基于小波变换的语音信号去噪(详细)

测试信号处理作业

题目：基于小波变换的语音信号去噪

年级：级

班级：仪器科学与技术

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日期：2015年6月

基于小波变换的语音信号去噪

对于信号去噪方法的研究是信号处理领域一个永恒的话题。经典的信号去噪方法，如时域、频域、加窗傅立叶变换、维纳分布等各有其局限性，因此限制了它们的应用范围。小波变换是八十年代末发展起来的一种新时-频分析方法，它在时-频两域都具有良好的局部化特性；并且在信号去噪领域获得了广泛的应用。

目前已经提出的小波去噪方法主要有三种：模极大值去噪、空域相关滤波去噪以及小波阈值去噪法。阈值法具有计算量小、去噪效果好的特点，取得了广泛的应用。然而在阈值法中，阈值的选取直接关系到去噪效果的优劣。如果阈值选取过小，那么一部分噪声小波系数将不能被置零，从而在去噪后的信号中保留了部分噪声信息；如果阈值选的偏大，则会将一部分有用信号去掉，使得去噪后的信号丢失信息。

1、语音信号特性

由于语音的生成过程与发音器宫的运动过程密切相关，而且人类发音系统在产生不同语音时的生理结构并不相同，因此使得产生的语音信号是一种非平稳的随机过程(信号)。但由于人类发生器官变化速度具有一定的限度而且远小于语音信号的变化速度，可以认为人的声带、声道等特征在一定的时间内(10- 30ms)基本不变，因此假定语音信号是短时平稳的，即语音信号的某些物理特性和频谱特性在10-30ms的时间段内近似是不变的，具有相对的稳定性，这样可以运用分析平稳随机过程的方法来分析和处理语音信号。在语音增强中就是利用了语音信号短时谱的平稳性。

语音信号基本上可以分为清音和浊音两大类。清音和浊音在特性上有明显的区别，清音没有明显的时域和频域特性，看上去类似于白噪声，并具有较弱的振幅；而浊音在时域上有明显的周期性和较强的振幅，其能量大部分集中在低频段内，而且在频谱上表现出共振峰结构。在语音增强中可以利用浊音所具有的明显的周期性来区别和抑制非语音噪声，而清音由于类似于白噪声的特性，使其与宽带平稳噪声很难区分。

由于语音信号是一种非平稳、非遍历的随机过程，因此长时间时域统计特性对语音信号没有多大的意义，而短时谱的统计特性对语音信号和语音增强有着十分重要的作用。语音信号短时谱幅度统计特性的时变性，使得语音信号的分析帧在趋于无穷大时，根据中心极限定理，其短时谱的统计特性服从高斯(Gauss)分布，而在实际应用时只能在有限帧长下进行处理，因此，在有限帧时这种高斯分布的统计特性是一种近似的描述，这样就可以作为分析宽带噪声污染的带噪语音信号增强应用时的前提和假设。

2、常用的信号分析方法

2.1傅立叶变换

傅立叶变换(Fourier transform ，FT )由下式定义：

正变换：μ()()j t f f t e dt ωω+∞--∞=?；逆变换： μ()()j t f t f e dt ωω+∞

-∞=?

对于确定信号和平稳随机信号，傅立叶变换是信号分析和信号处理技术的理论基础，有着非凡的意义，起着巨大的作用。 傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，μ()f ω具有明确的物理含义，通过μ()f ω 来研究()f t ，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现的非常清楚。

但正是由于傅立叶变换的域变换特性，()f t 与μ()f ω彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。作为变换核的j t e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1j t e ω±=，因此，频谱μ()f ω在任一频率处的值是由实践过程()f t 在整个时间域()~-∞+∞上的贡献决定的；反之，过程()f t 在某一时刻的状况也是由μ()f ω在整个频率域()~-∞+∞上的贡献决定的。如果要想知道所分析信号在突变时刻的频率成分，那么傅立叶变换是无能为力的，因为傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变部分。

傅立叶变换能提取出函数在整个频率轴上的频率信息，却不能反映信号在局部时间范围内的特征。对于变频信号，如音乐、地震、回波信号 灯，此时所关心的恰恰是信号在局部时间范围内(特别是突变部分)的信号特征(一般是频率成分)。 对非平稳信号用傅立叶变换进行分析，不能提供完全的信息，也即通过傅 立叶变换，可以知道信号所含有的频率信息，但无法知道这些频率信息究竟出现在哪些时间段上。可见，若要提取局部时间短的频率信息，傅立叶变换已经不再实用。

2.2 小波变换

小波分析是一种窗口面积固定但其形状可以改变，时间窗和频率窗都可改 变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间 分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被称为数学显微镜。正是这种特性，小波变换具有对信号的自适应性。

小波变换具有以下的特点和作用：

(1)具有多分辨率的特点，可以由粗到细逐步观察信号；

(2)我们可以把小波变换看成用基本频率特性为()ψω的带通滤波器在不同

尺度

a 下对信号做滤波。由于傅立叶变换的尺度特性，如果()t ψ的傅 立叶变换是()ψω，则 t a ψ?? ???

