非线性系统的鲁棒自适应控制

非线性系统的鲁棒自适应控制

Robust Adaptive Control of Uncertain Nonlinear Systems

郝仁剑3120120359

摘要：本文以非线性系统的控制问题为背景，介绍了多种经典的非线性系统的控制方法以及研究进展，分析了各种控制方法存在的优点和不足。着重介绍了鲁棒自适应控制在非线性系统中的应用，结合该领域的近期研究进展和实际应用背景，给出对鲁棒自适应控制的进一步研究目标。

关键词：非线性系统鲁棒控制自适应控制

1.前言

任何实际系统都具有非线性特性，非线性现象无处不在。严格地说，线性特性只是其中的特例，但是非线性系统与线性系统又具有本质的区别。由于非线性系统不满足叠加原理，因此非线性特性千差万别，这也给非线性系统的研究带来了很大的困难。同时，对于非线性系统很难求得完整的解，一般只能对非线性系统的运动情况做出估计。众所周知，控制理论经历了经典控制理论和现代控制理论两个发展阶段。在第二次世界大战前后发展起来的经典控制理论应用拉普拉斯变换等工程数学工具来分析系统的品质。它广泛地应用于单输入单输出、线性、定常、集中参数系统的研究中。随着控制对象的日益复杂以及人们对控制系统精度的不断提高，经典控制理论的局限性就暴露出来了。在20世纪50年代，Bellman根据最优原理创立了动态规划。同时庞特里亚金等学者创立了最大值原理。后来，Kalman提出了一系列重要的概念，如可观性，可控性，最优线性二次状态反馈，Kalman滤波等。这些理论和概念的提出大大促进了现代控制理论的发展。控制系统的设计都需要以被控对象的数学模型为依据，然而对于任何被控对象不可能得到其精确的数学模型，如在建立机器人的数学模型时，需要做一些合理的假设，而忽略一些不确定因数。不确定性的必然存在也正促使了现代控制理论中另一重要的研究领域——鲁棒控制理论的发展。Zmaes关于小增益定理的研究以及Kalman关于单输入单输出系统LQ调节器稳定裕量的分析为鲁棒控制理论的发展产生了重要的影响。特别是Zmaes1981年发表的论文[1]标志H∞控制理论的起步。1984年Francis和Zmaes基于古典插值理论提出H∞问题的初步解法。Glover运用Hankel算子理论给出了H∞问题的解析解。Doyle在状态空间上对Glover解法进行整理和归纳。至此H∞控制理论体系初步形成。同时，Doyle首次提出结构化奇异值的概念，后来形成了μ解析理论。另外一种重要的控制器设计方法是基于Lyapunov函数的方法。在进行鲁棒控制器的设计时，一般都假设系统的不确定性属于一个可描述集，比如增益有界，且上界己知等。一般来说，鲁棒控制是比较保守的控制策略。对所考虑集合内的个别元素，该系统并不是最佳控制。对于具有参数不确定性的一类系统，自适应控制技术被提了出来，如模型参考自适应控制和自校正控制等。在实际应用中，由于被控对象具有未建模动态，过程噪声或扰动的统计特性远比设计时所设想的情况更复杂，以及持续激励条件和严正实条件等“理想条件”被打破，这都会导致自适应控制算法的失稳。于是自适应控制的鲁棒性课题，即鲁棒自适应控制受到了广泛的关注。大量的工程实践表明，对于复杂的工业对象和过程，引入自适应策略能够提高控制精度，提高生产效率，降低成本。近年来，非线性自适应控制技术取得突破性的发展，控制器的结构化设计技术也正日益得到广泛的研究与应用。

随着科学技术的发展，特别是航海，航空和航天技术，以及工业控制技术的发展，人们对严重非线性系统，变参数系统迫切要求更精密、有效的控制算法。但又由于非线性系统的复杂性以及不确定性的多样性，要在统一的框架下处理多种非线性不确定系统是很困难的。将非线性系统自适应控制与鲁棒控制相结合起来，综合近年来的非线性控制技术，控制器结构性设计技术以及智能控制技术等，提出高性能的和可行的控制系统设计方法，这对促进工业生产和国防建设，以及发展和完善非线性控制理论都将具有重要的意义。

