2015年7月泰州市高二数学期末联考试题

泰州市2014～2015学年度第二学期期末考试

高二数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

命题人：朱占奎 张圣官 展国培 张敏

审题人：丁凤桂 杨鹤云

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．若集合{2,3},{2,4,6}A B ==，则A B = ▲ ．

2．复数2

(12i)+的共轭复数为 ▲ ．

3

．设函数()f x 的定义域为集合A ，则集合A Z 中元素的个数为

▲ ．

4．曲线()y f x =在x=2处的切线方程为6y x =-+，则(2)(2)f f '+= ▲ ． 5．已知复数z 满足条件|7||34i |z -=+，则||z 最小为 ▲ ．

6．设11

3312

111

(),(),log 233a b c ===，则,,a b c 由小到大依次为 ▲ ．（用“<”连接）

7．记等差数列{}n a 前n 项和为n S ，利用相应的方法可得1()

2

n n n a a S +=

；类似地，记正项等比数列{}n b 前n 项积为n T ，也可将n T 表示成首项1b 、末项n b 及项数n 的一个关系式，结论为n T = ▲ ．

8．设全集U R =，集合{|(1)(4)0},{|S x x x T x m x m =--≤=≤≤+，

若()

U S T =?e，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数100,0()lg ,0

x x f x x x ?≤=?>?，则1

(())2f f = ▲ ．

10．当函数21

()log (),[,)f x x x a x

=-∈+∞的值域为[0,)+∞时，实数a 的值为 ▲ ．

11．请观察下列几个不等式：

1111212?≥?，11111(1)()33224

?+≥?+， 1111111

(1)()4353246

?++≥?++，……，由此猜测第()n n N *∈个不等式为 ▲ ． 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线1x =对称，若当

02x ≤≤时，2()f x x bx =+，则(2015)f = ▲ ．

13．已知函数2log 1()3(1)1

x

x f x f x m

x ≥?=?++

范围是 ▲ ．

14．已知函数()x

e f x x

=， 1()g x x x =+，()[()][()]h x f x a g x a =-+，下列四个命题：

①(0,),()()x f x g x ?∈+∞>恒成立； ②(,0)x ?∈-∞，使得()()f x g x <成立；

③当20a -<<或2a =时，()h x 有且只有一个零点； ④若()h x 有且只有三个零点，则2a <-或a e =

其中真命题有 ▲ ．（填上所有真命题的序号）

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

⑴求30

4831()1)log 9log 1681

-++?的值；

⑵已知1

6a a

-+=，求22

a a -+和112

2

a a -

+的值．

16．（本题满分14分） 设复数122i,43i z a z =+=-． ⑴当a =1时，求12z z ；

⑵若

1

2

z z 为纯虚数，求实数a 的值． 17．（本题满分14分）

销售甲、乙两种商品所得利润分别是P （单位：万元）和Q （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式15P t =

，Q =10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对乙种商品投资x （单位：万元），[0,10]x ∈． ⑴试建立总利润y （单位：万元）关于x 的函数关系式()y f x =； ⑵试问怎样投资，才能使得总利润最大？并求出该最大值．

18．（本题满分16分） 已知二次函数2

()1f x x bx =++．

⑴若函数()f x 在[1,)+∞单调递增，求实数b 的取值范围；

⑵是否存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个不同的零点？若存在，求实数b 的取值范围，若不存在，说明理由；

⑶若1

()()2f x f ≥-对x R ∈恒成立，求证：当0x >时，2()

2x f x x e

<+．

19．（本题满分16分） 已知函数

2()1f x x a x =--．

⑴若()y f x =是偶函数，求a 的值；

⑵当0a <时，直接写出函数()y f x =的单调区间(不需给出演算步骤)；

⑶当0a >时，求函数()y f x =，[0,4]x ∈的最小值()g a 和最大值()h a ．

20．（本题满分16分） 已知函数()ln (0)f x x x =>． ⑴设()()g x xf x =，求函数()y

g x =的极值；

⑵判断函数2

()()h x x f x x =+的单调性，并证明；

⑵若对任意两个互不相等的正数12,x x ，

都有1212

()()

f x f x kf x x -<-恒成立，

求实数k 的最小值．

2014～2015学年度第二学期期末联考

高二数学试题参考答案

1．{2} 2．33i -- ．5 4．3 5．2 6．b a c << 7

8．[1,2] 9．14 10

．12

11．

1111111

(1)()1321242n n n n ++???+≥++???++- 12．1- 13．3m ≤- 14．①③④

15．解：⑴∵333

43

4441()(3)32781

-==== …………………2分

01)1= …………………4分

83lg9lg162lg34lg 28

log 9log 16lg8lg33lg 2lg33

?=

?=?= …………………6分 ∴3483192()log 9log 16813

-+?= …………………7分

⑵∵1

6a a -+=

∴12()36a a -+=，展开得22

236a a -++=

∴22

34a a -+= …………………10分

∵2

1112

228a a a a --??+=++= ???

