泛函分析在控制系统及算法中的应用

课程:应用法泛函分析题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用

学院：自动化与电气工程学院

专业：控制理论与控制工程

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二○一三年十二月十日

泛函分析在控制系统及算法中的应用

【摘要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。

【关键词】泛函分析控制理论与控制工程遗传算法最优控制

【中图分类号】O177.92- TL361

Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time,a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化

设一个系统的种群为

12

,.....

n

X x x x

??

=??

（1-1）

满足约束条

()

()

01,2,,

01,2,,

01,2,,

j

k

i

X j l

X k m

i n

g

h

x

?≤=

?

?

≤=

?

?

≥=

??

（1-2）

使目标函数：

()min

W X→（1-3）上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。目标函数是用来评价系统的优劣；在寻求目标函数满足约束条件下达到最小值，传统的遗传算法，按照适者生存的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，最后找出收敛的最优解。寻求最优解的过程汇总，当变量增多或者种群取值范围大时，寻求收敛的速度就会相应降低，无法精确的确定最优解的位置。因此采用一解空间到另一解空间的映射, 改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分析遗传算法的收敛性，上述问题可以得到相应的解决。

定义 1 度量:

d S S R

?→，其中 d 的表达式定义如下：

()()

()()

()

22

,

i i i i

d c f c f

x x x x

++

=--- (1-4) 其中i

x,2i S

x+∈ ,c 是一个大的正数。

首先证明(),S d 是度量空间，事实上(),S d 满足以下条件： S 位非空集合，d 为S S ?上的实值函数，对S 中的任意两个元素i

x

，

2i x

+对应

一个实数()2,i i d x x +满足： ()2

2

,0,,i

i i

i d S x x x x

++≥∈ (1-5)

且当仅当

2

i

i x x

+=时，()2,0i i d x x += 满足非负性；

()()()()(

)()()()

(

)22|2

,i i i i i i d c f c f c f c f x x x x x x +++=---=--- (1-6)

满足对称性

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

22

1

1

2

1

1

2

112,,,i i i i i

i i i i

i i i i i i i d c f

c f c f c f c f c f c f c f c f c f

d d x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++=---=

---+---≤

---+---=+ (1-7)

满足三角不等式，所以(),S d 为度量空间。其次证明(),S d 是完备度量空间，S 是一有限状态空间，即 S 中染色体的数目是有限的，对于任意染色体的柯西列

{}i

x 以及任意0ξ>，存在自然数 N ，当自然数 n, m > N 时，(),n

m

d x x ξ>，当 n →∝ 时，n

x x →，因此, (),S d 是完备的度量空间。最后证明(),S d 是

可分的，设G 是S 的子集，由于S 为有限集合，因此G 为可数子集，又G 的闭包包含S 中所有元素，所以G 在S 中稠密，这就证明了(),S d 是可分的，因此(),S d 是完备可分的度量空间。

定义 2 随机算子:T S S Ω?→称为随机压缩算子，如果存在非负实值随机变量

()1,..K a s ω<使

()()()()

()()111

,,,,1,

,i i i i i

i p d T T K d S x x x x x x

ωωωω+++≤=∈ (1-8)

定理 1 改进遗传算法所形成的映射T 是随机压缩算子。

证明：根据改进遗传算法运行机理，从理论上讲，如果采用 ELITIST 策略，每迭代一次就会产生比上 一迭代更好的个体，所以存在一个非负实值随机变量，

()01,..K a s ω≤<使得：

()()()

()()()()()

()()()()()()()

1111

1

,,,,,i i i i i i i i

i i

d T T d c f c f K c f c f K d x x x x x x x x x x ωωωω-++--==---≤

---=(1-9)

()()(){}0

1

1

.(,),(,),i i

i i

d T T k d x x x x ωωωω--=≤?ΩΩ (1-10)

()1p Ω= (1-11)

定义 3 设映射:T S S Ω?→为一随机算子，若可测映射:g S S Ω?→ 满足：存在非负实数1K <，使得

()()()()111,,,,,,i i i i i i d T T kd S

x x x x x x ωω+++≤?∈ (1-12)

