考点5 函数与方程、函数模型及其应用
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考点5 函数与方程、函数模型及其应用
1.（2010·天津高考文科·Ｔ4）函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是（ ）
(A)（-2,-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
【命题立意】考查函数零点的概念及运算.
【思路点拨】逐一代入验证.
【规范解答】选C.()2,(0)10,(1)10,x
f x e x f f e =+-∴=-<=-> 故选C.
2.（2010·天津高考理科·Ｔ2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( )
(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
【命题立意】考查函数零点的概念及运算.
【思路点拨】逐一代入验证. 【规范解答】选B.5()23,(1)0,(0)10,2
x
f x x f f =+∴-=-<=> 故选B. 3.（2010·福建高考文科·Ｔ7）函数223,0()2ln ,0?+-≤=?-+>?x x x f x x x ，
，的零点个数为（ ） (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度.
【思路点拨】作出分段函数的图象，利用数形结合解题.
【规范解答】选 A.绘制出图象
大致如图所示，所以零点个数为2.
【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解.
令()f x 0=，则
（1）当x 0≤时，2x 2x 30+-=，x 3∴=-或x 1=（舍去）.
（2）当x 0>时，2ln x 0-+=，2x e ∴= .
综上所述，函数()f x 有两个零点.
4.（2010·福建高考理科·Ｔ4）函数223,0()2ln ,0
?+-≤=?-+>?x x x f x x x ，
，的零点个数为（ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【命题立意】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对
基本初等函数的掌握程度.
【思路点拨】作出分段函数的图象，利用数形结合解题.
【规范解答】选 C.
绘制出图象大致如图，所以零点个数为2. 【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解.
令()f x 0=，则（1）当x 0≤时，2x 2x 30+-=，x 3∴=-或x 1=（舍去）.
（2）当x 0>时，2ln x 0-+=，2x e ∴=.
综上所述，函数()f x 有两个零点.
5.（2010·浙江高考文科·Ｔ9）已知x 0是函数f(x)=2x +
11x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞）
，则（ ） （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0
（C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0
【命题立意】考查了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题.
【思路点拨】本题可先判断函数()f x 的单调性，从而得到零点两侧函数值的符号.
【规范解答】选B.2x y =与11y x =-在(1,)+∞上都为增函数，所以1()21x f x x
=+-在(1,)+∞上单调递增，因为0()0f x =，1020,x x x x <>，所以12()0,()0f x f x <>.
6.（2010·浙江高考理科·Ｔ9）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（ ）
（A ）[]4,2-- （B ）[]2,0- （C ）[]0,2 （D ）[]2,4
【命题立意】本题考查函数的性质及函数的零点存在定理.
【思路点拨】本题可验证函数在区间的端点处的函数值是否异号；如果异号，则存在零点；如果同号，一般不存在零点.
【规范解答】选A.(4)4sin(7)40f -=-+>，(2)4sin(3)2f -=-+，
536ππ-<-<- ，sin y x =在-,-2ππ?????
?上单调递减，51sin(3)sin()62π∴->-=-，(2)0f ∴->，f(-4)·f(-2)＞0，又∵f(x)在[-4,-2]上单调，所以()f x 在区间[4,2]--内不存在零点.同理可验证函数在B ，C ，D 的区间内存在零点.
7.（2010·陕西高考理科·Ｔ１0）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）
(A) y=10x ?????? (B) y=310x +?????? (C) y=410x +?????? (D) y=510x +??????
【命题立意】本题考查灵活运用已有的知识解决新问题的能力，属难题.
【思路点拨】理解y=[x ]的含义及选法规定是解题的关键，可用特例法进行解答.
【规范解答】选B. 若67x =，则由推选方法可得7y =，而A [6.7]6y ==；
B y ＝3[7]710x +??==????
；同理可得C y 7;= D y=7，排除A ；再令66x =可排除C ，D ；故选B. 【方法技巧】特例法解选择题的方法技巧
用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等等)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等等,注意:特例法只能否定选择支，不能肯定选择支.
当正确的选择对象，在题设条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30％左右.
8.（2010·北京高考文科·Ｔ１4）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x
轴滚动.设顶点P （x ，y ）的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =，则()
f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所
围区域的面积为 .
说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.
沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，
再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动.
【命题立意】本题考查函数的相关知识，考查函数的周期、零点.要求考生具有探索意识和动手能力，属创新题.
【思路点拨】让正方形向右滚动，作出点P 的图象，从图象可求出周期与面积.
【规范解答】点P 在一个周期内的运行轨迹如图所示.()y f x =的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为三个扇形：扇形'PP A ，扇形P P B '''，扇形P PC ''与
',Rt P AB Rt BP C ??Rt BP C ''
的面积之和，即22211111121114442
ππππ??+??+??+???=+.
【答案】4 1π+
9.（2010·北京高考理科·Ｔ１4）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y 的轨迹
方程是()y f x =，则函数()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .
说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续.类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动.
【命题立意】本题考查函数的相关知识，考查了函数的周期、零点.要求考生具有探索意识和动手能力，
y
属创新题.
【思路点拨】先让AP 与x 轴重合，再向右滚动，作出()y f x =的图象.利用图象求最小正周期及面积.
【规范解答】点P 在一个周期内的运行轨迹如图所示，()y f x =的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为三个扇形：扇形'PP A ，扇形P P B '''，扇形P PC ''与
',Rt P AB Rt BP C ??Rt BP C ''
的面积之和，即22211111121114442ππππ??+??+??+???=+.
【答案】4
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