2. 非线性控制

2.1 相平面法

早期的非线性控制方法有“相平面法”，描述函数法，绝对稳定性理论等。相平面法最早由Poincare等数学家们提出来。其主要思想是在一个叫做相平面的二维平面内，产生出对应于各种初始条件的运动轨迹，从各种运动轨迹可以得到系统的一些定性特性。该方法的缺点是只局限于一阶和二阶的非线性系统，对高阶系统的图解分析将变得非常困难。描述函数法是一种近似的分析方法，它将系统在正弦信号作用下产生的输出用基波分量来近似。这样就可以得到输入输出信号之间在幅值和相位上的相互关系，即获得非线性系统近似的频率特性。但是该方法对复杂的非线性系统就变得无能为力。绝对稳定性概念是由鲁里叶和波斯特尼考夫提出来的。其中比较著名的绝对稳定性判据有波波夫判据和圆盘判据。波波夫判据通过分析系统中线性部分的频率特性就能判断整个系统的绝对稳定性。圆盘判据是一种频域形式的判据。但这些判据都很难推广到多变量非线性系统中。

2.2 Lyapunov函数法

研究非线性控制系统稳定性最常用的方法是Lyapunov在著作《动态稳定性的一般问题》中提出的方法。该方法包括直接法和间接法。间接法是从非线性的线性逼近稳定性质得出非线性系统在一个平衡点附近的局部稳定性的结论。直接法是通过借助于一个Lyapunov函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出判断，即从能量的观点对系统进行稳定性的分析。如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移在逐渐衰减，到达平衡状态时，能量达到最小，那么这个平衡状态是渐进稳定的。或者系统存储的能量既不增加也不减少，那么这个平衡状态也称为是稳定的。该方法适用于任何系统，可以是时变的或定常的，也可以是有限维的或者无限维的。该方法的局限性在于往往很难对一个给定的系统找出一个切Lyapunov函数。克拉索夫斯基法和变量梯度法为早期提出的构造切Lyapunov函数的方法。

2.3 反馈线性化法

在上个世纪80年代中期，微分几何和微分代数方法的引入为非线性控制理论的研究带来了突破性的进展，使得研究模式摆脱了局部线性化和小范围运动的限制，实现了非线性系统大范围的分析与综合。一种新的非线性控制方法——反馈线性化引起人们极大的兴趣。Krener首先对局部反馈线性化控制的充分条件进行了研究，随后Boothby，Dyawansa等人将这一局部结果推广到全局。反馈线性化的基本思想是通过代数变换将一个非线性系统变换成线性系统，从而可以应用熟知的线性理论来进行控制器的设计。该方法与传统的基于平衡点附近线性化的方法有本质的区别，因而又称为精确线性化或全局线性化。该方法的缺点是要求系统模型精确己知。在处理不确定线