则有唯一的不动点S ξ∈，且0

,,1,2,,i

i

S T i x

x

x

∈==

则必有,i

i x

ξ→→∞满足(16)的映射，称之为压缩映射或压缩算子。

定理 2 设随机算子:T S S Ω?→满足对几乎所有的(),T ωω∈Ω均为压缩算子，即

存在

?ΩΩ

，()01p =Ω，使任一0ω∈Ω，有：

()()()()()1

1

,,,,i

i i

i d T T K d x x x x ωωω++≤ (1-13)

对任一

1

,i

i S x x

+∈ ，其中()01K ω≤< ，对任一0ω∈Ω，则有唯一随机不动

点()g ω，即

()()(),T

g g ωωω= (1-14)

证明：利用巴拿赫压缩映射定理，对任一0ω∈Ω，存在()h S ω∈，为()T ω唯一不动点，对于任一x S '∈，则令：

则()g ω为()T ω广义不动点，且为()T ω唯一不动点，下面()g ω证明的可测性：对任一

S x ∈ ，令

()()()()()101,,,,1,2,

i i T T i x x x x ωωωωω+=== (1-15)

由于

()()()()0

,,,,i

i

i

T T S x x x x x ωωωω→→∈即()T ω连续，根据复合定

理知{}i x 为一随机变量列，又根据巴拿赫压缩映射定理，

()(),..i g a s x ωω→，由

随机变量的极限定理可知()g ω为一随机变量，从而()g ω为()T ω的随机不动点，且为()T ω的唯一不动点。因此遗传算法的求解迭代过程是一个随机压缩映射，根据定理2可知该迭代过程是收敛的。 二、控制系统的性能分析

随着科技的发展控制理论迅速发展，研究的系统复杂程度亦不断增大，但是控制系统的性能分析依然是研究主题。主要是控制系统的稳定性以及鲁棒性。稳

定性是系统在使它偏离平衡状态的外界扰动作用消失后，返回原料平衡状态的能

力；而控制系统的鲁律性则是指控制系统对特性或参数扰动的不敏感性。

设n X R =为欧式空间，(),x t X t R ∈∈ 称为系统的状态，一般系统方程为

()(,(),())x t f t x t u t =， 0[,)t t ∈∞ (2-1)

其中

[0,)2

.t r u L ∞∈为控制输入，假定采用状态反馈，即 ()()u t Kx t =

， 0[,)t t ∈∞ (2-2)

其中K ∈￡（R n ，R r ）；不失一般性，闭环系统仍可写成

()(,())x t f t x t =

， 0[,)t t ∈∞；?(0)x t x

= (2-3) 又设φ是系统的态变映射，则其等价形式是 0?()(,,)x t t t x

?=，0[,)t t ∈∞ (2-4) 二者之间的联系是

00(,,())()?(,())(,,)lim t t t t t x t x t f t x t t t x t

???→?+?-==?? (2-5) 如果式(2-3)式中的f 不依赖于时间变量t ，即

()(())x t f x t =

， [0,)t ∈∞；0(0)x x = (2-6)

则称其是自治系统；此时，态变映射可表示为

0()(,)x t t x ?=， [0,)t ∈∞ (2-7)

e x X

∈称(2-3)为式系统的一个平衡状态，如果

(,)0e f t x ≡， 0[,)t t ?∈∞ (2-8)

或者00(,,),[,)e e x t t x t t ?=?∈∞。

对于式(2-6)的自治系统，若f （0）=0，则0∈X 是一个平衡状态。一般情况

下，系统不必有平衡状态；而有平衡状态时，也并不一定只有一个。

设e x X ∈是式(2-3)的平衡状态，称其在ЛЯПУНОВ意义下是稳定的，

如果对任意0,0εδ>?>，当?e x

x δ-<时，则有

0?(,,)e t t x

x ?ε-≤， 0[,)t t ?∈∞ (2-9) e x X ∈称为渐近稳定的（或大范围渐近稳定的）。

设e1?和e2?是两个延拓赋范线性空间，12e e F ????称为一个输入输出关系；而任意(,)x y F ∈，x 称为输入，y 称为输出。定义在e1?上且取值e2?的关系F H ∈称为输入输出稳定的，如果F 有界且连续。反馈系统如图所

