2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题

手机“套餐”优惠几何

摘要

随着通讯业的发展，手机的普及率越来越高，手机的资费问题也就成了大家热切关注的问题。本文主要针对这些问题中的手机套餐及一些资费问题进行了以下讨论：

1、针对问题（1）依据附表2的数据，根据套餐内和套餐外的本地主叫时间得出北京、上海各套餐方案的资费计算分段函数，结合该函数利用MATLAB画出相应的图形，通过图形中的交点得出不同需求的用

户的套餐方案

2、针对问题（2）主要是利用折合单价模型进行简化，首先，将客户通话行为进行分解，从附件1我们可以计算出每种通话行为占总通话量中的比例权重，该权重与每种通话行为的单价（附件2中已知）相乘后中累加，得到折合单价，针对折合单价的大小来评判各种资费方案;

3、针对问题（3）我们从两个方面来说明：

“被叫全免费计划”方案分别与北京移动公司全球通“暢听99套餐”即推出新方案之前的全球通从折合单价方面进行比较，。问题（2）已经计算出全球通的折合单价为0.7320元/分钟，同样得出“畅听99套餐”方案的折合单价为0.45元/分钟，显然，全球通的折合单价大于“畅听99套餐”方案的折合单价，则“畅听

99套餐”相对全球通来说便宜。

然后，以一年的费用将“被叫全免费计划”方案与被叫不免费计划方案进行比较，我们首先假定主叫所

占比重α为60%，得出3

n≥时，被叫不免费方案处于优

势，而3

n<时，则处于劣势。

4、在设计一个全球通资费方案时，我们所考虑的因素有地区人均收入情况、人们对不同的业务的需求、运营商的收入情况及市场竞争因素。

从以上的因素中我们主要考虑了人们对不同业务的需求，利用线性规划以及lingo软件编程方法求用户对不同需求所支付的费用的最小值，并且运营商的收入降低不超过10%条件下使得模型最优化，从而得出其解。

关键词：手机套餐，分段函数，折合单价模型，线性规划。

一问题的重述

手机现已成为人们日常工作、社交、经营等社会活动中必备的工具之一，近年来通信业务量飞速增长。

手机资费问题一直是人们关心的热点问题，多少年来资费方案始终没有实质性变化。但是2007年1月以来上海、北京、广东等地的移动和联通两大运营商都相继推出了“手机单向收费方案”---各种品牌的“套餐”，手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。

参照中国移动公司现行的资费标准和北京的全球通“畅听99套餐”、上海的“全球通68套餐”方案，建立数学模型分析研究下列问题：

(1) 给出北京、上海各“套餐”方案的资费计算方法，并针对不同（通话量）需求的用户，分析说明各种“套餐”方案适应于什么样的用户。

(2) 提出对各种资费方案的评价准则和方法, 据此对北京、上海推出的“套餐”方案与现行的资费标准作分析、比较，并给出评价。

(3) 北京移动公司2007年5月23日又推出了所谓的全球通“被叫全免费计划”方案，即月租50元，本地被叫免费，其他项目资费均同现行的资费标准，还要求用户至少在网一年。对这个方案进行评价，并说明理由。

(4)设计一个全球通手机的资费方案, 以及下写出考虑的各种因素。根据的研究结果和北京、上海的实际情况，在较现有“套餐”方案运营商的收入降低不超过10%的条件下,用数学建模方法设计一个合理的“套餐”方案。

二条件假设

1．由于北京“畅听99”套餐中的数据业务对于评价此套餐影响不大，所以不考虑北京“畅听99”套餐中的数据业务。

2． 在制定通话资费标准中，假定漫游权重为4，非

漫游为6。

3． 由于各国长途资费不一，为简化计算我们取平均

值为3.6元/分钟

4． 在评价三种资费时，短信业务均不予考虑。

5． 手机卡使用周期以月为计算单位。

三 符号说明

ij p -------------------某一通话行为的资费标准 （13i = ，

14j = ）

A ------------------月租费

x------------------“畅听99套餐计划”方案的本地主叫通

话时间，分钟

t-------------------“畅听99套餐计划”方案国内IP长途通

话时间，分钟

α--------------------为主叫比重

θ---------------------移动通话占的比重

ω---------------------IP长途电话在通话中占的比重

-----------------------移动用户一个月平均通话时间，分t

钟

ρ---------------------全球通折合单价，元/分钟

n----------------------全球通的手机户使用的月数

f-------------------北京移动全球通“畅听99套餐”月资i

费计费（14

i= ）

g--------------------上海移动公司“全球通68套餐”月资i

费计费

（13

i ）

四问题的分析

1．对于问题（1）的分析：

北京、上海各套餐方案的资费是针对用户的不同通话量的需求，所以我们可以省去对数据业务的考虑，从附件2可以得之，各套餐拨打长途资费及呼叫转移的资源都相同，所以，最终可以不必考虑这些问题，我们通过分段函数和图形来说明各种“套餐”方案的适用情况。

2．对于问题（2）的分析：

附件2中给出了三种资费方案：全球通、神州行及动感地带观察三种资费方案，在通话方面三者有一定

的共同点，收费大致可以分为以下几个方面：本地主叫、国内长途、国际长途（港澳台）及IP电话（对于各别短信套餐不以考虑）。于是，我们提出“折合单价模型”。其定义是：将客户的通话行为进行分解，按照每种通话行为的单价相乘后累加，得到的数值即为折合单价。用折合单价作为作为评判方案的准则。

通过计算出的折合单价，与北京、上海套餐进行比较，用Matlab做出相关图形进行比较。

3.对于问题（3）的分析：

北京移动公司推出的“被叫全免费计划”方案。分别与现行全球通资费标准，以及北京移动公司推出的“畅听99套餐”方案进行。进而对这个“被叫全免费计划”进行评价。

五 模型的建立与求解

问题1）：

对于北京移动“畅听99套餐”方案。

以月为一个资费计算周期，为简化问题，不妨不考虑数据业务。利用分段函数对此套餐进行计费。

1990.1*0280()990.35*(280)0.1*280t x f x x t x +≤≤?=?+-+≥?