性系统时，Kharitonov区间理论，H∞控制理论，结构奇异值理论(μ理论)起着重要的作用。

2.4 鲁棒控制法

对于非线性系统的鲁棒控制算法，典型的是变结构控制。由于变结构算法能够使系统沿设计好的“滑动模态”轨迹运动，因而使系统具有很强的鲁棒性。同时由于其结构简单、响应快而受到普遍重视。以微分几何为主要工具发展起来的非线性控制理论思想极大推动滑模控制理论的进展。为了使系统保持在“滑动模态”上运动，滑模控制需要来回地作逻辑切换，故容易引起抖振现象。抖振的发生将破坏“滑动模态”的优良性能，增加能耗，激发系统未建模高频，对整个系统产生破坏作用。虽然已经提出了许多消弱抖振的方法，但是该问题还没有真正地得到解决。目前，对于非线性系统的鲁棒控制问题，主要的解决方法仍然以Lyapunov稳定性理论为基础。首先假设系统的不确定性可表示为有界未知参数或有界未知函数，根据上界值或上界函数以及标称对象来构造一个适当的Lyapunov函数，使得系统对于不确定集中的任何元素都是稳定的。事实上，构造Lyapunov函数的过程也正是使系统无源化的过程。此时Lyapunov 函数正是保证系统无源化的存储函数。非线性系统无源性的KYP引理揭示了对非线性系统构造存储函数的可能性。系统称为无源的是指系统的能量总是小于或等于初始时刻系统所具有的能量与由外部提供的能量之和，即系统只从外部吸收能量，而系统本身并不向外部释放能量。系统的无源性概念的更一般的推广就是所谓的耗散性。对于给定的能量供给率，如果存在一个依赖于系统状态的非负能量存储函数，使得耗散不等式成立，则称系统是耗散的。工程中常用的供给率是由输入到输出信号的范数之差给出的，即L2增益约束的控制问题。如果系统对于这类供给率是耗散的，那么该系统由输入到输出就满足L2增益约束条件。许多与L2增益约束有关的控制问题，如L2综合问题，H∞问题，以及干扰近似解耦或L2干扰抑制等，都可以归结为使系统耗散的问题。从本质上讲，非线性H∞二控制就是一种L2增益约束控制问题。非线性H∞控制在上世纪90年代得到重要发展。Vander Schaft运用无源性和耗散理论，给出了一个求解H∞状态反馈控制的方法。该方法利用Hamilton矢量空间的Hamilton-Jacobi方程和不变流形作为分析工具，并假设Hamilton系统在一定条件下具有双曲平衡点，得出线性化系统的H∞控制问题是可解的。Isidori等人提出解决非线性H∞控制问题的微分对策框架，并且基于该框架给出了符合分离原理的输出反馈控制器的存在条件。然而，理论上的发展并没有促进非线性H∞控制方法在实际系统中的广泛应用。其中一个关键的问题是非线性H∞控制问题需要求解Hamilton-Jacobi-Issacs (HJI)偏微分不等式，而该不等式的求解是相当困难的。Yazdanpanah等人，证明了非线性反馈控制器总是导致比线性控制器更大的有效域，且扰动衰减系数越大，HJI不等式的有效域越大。反之，扰动衰减系数越小，HJI不等式有效域越小。但该方法仅仅是一个粗糙的估计。Soravia从粘性解的角度，研究了非线性H∞控制问题可解的充分必要条件，并证明了在输入是紧集的情况下充分条件就是必要条件。另外也有一些学者针对HJI不等式提出了一些数值解法。由于目前对于HJI不等式在数学上还没有通用的方法，因此人们开始尝试开辟新的途径来绕过不等式的求解。文献[2,3]研究了不确定非线性系统的自适应鲁棒L2干扰抑制问题。在系统存在干扰和未建模动态的情况下，一些新的非线性设计方法[4,5]都避免了求解HJI不等式。