图 反馈系统

其中1121,,e u e y ∈?，而2212,,e u e y ∈?；1122,F H F H ∈∈均是输入输出关系，即12(0,0),(0,0)F F ∈∈。上述反馈系统，若开环增益满足

12()()1g F g F < (2-10)

则系统是输入输出有界的,即小增益定理。 如果开环增量增益满足

12??()()1g

F g F < (2-11) 则系统是输入输出稳定的, 即输入输出稳定性定理。

输入输出稳定性理论很容易用来进行系统鲁棒性分析。例如，对图一的系统．假定F 1有一个变化1F ?如果112()()1g F F g F +?<仍能成立，根据小增益定理，系统仍然是输入输出有界的。 三、泛函优化与最优控制

最优控制是现代控制理论的核心，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。基于泛函分析中紧集、测度等理论，对最优控制中广义控制的收敛性进行理论分析如下： 如果()t u σ是一族带参数σ

∈∑的强连续广义控制，并对一切t R ∈和

σ∈∑，()t u σ的测度都集中在一个固定的有界集r N U R ??中，则必存在一列

遂段长值控制

()

();,1,2,

,i U

t i u σδ∈=Ω

(3-1)

它关于σ∈∑强连续，并且满足

(i) 所有的

()

();i t u σδ的测度集中在N 上，等价的说，对于一切t R ∈及σ∈∑，

i=1,2,…,都有()

();i t N u

σ∈;

(ii)当i →∞时，序列

()

();i t u σδ关于σ∈∑一致地弱收敛于()t

u σ，换而言之，

对于任一紧支集的连续函数(),g t u ，有

()()

()()();,,0i t

R

t g t u dt i u u σσδ-→→∞? (3-2)

并且这个收敛关于σ∈∑是一致的。 证明：设对每个自然数i,有界开集族

()

{}

,1,2,

,i j

i

j p O

= (3-3)

覆盖了闭集N ,并设集合()()

1,,i

i i p O O 的最大值径随着i →∞而趋于零。又

()

(){}

,1,2,

,i j

i

u j p α

= (3-4) 是紧集N 上的关于子覆盖()

()

1,,i

i i p O O 的一个单位分解。对于任一σ∈∑，函数

()

()()()

();;,,i i j

t j

t t u t R u σσλ

α

=<>∈ （3-5）

关于t 可测且满足条件

()

()()

()1

0;1,;1,,1,2,

i

i i j j j p t t i σσσλλ=≤≤≡?∈∑=∑ (3-6)

由于，对每一σ∈∑，有 ()

()()

()()()0;1i i j

t

t

N

j

N

t u d d u u σσσαλ≤

=≤=?? (3-7)

()

()()()

()()

()()

()1

1

1

;,1

i

i

i

i i i j

t j j

t N

j j j t N

p p p t u u d d u u u σσσσλ

αα

====<>===∑∑∑?

? (3-8)

当σσ→时， ()

()()

()1

;;0,

1,2,

i

i i j

j

R

j p t t dt i σσλλ=-→=∑

? （3-9）

事实上，

()

()()

()

()()

()

()1

1

;;,i

i

i i i j

j t t j R

R

j j p p t t dt u dt u u σσσσλ

λα==-=->∑∑

(3-10)

但是由于

()()1i j

u α≤，且()

i j

α

有紧支集，根据Radon 测度范数的定义，有

()()()()1

i

t

t

t

t

i R

R

j p dt dt p u u u u σσσσ=-=-∑?? (3-11)

由假设，

()t

u σ强连续地依赖于参数σ∈∑，即

()()()0,t

t

i R

dt p u u σσσσ-→→? (3-12)

于是，（3-9）成立。

对于每个1,2,

,i =在交集()

i j

N O 中任意选一点

()

,1,2,,

i j

i

j p

u

=如果该交集

是空集，就令()

i j u u =，这里的u 是N 中的一个固定点。就得到一个点集

()

()

()

{}1

2,,

,1,2,

i

i i i N i p

u

u u ?=直观地说，当（3-5）式中的函数

()

()i j

u α充分的“接

近”于集合

()

i j

O

的特征函数时，

()