的傅立叶变换是 ()a a ψω，因此这组滤波器具有品质因数恒定的即相对带宽(带宽与中心频率之比)恒定的特点。

(3)适当的选择基本小波，使()t ψ在时域上为有限支撑，()ψω在频域上也比较集中，便可以是小波变换在时频两域都具有表征信号局部特征的 能力，这样就有利于检测信号的瞬态或奇异点。

3、小波去噪的基本理论

3.1 信号和噪声在小波域各个尺度上的传播特性

信号的奇异性或非正则性结构往往包含了它的本质信息。例如，图像亮度的不连续性表示其中含有边缘；在心电图或雷达信号中，令人感兴趣的信息包含在信号的峰变处。可以证明，信号的局部正则性可有其小波变换幅值随尺度参数的衰减特性来刻画，奇异性和边缘可以通过确定小波变换在细尺度下的局部模极大值来刻画。图1，给出一带噪阶越信号的离散二进小波变换。从图中可以看出，原始信号在尖锐变化点在每个尺度上都产生极大值点，也就是说，局部模极大值点描述了信号和图像的边缘，而噪声能量却集中在小尺度上，其小波系数的幅度值随着尺度的增加迅速衰减。即信号和噪声在多尺度空间上具有不同的特性，数学上称它们有不同的Lipschitz 指数。

图1 带噪信号多尺度小波分解

设 n 是一非负整数，1n a n <≤+，如果存在两个常数 A 和00h >及 n 此多项式()n P h ，使得对任意的0h h ≤，均有()()0n f x h P h A h α

+-≤ ，则称()

f x 在点0x 为Lipschitz 指数 a 。Lipschitz 指数越大，函数越光滑。 对于白噪声，可以证明它是一个处处奇异的随机分布，具有负的Lipschitz 指数1,02

a εε=--?>,其小波变换系数随着尺度的增大而减小；信号的Lipschitz 通常为正，其小波变换系数随着尺度的增大而增大。

3.2 小波基的选取

与标准的傅立叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数不具有唯一性， 即小波函数()t ψ具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是小波基的选取问题，虽然根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些 标准通常是以下几点[1]：

(1) 支撑长度：()()()(),,,t t ωψφφψω的支撑区间，是当时间或频率区域无穷大时，()()()(),,,t t ωψφφψω从一个有限值收敛到0 的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，而且产生更多高幅值的小波系数。

(2) 对称性： 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效的避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位特性。

(3) 消失矩：()t φ和()t ψ的消失矩阶数，对于数据压缩和特征提取是非常有用的，消失矩越大，就有更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度越长，必须做折中处理。

(4) 正则性：正则性好的小波，能在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，减小量化或涉入误差的影响。但在一般情况下，正则性越好，支撑长度越长，计算时间也就越大，也必须有所权衡。

(5) 相似性： 选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是由参考价值的。

不同的小波基对信号的描述是不同的，希望所选取的小波基能同时具有下 列性质： (1)对称性或反对称性； (2)较短的支撑； (3)正交性； (4)较高的消失 矩。然而，Daubichie 已经证明，Haar 小波是紧支正交小波基中唯一具有对称 性(反对称性)的小波基，并且较短的支撑和较高的消失矩是一对矛盾。所以， 为了得到小波基的对称性，就要放弃小波基的一些其他性质，或保持小波基的紧支性、正交性就只能得到近似的对称性。dbN 小波和symN 小波是工程实践中应用最为广泛的、最具价值的小波，仿真也表明这两种小波具有很好的去噪性能。