21390.1*0560()1390.25*(560)0.1*560t x f x x t x +≤≤?=?+-+≥?

31990.1*01000()1990.20*(1000)0.1*10000t x f x x t x +≤≤?=?+-+≥? 42990.1*0

2000

()2990.15*(2000)0.1*2000t x f x x t x +≤≤?=?+-+≥? 同理，对于上海移动公司“全球通68套餐”方案，得出资费计算方法，如下：

1680360()680.18*(360)360

x x x x g ≤≤?=?+-≥? 21280800()1280.16*(800)800

x x x x g ≤≤

?=?+-≥? 318801200()1880.13*(1200)1200x x x x g ≤≤?=?+-≥?

由于“畅听99套餐”中的各方案拨打IP 长途费用

相同，因此用户选择方案时可以忽略对它的考虑，故画图时只需作话费与时间的函数关系图来参照，可用Matlab 程序得出以下图形：

图1：北京（蓝）上海（红）套餐话费时间图

由上图我们可以得知：

根据北京用户通话时间的不同，来选择不同的套餐。所选套餐的基本情况如下表：

根据上海用户通话时间的不同，来选择不同的套餐。所选套餐的基本情况如下表：

问题2）：

根据附件1可以得到移动电话用户46108.2万

户；移动通话总量为：16868.7亿分钟。其中本地通话时长1588.7亿分钟、国内长途通话时长977.8亿分钟、国际长途撕长4.2亿分钟、港澳台时长4.0亿分钟。IP 电话通话总量为：1488.6亿分钟。其中国内长途通话时长1465.6亿分钟、国际长途通话时长12.3亿分钟、港澳台通话时长10.7亿分钟。 移动通话占的比重为16868.791.89%18357.3

θ==。IP 长途电话在通话中占的比重为1488.6

8.11%18357.3ω==。

移动一个月的平均16868.7305/46108.2*12t -=

=亿分钟分钟月万户月 IP 一个月的平均7769.381/8*12t -==亿分钟分钟月亿月

通过附件1，求出了移动通话中的本地通话、国内长途、国际长途、港澳台在通话的比重分别为194.15%a =，2 5.976%a =，30.0249%a =0，40.0231%a =

IP 中的国内长途、国际长途、港澳台依次为'

198.455%a

=

、

' 20.862%

a=、'30.719%

a=

图3：移动通话各种资费占的比重图

在建立模型前。我们引入一个概念——折合单价。其定义：是将客户的通话行为进行分解，按照每种通话行为在总通话量中的比例赋予权重，该权重与每种通话行为的单价相乘后累加，得到的数值即位折合单价。

将引用“折合单价模型”对“全球通”、“神州行”、“动

感地带”三种资费方案进行评价。

对于“全球通”，因为其有月租，折合单价要包括月租。其算法如下：移动电话的折合单价*其比重+IP 电话的折合单价*其比重

移动：()**i i R x A x p a =+∑ 1i a =∑ 折合单

价=()R x x

I P ： 折合单价=''

*i i p a ∑ '1i a =∑

根据上面折合单价公式求出三种方案的资费标准如下：

1．全球通移动通话资费标准：

本地通话 ： 110.48/p

=元分钟 国内长途： 120.72/p

=元分钟 国际长途： 13 3.68/p

=元分钟 港澳台： 14

2/p

=元分钟

全球通IP通话：'

1

1.98/ j

p=元分钟2．神州行移动通话：

本地通话：

210.68/

p=元分钟

国内长途：

221.38/

p=元分钟

国际长途：

238.68/

p=元分钟

港澳台：

242.68/

p=元分钟神州行IP通话：

国内长途：'

220.3/

p=元分钟

国际长途：'

233.6/

p=元分钟

港澳台：'

241.5/

p=元分钟3．动感地带移动通话：

本地通话：

310.39/

p=元分钟

国内长途：

320.66/

p=元分钟

动感地带IP 通话：

国内长途：'

30.1/j p =元分钟

于是求出全球通的折合单价为''1()***0.7683/i i p x x

p a θωρ=+=∑元分钟。 “神州行”折合单价''2****0.6914/i i i i

p p a a θωρ=+=∑∑元分钟 动感地带“折合单价''3****0.3807/i i i i

p p a a θωρ

=+=∑∑元分钟 由上述三种资费方案的折合单价大小的比较，可

以看出，“动感地带”套餐最为优惠，“神州行”套餐次之，“全球通”最贵。

可以看出对于北京推出的“畅听99”套餐，其折合

单价介于0.25—0.45元/分钟之间，与现行“全球通”、“神州行”套餐资费标准相比，“畅听99”套餐更优惠。如图；

图3：全球通（红）与畅听99（蓝）话费时间图

由1）题中知：上海“全球通68”套餐在绝大部分时间范围内比北京“畅听99”套餐便宜，进而得知：上海“全球通68”套餐比现行“全球通”、“神州行”套餐资费标准便宜。