();i j

t σλ

将近似地表示出()t u σ于()

i j N O 上

的测度。但对于充分大的i,所有的集合()

i j

O

的直径必充分小，结果

()t

u σ可近

似地视为按量值()

()()()()

()1

2;,;,

,;i

i i

i t t t p σσσλλλ

集中在点()()()

12,,i

i

i

i

p

u u u 上。随着i 增大，按弱收敛的意义，两者的误差越来越少。

广义控制列，

()

()()()()1

;i

i

i

i t

j j j p t σσλδ==∑? (3-13)

当i →∞时关于σ∈∑一致地弱收敛于广义控制

()t

u σ。

任取一具有紧支集的连续函数(),g t u ，并令g I 为支集在t 轴上的投影。记为

()

()()

()()

(

){

}1,,,sup

max

i i

g j

i i j

j t u g t u g t p O I u η

≤≤∈?=- (3-14)

可知，

()

()0,

i i η

→→∞ (3-15)

因此

()()

()()()()

()()()()()()()()

()()()()

1

1

1

,,,,;,,,,i

i

i

i j t R

i i

i

t j

j j R

R j j i i t

j

j R

j g t u dt

p p u g t u dt t g t dt

p u g t u g t dt u u u u u σσσσσα

λα

===<->=

<>-??=

<->????

??

∑∑?

?∑? (3-16)

()()

()

()()

()()

()()

()()

()

()()

()

()()

()

()

1

1

1

,

,,,0

i

i

g

i

g

g

g

g i i t j

j

R

j i i t j

j i i j

t

N

j i i t N

i

g

p u g t u g t dt

p u dt

I

p dt u d d I

dt d dt dt

I

I

I i u u

u u u I

σσσσ

α

ηα

ηαηηη===≤<->≤<>==

==→→∞∑?

∑?∑??

???? (3-17)

且这一收敛关于σ∈∑是一致的。对于给定的广义控制

()()1

1,1,,1,2,

,j

p

p

t i j j j j t t U j p u u λδ

λ===≡∈=∑∑? (3-18)

构造逐段常值控制

()

()[]()()()()2

;,,,;,1,2,

,2j

i i

i

i

j

t u t i i t t j k k u u u i I σσ=??-=?∈?=且 (3-19)

的过程产生出一系列函数()

()i t u

，它的值以频率i 在区间[],t i i ∈-上快速震荡于

12,,

,p u u u 诸值之间。函数()

()i t u

在每个自取间2

2

1,,,k k t k i i

i i +≤≤

=-上，

取值于

i

u

的时间是

()()/,1/,

1,2,

,j

k i k i t dt j p λ+????

=?

这列震荡得越来越快的函

数弱收敛于广义控制t

?。

四、总结

本文首先基于泛函分析的改进遗传算法，指出了改进遗传算法搜索求解实际是一种随机压缩映射，根据随机压缩定理证明了遗传算法具有唯一随机不动点，即存在唯一随机解。使遗传算法的数学基础更加丰富和完善，这也对遗传算法的理论与应用研究具有重要的理论及实用价值；其次基于泛函分析的赋范线性空间

相关的理论对系统性能进行了分析，更为简单的分析系统的稳定性以及鲁棒性；最后结合紧集、测度等理论对最优控制中广义控制的收敛性进行严格的数学证明。

控制理论与控制工程中涉及的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。大都与应用泛函分析密切先关，如：系统分析，包括系统的稳定性分析、能控能观性分析、鲁棒性分析等，可以结合应用泛函中的距离空间、赋范线性空间等使得理论分析更为方便；系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能，可以结合压缩映射、线性算子等众多理论。建模和优化，与应用泛函分析中紧集、测度、不动点理论等众多理论密切相关。总之，

应用泛函分析不仅为控制理论与控制理论提供了强有力的分析工具，也为研究者提供了不同的研究方法，使得研究者对控制理论与控制工程相关的理论有了更进一步的理解，拓展了研究者的视野，增强研究者的数学思维以及分析问题解决问题的能力。同时应用泛函分析在其他领域也被广泛应用，例如，微分方程的解的问题、非线性系统的分析、对策论和数理经济学等。

五、参考文献

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