N 是小波的阶数，即消失矩为 N ，支撑区间为2N-1，symN 是一种近似对称的小波，是对dbN 的一种改进。 在本文中，使用sym4小波。

图2 小波函数

4、小波域三种去噪方法

4.1 模极大值去噪

信号的模极大值重构是指利用信号在各个尺度上小波系数的模极大值来重 构信号。信号小波系数的模极大值包含了信号峰变性与奇异性，如果可以根据这些极大值点重构信号，那么就可以通过处理小波系数的模极大值而实现对信号奇异性的修改，可以通过改变模极大值来修改奇异性的强度，也可以通过抑制某些极大值点而去除信号的奇异性，这是模极大值重构的基本思想[2]。 对于白噪声，可以证明它是一个处处奇异的随机分布，具有负的Lipschitz 指数

1,02

a εε=--?>，而有效的信号Lipschitz 指数通常为正。因此，可以有小波变换模极大值点幅值随尺度增大的变化规律来区分模极大值点是由噪声还是有信号产生。如果随着尺度增加，模极大值点的幅值迅速衰减，表明相应的奇异点具有负的 Lipschitz 指数，该模极大值点由噪声产生；反之，如果随着尺度增大，模极大值点幅值逐渐增大，说明该极大值点由信号产生。 经过以上分析，对叠加有正态白噪声的信号进行小波变换后，噪声的模极大值点个数将随着尺度因子的增加而显著减小。在经过若干次小波变换后，由噪声对应的模极大值点已基本去除或幅值很小，而所余极值点主要由信号产生的。故可利用这一性质由大尺度到小尺度逐级确定各个尺度上由信号产生的小波系数模极大值，然后重构信号，从而达到滤波目的。

基于以上原理，有如下滤波算法：

(1) 对含噪信号进行离散小波变换，一般进行 4-5个尺度，并求出每一尺度上小波系数模极大值点；

(2) 在对大尺度上，选一阈值t ，若极值点对应的幅度小于t ，则去掉该点，否则予以保留。这样就得到最大尺度上新的模极大值点。

(3) 在尺度j-1上寻找尺度j 上的小波变换模极大值点的传播点，既保留由信号产生的极值点，去除由噪声引起的极值点；

(4) 在尺度j 上的极大值点位置，构成一个邻域(),ji j o n δ。其中ji n 为尺度 j 上的第i 个极值点，j δ为仅与尺度j 有关的常数。在尺度j-1上的极大值 点中保留落在每一邻域上(),ji j o n δ的极大值点，而去除落在邻域外的极值点，从而得到

j-1尺度上新的极值点。然后令j=j-1，重复步骤(4)，直到j- 2为止；

(5) 在 j=2 时存在极值点的位置上，保留j=1时相应的极值点，在其余位置将极值点置为零；

(6) 将每一尺度上保留下来的极值点用适当的方法重构小波系数，利用重构的小波系数回复信号。信号经过模极大值滤波后，小波系数仅剩下有限个模极大值点。研究如何利用这些模极大值点重构信号，具有重要意义。这种对信号的重构只是一种逼近，目前的实验只能以210- 级均方误差近似地恢复信号，这方面已有不少成果，最著名的是Mallat 提出的交替投影法，然而其算法复杂，收敛较慢。

4.2 空域相关去噪

信号的突变点有良好的局部性质，并且出现在各个尺度上，而噪声的能量却集中在小尺度上，其小波系数随尺度的增大而迅速衰减，而且 Mallat 和 Hwang 指出，对正态白噪声而言，在尺度j+1上的局部模极大值点的平均数目为尺度j 上的一半。也即，信号经小波变换后，其小波系数在各个尺度上有较强的相关性，尤其在信号的边缘，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种相关性。因此，可以考虑利用小波系数在不同尺度上的相关性来确定是信号还是噪声系数，从而进行取舍，达到滤波的目的。Witkin 首先提出了利用尺度看空间相关性来对信号进行滤波的思想[3]， Xu 再次基础上提出了空域相关去噪算法[4]：信号的突变点在不同尺度的同一位置上都有较大的峰值出现，噪声的能量却随着尺度的增大而减小。因此，可以去相邻尺度的小波系数直接相乘进行相关计算，这样作相关计算将在锐化信号边缘与其他重要信号的同时抑制噪声，而且能够提高信号边缘的定位精度，更好的刻画真实信号。

算法步骤归结如下：

(1) 对含噪信号进行小波变换，得到(),Wf j n ；

(2) 求取各尺度与相邻尺度的()2,Corr j n ；

(3) 将()2,Corr j n 归一化到(),Wf j n 的能量上去，得到归一化后的相关值()2,NewCorr j

n ； (4) 若()()2,,NewCorr j n Wf j n ≥，则认为 n 点出的小波变换值是由信号产

生，将(),Wf j n 赋予μW

g (去噪后的值)的相应位置，并将(),Wf j n 保留；否则，认为 是(),Wf j n 由噪声产生，(),Wf j n 置零，()2,NewCorr j n 置零；

