）根据物体在轨迹最高点处，0y =v ，且加速度2

n a a g ρ

==

=v ，可求出ρ.

（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 2

cos n a g θρ

==

v ，求出ρ.

解：以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向建立二维坐标系 （1）

初速度

001020cos6020sin6010103(m s )i j i j -=+=+?v ，

加速度

2

9.8(m s ),a j -=-?

则任一时刻

10(1039.8)at i t j =+=+-v v ………………①

与水平方向夹角有

1039.8tan 10

t

θ-=

……………………………②

当t =时

tan 0.262,1441'θθ==?

当t =时

tan 0.718,3541'θθ=-=-?

（2）

此时tan 1θ=, 由②得

t =

物体的高度

2211

1030.759.80.7510.23(m)22

yo y t gt =-

=?-??=v （3）在最高处

2

1

10m s ,n a g ρ

-=?=

=v v

得

2

10.2m g

ρ==v （4）由对称性可知，落地点的曲率与抛射点的曲率相同. 由解图1-8得

210cos cos 4.9(m s )20

x n a a g g

g θθ-=====?v v

2400

82(m)4.9

n a ρ===v

1-9．汽车在半径为400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为1

10m s -?，切向加速度的大小为2

0.2m s -?.求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向. 分析：由某一位置的ρ、v 求出法向加速度n a ，再根据已知切向加速度τa 求出总加速度a 的大小和方向.

解：法向加速度的大小2

22100.25(m s ),400

n a ρ-=

==?v 方向指向圆心 总加速度的大小

222220.20.250.32(m s )n a a a τ-=+=+=?

由解图1-9得

tan 0.8,3840'n

a a τ

αα=

==? 则总加速度与速度夹角

9012840'θα=?+=?

1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为0v ，与水平方向成α角．求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度、法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空

解图1-8

解图1-9

气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为2

n a ρ

=v .

分析：在运动过程中，质点的总加速度 a g =.由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时， 质点的速度大小0=v v ，其方向与水平线夹角也是α.可求出

n a ，如解图1-10所示.再根据法向加速度与轨迹曲率半径之间

的关系2

n a ρ

=v ，解出曲率半径.

解：切向加速度

t sin a g a =

法向加速度

a g a n cos =

因为2

n a ρ

=

v ，所以

2

2

0cos n a g ρα

==

v v

1-11．在生物物理实验中用来分离不同种类的分子的超级离心机的转速为31

3.1410rad s -??.在这种离心机的转子内，离轴10cm 远的一个大分子的向心加速度是重力加速度的几倍

分析 根据定义可得向心加速度的大小2

n a r ω=.

解 所求倍数

2222425244(610)0.1=410609.8

r

n r g g ωππ??==??

1-12. 一质点在半径为0.10m 的圆周上运动，其角位置变化关系为3

24(rad)t θ=+.试求：

(1) 在t =2s 时，质点的法向加速度和切向加速度大小各为多少； (2) 当切向加速度大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少 (3) 在什么时刻，切向加速度和法向加速度恰好大小相等

分析 本题为物体作圆周运动的角坐标表示下的第一类运动学问题，求导可得到角速度和角加速度，再由角量与线量的关系求得切向加速度t a 和法向加速度n a .

解图1-10

解 (1) 角速度和角加速度分别为

2d 12d t t θω== d 24d t t

ωβ==

法向加速度

22222n 0.1(12) 2.3010(m s )a r t ω-==?=??

切向加速度

2t d 2.4 4.8(m s )d a r t t

β-====?v (2) 由 t /2a a =，222

2t n t 4a a a a =+= 得

22

t n

3a a = 22243(24)(12)r t r t =

33t = 33

2424 3.15(rad)t θ=+=+?

= (3) 由 n t a a =，即22(12)24r t rt =，解得 0.55s t =

1-13．离水面高度为h 的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率0v 拉绳子，求当船离岸的距离为s 时，船的速度和加速度的大小.

分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念.小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为0v .可以由0v 求出船速v 和垂直绳的分量1v .再根据2

1n a ρ

=v 关系，以及n a 与a

关系来求解a .

解： 如解图1-13，小船速度沿绳的分量20=v v ，船速

2sec θ=v v

当船离岸的距离为s 时，船速

22

s h s

+=v v 解图1-13

船速垂直绳的分量

012tan h

s

θ==

v v v 则船的法向加速度

2

211n 2

2

2

2

cos a a a

s h

s h

θρ

=

=

==++v

解得

22

03

h a s =v

1-14. A 船以130km h -?的速度向东航行，B 船以1

45km h -?的速度向正北航行，求A 船上的人观察到的B 船的速度和航向.

分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系.同时要明确速度是相对哪个参照系而言.画出速度矢量关系图求解. 解：如解图1-14所示

11

A B 30km h ,45km h i j --=?=?v v

B 船相对于A 船的速度

1BA B A 4530(km h )j i -=-=-?v v v

则速度大小

22

1BA B A 54.1(km h )-=+=?v v v

方向

B

A

arctan

56.3θ==?v v ，既西偏北56.3?

1-15. 一个人骑车以1

18km h -?的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至1

36km h -?时，看见雨滴与他前进的方向成120°角下落，求雨滴对地的速度.

解图1-14

分析：这是一个相对运动的问题，雨对地的速度不变，画出速度矢量图，就可根据几何关系求解.

解：如解图1-15所示，r v 为雨对地的速度， 12,p p v v 分别为第一次，第二次人对地的速度，

12,rp rp v v 分别为第一次，第二次雨对人的速度，120θ=?

由三角形全等的知识，可知

18012060αβ==?-?=?

三角形ABC 为正三角形，则

2136km h r p -==?v v ，方向竖直向下偏西30?.

1-16如题图1-16所示，一汽车在雨中以速率1v 沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方θ角，速率为2v ，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿

分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系求解. 解：如解图1-16（a ），车中物体与车蓬之间的夹角 arctan

l

h

α= 若θ＞α，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿 若θ＜α，如解图1-16（b ）则有

||||||BC AC AB ==-v 车

=sin sin cos tan sin αθθαθ-=-v v v v 雨雨雨雨对车

又

2=v v 雨 则

2cos (sin )l h

θ

θ=-v v 车

题图1-16

解图1-16

解图1-15

1-17 人能在静水中以11.10m s -?的速度划船前进.今欲横渡一宽为m 10.0013

?、水流速度

10.55m s -?的大河.他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如何确定划行方向到

达正对岸需多少时间

分析 船到达对岸所需时间由船相对于岸的速度v 决定，而v 由水流速度u 和船在静水中划行速度'v 确定.画出矢量图由几何关系求解.

解 根据解图1-17，有'v =u+v ，解得

0.551

sin 1.102

u α==='v

030α=

即应沿与正对岸方向向上游偏300

方向划行.船到达正对岸所需时间为

31.0510s cos d d

t α

===?'v v

1-18．一升降机以2g 的加速度从静止开始上升，在末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m ，求钉子从顶板落到底板的时间t , 它与参考系的选取有关吗

分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解.

解：如解图1-18建立坐标系，y 轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底板处，此时，升降机、钉子速度为0v ,钉子脱落后对地的运动方程为

2101

2

y h t gt =+-v

升降机底板对地的运动方程为

2201

22

y t gt =+?v

且钉子落到底板时，有

12=y y ，

即

2

012

h t gt +-

=v 20t gt +v α

u

v

'

v 解图1-17

解图1-18

解出

t

0.37s t与参考系的选取无关.