，且0a >

∴112

2

a a

-

+= …………………14分

（注：若先解出3a =±）

16．解：⑴∵12(12i)(43i)105i z z =+-=+ …………………3分

∴12z z == …………………6分 ⑵

122i (2i)(43i)4638i 43i (43i)(43i)2525

z a a a a z +++-+===+--+ ………………10分 ∵12

z z 为纯虚数 ∴46

025

38025

a a -?=???+?≠?? …………………13分

解得3

2

a = …………………14分

17．解：⑴∵总投入为10万元，且对乙种商品投资x 万元 ∴对甲种商品的投资为10x -万元

∴1(10)5P x =

-

，Q = …………………3分

∴1(10)5y x =-+

∴1()25f x x =-+

，[0,10]x ∈ …………………6分 ⑵2

314'()55

f x x -=-+ …………………8分

由'()0f x =得8x = …………………9分

x 0

(0,8) 8 (8,10) 10

'()f x

+

0 -

()f x 2

265

从上表中可知，当8x =时，总利润取得最大值

26

5

…………………13分 答：对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资8万元时，总利润取得最大值265

万元． ………………14分 18．解：⑴由题意得，对称轴12

b x =-

≤ 解得2b ≥- …………………3分 ⑵不存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个零点． ………4分 证明如下：

假设存在实数b ，使得函数()f x 在区间[0,1]上有两个零点

则(0)0

(1)0

0012f f b ≥??≥????>??<-

b b b ≥??+≥??

?->?

?<-

点． …………………9分

⑶∵1

()()2

f x f ≥-对x R ∈恒成立 ∴1b = …………………10分

设2()1()(0)x x f x x x g x x e e ++==>，则2'()x

x x

g x e

-+= ∴函数()g x 在区间(0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞单调递减

∴3

()(1)g x g e

≤= …………………14分 又∵2

22x +>

∴当0x >时，

2()

2x f x x e

<+． …………………16分 19．解：⑴∵()y f x =是偶函数 ∴x R ?∈，都有()()f x f x -=

即22()11x a x x a x ----=--

整理得(11)0a x x +--=，x R ?∈都成立

∴0a = …………………3分 （注：也可由(1)(1)f f -=得0a =再检验，同样给分；若不检验扣1分．） ⑵①当2a ≤-时，增区间为(1,)+∞，减区间为(,1)-∞…………………6分

②当20a -<<时，增区间为(,)2a -

+∞，减区间为(,)2

a

-∞- ……9分 ⑶①当02a <≤时，()f x 在区间[0,4]单调递增，

此时min max (0),(4)163y f a y f a ==-==- …………………11分

②当28a <<时，2

min min{(0),()}min{,}24

a a y f f a a a ==--=-

max 1

58max{(1),(4)}max{1,163}16325a y f f a a

a ≤

-<

③当8a ≥时，min min{(0),(4)}min{,163}163y f f a a a ==--=-

max (1)1y f == …………………15分

综上可知08()1638a a g a a a -<

-≥?，16305

()1

5a a h a a -<

…………………16分

20．解：⑴()ln g x x x =，'()ln 1g x x =+ 由'()0g x =得1

x e

=-

x

1(0,)e 1e

1

(,)e

+∞ '()f x -

+

()f x

1

e

-

从上表中可知，()y g x =的极小值为11()g e e

=-，无极大值．………4分

⑵函数()h x 在(0,)+∞的单调递增．

2()ln h x x x x =+，'()2ln 1h x x x x =++

由⑴可知，1

()ln g x x x e

=≥-，且0x >

∴'()2ln 10h x x x x =++>

∴函数2()()h x x f x x =+在(0,)+∞的单调递增 …………………8分

⑶不妨设12x x <，1

'()f x x

=

12211221()()ln ln f x f x x x kf x x x x --

--

21ln

x k k x ?<=（*）

t =，则（*）12ln ()t k t t ?<-，(1)t >

设1()()2ln x k t t t ?=--，则原命题等价于1

()()2ln 0t k t t t

?=-->在(1,)+∞上恒成

立 …………………10分

22

2'()kt t k

t t ?-+=

①当0k ≤时，'()0t ?≤，()t ?在(1,)+∞上单调递减，()(1)0t ??<=，故0k ≤不符合

题意； …………………11分 ②当0k >时，

(i)当2

440k ?=-≤，即1k ≥时，'()0t ?≥，()t ?在(1,)+∞上单调递增，

()(1)0t ??>=，故1k ≥符合题意； …………………12分

(ii)当01k <<时，2

440k ?=->，

设方程2

20kt t k -+=的两根分别为12,t t 且12t t <，

则1201t t <<<，且当2(1,]x t ∈时，'()0t ?≤，当2[,)t +∞时，'()0t ?≥ 所以()t ?在2(1,]t 上单调递减，在2[,)t +∞上单调递增 故2()(1)0t ??<=，与()0t ?>在(1,)+∞上恒成立矛盾，

故01k <<不符合题意 …………………15分 综上可知实数k 的最小值为1． …………………16分