高一数学基本初等函数学习讲义

高一数学基本初等函数学习讲义

题型一：判断两函数是否为同一个函数

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）

2)(x x f =，33)(x x g =；

（2）x x x f =)(，???<-≥=;01,01)(x x x g （3）

1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；

（5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。

[解析] （1）由于x x x f ==2)(，x x x g ==33)(，故它们的值域及对应法则都不相同，

所以它们不是同一函数. （2）由于函数x x

x f =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，而???<-≥=;

01,01)(x x x g 的定义域为R ，所以它们不是同一函数.

（3）由于当n ∈N *时，2n ±1为奇数，∴x x x f n n ==

++1212)(，x x x g n n ==--1212)()(，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数x x f =)(1+x 的定义域为{}0≥x x ，而x x x g +=2)(的定义域为{}10-≤≥x x x 或，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数

题型二：求函数的定义域、值域

【求函数的定义域】

[例2]设()x x x f -+=22lg

，则??? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A . ()()4,00,4 -；B . ()()4,11,4 --；C . ()()2,11,2 --；D . ()()4,22,4 --

[解题思路]要求复合函数??

? ??+??? ??x f x f 22的定义域，应先求)(x f 的定义域。

[解析]由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<，故22,222 2.x x ?-<

解得()()4,11,4x ∈--。故??

? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --.选B. 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数()f x 的定义为[,]a b ，则函数[()]f g x 的定义域是满足不等式()a g x b ≤≤的x 的取值范围；一般地，若函数[()]f g x 的定义域是[,]a b ，指的是[,]x a b ∈，要求()f x 的定义域就是[,]x a b ∈时()g x 的值域。

【求函数的值域】

[例3] 已知函数22()2x x f x -+=，求函数()f x 在[]12，上的值域。

解析：()()2g x f x =，根据复合函数“同增异减”得到()f x 在区间[]12，上为增函数，故()f x 值域为[](1)(2)f f ，

解：由题意2min ()(1)24f x f ===，5max ()(2)232f x f ===，故()f x 在区间[]12，上的值域为[]432，

[例4]已知函数

)(6242R a a ax x y ∈++-=，若0≥y 恒成立，求f(a)=2-a(a+3)的值域。 [解题思路]应先由已知条件确定a 取值范围，然后再将)(a f 中的绝对值化去之后求值域

[解析]依题意，0≥y 恒成立，则0)62(4162≤+-=?a a ，解得231≤≤-a ， 所以4

17)23()3(2)(2++-=+-=a a a a f ，从而4)1()(max =-=f a f ，419)23()(min -==f a f ，所以)(a f 的值域是]4,419[- [例3]求函数4

32+=x x y 的值域。 当0=x 时，0=y ；当0≠x 时，x

x y 43+=，若0>x ，则4424=?≥+x x x x 若0

x x x x x ，从而得所求值域是]43,43[-

题型三：函数的奇偶性 B

[例6]函数（ ）

解：∵

=

[例7] 函数y=是（）

解：由函数的形式得解得

==y

，