(5) 重复步骤(3)、(4)直到(),Wf j n 的能量满足一定的噪声能量门限。这时 μW

g 保留了去除噪声后的小波系数； (6) 对μW

g 进行小波变换得到去噪后的信号。 4.3 小波阈值去噪

小波变换特别是正交小波变换具有很强的数据去相关能力，它能使信号的 能量在小波域集中于一些大的小波系数，而噪声的能量分布于整个小波域内， 因此经过小波分解后，信号的小波系数幅值大于噪声的小波系数幅值，可以认为，幅值较大的小波系数一般以信号为主，而幅值较小的在很大程度是噪声。 因此，采用阈值法去除噪声。对信号连续做几次小波分解，大尺度低分辨率下的系数全部保留，而对于其他尺度下的小波系数，可以设定一个阈值，低于该阈值的设为零或做一定程度的收缩处理，高于该阈值的系数保留。最后将处理后的小波系数重构信号，得到去噪后的结果[5,6]。

小波阈值去噪算法步骤；

(1) 信号的一维分解：选择一个小波并确定分解层次J ，然后对信号进行J 层分解；

(2) 小波分解高频系数的阈值压缩：选择合适的阈值和阈值函数，对第一层到第J 层的高频系数进行压缩，去除其中的噪声；

(3) 信号重构：将处理有的小波系数重构信号，得到消噪后结果。小波阈值最关键的是阈值的选取，它将直接决定去噪结果。

总之，利用模极大值重构滤波时，存在一个利用模极大值点重构小波系数的问 题，因此算法复杂，速度较慢。在空域相关滤波中，相关系数如何定义直接影 响滤波结果，并且如果计算出来的小波系数点的位置稍有偏差，得到的相关系 数不能很好的体现和描述该点出的真实相关性。在小波阈值去噪中，阈值如何 选取成了问题的关键所在，信号失真和去噪是一对矛盾。

表1 三种去噪方法比较

4.3.1阈值的选取

阈值的选取，通常有四种阈值选取规则:sqtwolog ，rigrsure ，minimaxi 和heursure 规则。

1、通用阈值法 (sqtwo1og 原理)

设含噪信号()f t 在尺度()j l j J <<上通过小波分解得到的小波系数的个数的总和为N ，J 为二进尺度参数，附加噪声的标准偏差为σ，则通用阈值为: ()12ln TH N σ=

该方法的原理依据是N 个具有独立同分布的标准高斯变量中的最大值小于1TH 的概率随着N 的增大而趋于1。

若被测信号含有独立同分布的噪声时，经小波变换后，其噪声的小波变换系数也是独立同分布的。如果具有独立同分布的噪声经小波分解后，它的系数序列长度很大,则根据上述理论可知：该小波系数中小于最大值1TH 的概率接近1，即存在一个阈值1TH 使得该序列的所有小波系数都小于它。另外，小波系数随着分解层数的加深，其长度也越来越短。根据1TH 的计算公式，可得出该阈值也越来越小，因此在假定噪声具有独立同分布的情况下,可通过设置简单的阈值来去除噪声。

2、无偏风险阈值法(rigrsure 原理)

这是一种基于stein 的无偏似然估计(unbiasee risk estimate )原理的自适应阈值选则。对应于每一个风险门限值，求出与其对应的风险值，选择是风险最小的门限为阈值门限[7]。具体做法如下：设W 为一向量，其元素为小波分解系数的平方，并按从小到大的顺序排列，即[]112,,,n n w w w w w w =≤≤≤L L ；再设一风

险向量R ，其元素为12(1),1,2,,i i i i k r n i n w w n i n =??=---+=????

∑L ，以i 为变量求出

i r 的最小值min r 作为风险阈值，由求出对应的i 值，并以 i 为下标从w 求出对应的min w ，则阈值选取为min 2TH w σ=。

当信噪比较小时，无偏似然估计会有很大的噪声，采用固定阈值；当信噪比

较大时，用无偏风险阈值。

3、启发式阈值法(heursure 原理)

该方法是前两种方法的综合，是最优化阈值变量阈值选择。如果信噪比很小，无偏阈值估计会有很大的噪声，这时可以采用固定阈值[8]。设s 为n 个小波系数的平方和，令()()3

22,log s n n n n ημ=-=，则

()1,3min 1,2,TH TH TH TH ημημ

≤?=?>? 4、极大极小准则(minimaxi 原理)

该阈值准则采取一种固定的阈值，它产生一个最小均方误差的极值，在统计学上，这种原理用于设计估计器。由于去噪信号可以假设为未知回归函数的估计量，这种极值可以实现在最坏条件下最大均方误差最小化[9]。其具体阈值选取原则为：

()20.39360.1829log ,3240,32N N TH N σ?+≥=?