3. 鲁棒自适应控制研究进展

自适应控制是另外一种重要的非线性控制技术。常规的反馈控制系统对于系统内

部特性的变化或者外界干扰也具有一定的抑制能力，但由于控制器的参数是固定不变的，当系统内部特性发生变化或者外界干扰很大时，系统的稳定性就无法保证。而自适应控制的优点就是具有一定的适应能力，它可以根据系统的输入输出数据，不断地辨识系统的参数。通过在线辨识，系统的模型越来越接近实际。随着模型的不断改进，作用于系统的控制输入也随之发生相应的变化，即体现出算法的学习能力。早在上世纪80年代，研究者就发现，在存在外界干扰或建模误差的情况下，常规的自适应控制算法会出现不稳定的现象。自此以后，鲁棒自适应控制策略的研究成为了一个研究热点。因此80年代取得了大量关于自适应控制的鲁棒性结果。如死区修正算法的提出，利用死区或相对死区方法把扰动噪声对系统的影响限制在死区内。只有当跟踪误差超过了这个死区，才产生自适应作用。否则中断自适应率。Praly利用归一化参数估计来使回路信号保持在归一化信号意义下的有界，该方法能够克服由于回归量的增值而引起的参数估计失效的情况。为防止估计参数因外界干扰或未建模动态引起的漂移，可在参数估计的每一步都将参数投影到一个含有真参数的有界凸域中，即所谓的投影算法。为消除自适应律的纯积分作用，克服低频或高频未建模特性引起的不稳定，可在自适应律中加入一个δ修正项。事实上，就像非线性系统的鲁棒控制问题一样，非线性系统的自适应控制问题也同样很难依靠线性方法来加以解决。基于反馈线性化技术，S.Sastry，A.Isidori讨论了非线性系统自适应控制。由于系统的非线性项要求满足增长性条件和匹配条件，因此算法具有一定的局限性。而非线性系统的自适应控制研究具有里程碑意义的当数Kanellakopoulos等人提出的后推设计方法。后推设计方法的基本思想是将非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统。然后为每一个子系统设计一个Lyapunov函数以及相应的虚拟控制器，直至完成整个控制器的设计。该方法利用系统的结构特性递推地构造整个系统的Lyapunov函数，使得控制器的设计结构化、系统化，并且消除经典无源设计中相对度为一的限制。同时它也放宽了对系统的非线性项增长性条件和匹配性约束条件。该方法还能够获得任意好的瞬态响应性能。为了解决参数重复估计问题，Krstic提出了调节函数的概念[6]。非线性自适应控制可用于克服系统中的不确定参数，但对于外界干扰和未建模动态比较敏感。由于鲁棒控制在抑制干扰和补偿未建模动态时具有良好的性能，因此将两种算法结合起来能够起到扬长避短的作用。这也是近年来非线性系统鲁棒自适应控制成为一个研究热点的基本原因。目前，在鲁棒自适应后推设计方面己取得非常丰富的成果。文献[7,8]研究了干扰近似解耦问题。在考虑非线性系统存在未建模动态或者干扰的情况下，文献[9]给出了非线性系统输出反馈控制策略。在随机干扰的情况下，文献[10]研究了系统的后推控制算法。文献[11，12]将鲁棒自适应后推算法推广到具有输入饱和的非线性系统中。控制方向未知的问题是自适应控制中一个颇受关注的问题。当控制系数为未知的定常参数时，文献[13]提出了一种鲁棒控制策略。该方法是首先根据假设的控制方向设计一个控制器，然后在线对控制方向进行辨识。若实际的控制方向与假设的方向相反，则采用连续的切换律对控制器进行修正。后来Kaloust将该方法推广到具有时变控制系数的系统中。该算法的缺点是计算比较复杂，很难推广到高阶非线性系统中。另外一种处理方法是Nussbaum首次提出的基于Nussbaum增益的设计技术。接着这种方法被推广到了高阶线性系统。对于控制方向未知的高阶非线性系统，Ding和Ye将Nussbaum的设计方法进行推广，提出一种新的设计方法。Ye进一步将该方法推广到时变系统和输出反馈控制中。Ge研究了控制方向未知的受扰非线性系统神经网络控制方法。近来，Xu针对这类问题又提出了一种新的学习控制策略。文献[14]讨论了不确定离散系统的鲁棒自适应控制。文献[15]研究了非完整系统的鲁棒自适应控制方法。Zhang，Ezal等人提出了一种能实现局部优化的鲁棒自适应后推算法。Wen研究了采用后推算法的分散自适应控

制。文献[16]研究了多输入多输出非线性系统鲁棒自适应控制问题。文献[17]研究了时变系统的鲁棒自适应控制方法。对于非匹配非线性时滞系统，文献[18]研究了其控制器设计问题。基于后推技术的鲁棒自适应控制策略在机器人，伺服系统，电机控制中得

到了广泛的应用，并取得了理想的控制效果。

4.研究目标

?以永磁同步电动缸为背景，研究存在摩擦、死区非线性的鲁棒自适应控制问题；

?对于时变参数的非线性系统，研究可提高自适应速度和精度的鲁棒自适应控制方法，用以解决电动缸等机构中摩擦参数与时变负载相关的问题；

?对于加载系统和力/位移混合伺服系统，建立鲁棒自适应控制律；

?对于多输入多输出非线性系统，特别是一类并联或冗余机构的机器人系统，研究其鲁棒自适应控制算法。

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