小波阈值处理方法有硬阈值法和软阈值法。

硬阈值法：,0,WT WT TH WT WT TH ?>?=?≤??

软阈值法：()(),0,sign WT WT TH WT TH WT WT TH ?->?=?≤??

以上介绍的硬阈值法和软阈值法其本质区别在于选取的阈值函数不同，体现了对小波系数的不同处理策略。硬阈值法直接将高于阈值的小波系数保留不做任何变化，而软阈值法将高于阈值的小波系数减去阈值做收缩处理[10,11]。Bruce 和Gao 证明了硬阈值法往往有较大的方差而软阈值法往往有较大的偏差[12]，基于此，Gao HongYe [13]提出了一种半软阈值(semisoft shrinkage )法，即：

121122120,()sgn(),,WT t t WT t WT WT t WT t t t WT WT t ?≤?-?=<≤?-??>?

其中，12,t t 分别为上阈值和下阈值。可以看出。当12t t = 时，可以转化为硬阈值，2t →∞时可以转化为软阈值，它是硬阈值和软阈值的一种折中形式，不但保留了较大的系数，而且具有连续性。然而在该方法中，需要确定两个阈值，

增加了算法的复杂度。随后，Gao HongYe 又提出了用Garrote [14]函数作为阈值函数，并证明了各种阈值方法得到的去噪结果是渐进相等的。其形式如下：

20,,WT t WT WT t WT WT t ?≤?=?->??

在实际应用中，应根据需要选择合适的处理方式。

5、小波阈值法语音去噪仿真实验

5.1 不同的小波基

图3 不同的小波基去噪效果比较

表2 不同小波基比较

有以上的分析仿真可知选取不同的小波基处理，去噪效果没有明显差别，其对信噪比都有很大程度的改善，而symN 是 dbN 的改进，具有近似的对称性，并且考虑到消失矩与支撑长度的折中选择问题，选择sym4小波，其支撑长度为

7且具有四阶消失矩，故后续的小波分析都是使用sym4小波。

5.2 不同阈值处理方法的比较

图4 硬阈值法、软阈值法和半软阈值法

表3 不同阈值处理方法比较

由以上的仿真结果可以清晰的看出，软阈值法有较大偏差，半软阈值法是一种折中选择，然而就去噪效果而言，硬阈值法与软阈值法相当，试听发现带噪信号经过软阈值处理后声音变小，能量损失，硬阈值法存在的在阈值处不连续的问题并未在试听中造成影响。因此，选择硬阈值处理方式。

5.3不同阈值选取方法的比较

图5 不同阈值方法的仿真实验

表4 四种阈值方法对比

以上是前文提到的四种经典小波阈值去噪的仿真结果，从图中可以直观的看出，通用阈值法去噪效果最佳，原始带噪信号信噪比为9.4204db，从表可以看

到信噪比得到了很大改善；无偏风险阈值去噪效果不理想，信噪比仅得到了几db的改善。对去噪后的信号试听发现，通用阈值法失真最大，无偏风险阈值与启发式阈值相似，极大极小阈值是一种折中的选择。不论哪种阈值选取方法，去噪后的试听效果都不是很理想，声音发闷，高频信号明显的丢失，尤以通用阈值法为最严重。

6、总结

对于语音信号来说，硬阈值的不连续性并未对去噪结果产生影响，而软阈值法能量损失较大，故选择硬阈值处理；不同小波对语音信号去噪没有本质的区别，其去噪效果普遍较好；通用阈值法去噪效果要强于其他方法，然而其对语音的损伤也最为严重。经过大量的仿真研究，发现小波阈值法，尤其是通用阈值法有着很好的去噪效果，然而对语音去噪效果的评价要从主客观两方面来进行，尽管通用阈值法去噪效果好，但是对语音本身损伤也很大，还不具有实用价值，因此，若能保留阈值法中被损伤的高频信号而又能很好的去除噪声，将大大提高小波在语音信号去噪中的应用价值。

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