《曲线运动》导学案21

例5．如图所示倾角为θ的斜面顶端，水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知物体初速度为v o ，斜面足够长。⑴求抛出后经多长时间落在斜面上？⑵落点与抛出点之间的距离是多少？⑶落在斜面上时，速度与水平方向的夹角多大？⑷抛出后经多长时间物体离斜面最远？⑸最远距离是多少？

解：⑴设经时间t 落在斜面上，落在斜面上时水平方向位移为x ，竖直方向的位移为y ，则有： 水平方向上：t v x 0= ①

竖直方向上：2

2

1=

gt y ②

又因物体落在斜面上，所以有：x

y θ=tan ③

由①②③解得：g

θ

v t tan 2=

0 ④

⑵落点与抛出点间的距离：θx S cos /= ⑤ 由①④⑤解得：θ

θv θ

θv S 22

02

0cos sin 2=

cos tan 2=

⑶落在斜面上速度的竖直分量为：θv gt v y tan 2==0 设速度与水平方向的夹角为α ，则θv v αy tan 2==

tan 0

（与初速度无关）

⑷当物体的速度方向平行于斜面时，离斜面最远，此时物体竖直方向上的分速度为：

θv θv v x y tan =tan =0

物体从抛出到离斜面最远所用时间为：g

θv g v t y tan ==′

另解：将小球的运动沿垂直于斜面和平行于斜面方向分解。

垂直于斜面方向：初速度为θv v sin =0⊥，加速度大小为θg g cos =⊥匀变速直线运动。

沿斜面方向：初速度为θv v cos =0∥，加速度大小为θg g sin =∥匀加速直线运动。

当垂直于斜面方向的速度减为零时，小球离斜面最远，所以g

θv θ

g θv t tan =cos sin =′

00

由竖直上抛运动的对称性可知：从抛出到离斜面最远所用时间为总时间的一半。 ⑸小球离斜面的最远距离为：θ

g θ

v θ

g θv g v d cos 2sin

=

cos 2)sin (=

2=

2

202

0⊥

2

⊥

第4课时 运动的合成与分解㈢

例1．汽车在平直公路上以5m/s 的速度向东匀速行驶。⑴如果人车内相对于车向东以3m/s 的速度运

动，人相对于地的速度为________________（大小为多少？向什么方向？）。⑵如果人车内相对于车向西以3m/s 的速度运动，人相对于地的速度为________________。⑶如果人在车内相于车向西以20m/s 的速度水平抛出一小球，则刚抛出时小球相对于地面的速度为__________________。⑷人相对于车向_______方向，以大小为_______的速度运动时，人相对于地面速度为零。

（人对地v 为车v 和人对车v 的矢量和。人对车车人对地v v v +=，其中人对地v 、车v 、人对车v 在一直线上，当与规定的方向相同时取正，与规定的方向相反时取负。正负号表示方向。）

例2．某人站在自动扶梯上，经时间t 1由一楼升到二楼。如果自动扶梯不动，人从一楼走到二楼的时间为t 2现在扶梯正常运行，人也保持原来的速率沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼的时间是( )

A ．12t t -

B ．1221t t t t -

C ．1221t t t t +

D ．2/2

221t t +

例3．某人乘船从甲地到乙地，如果船不开动，随水漂流，经t 1从甲地到乙地。如果水不流动，船在

静水中航行经t 2从甲地到乙地。则水在流动，船又在相对于水向下游航行时，船从甲地到乙地需多少时间？（设水流速度、船相对水的速度恒定）

例4．火车在平直的铁路上行驶，火车的速度为25m/s ，火车总长120m ，人以相对于火车的速度5m/s 从车尾跑到车头所需的时间为_______。人以相对于火车的速度5m/s 从车头跑到车尾所需的时间为_____。

例5．某人驾船逆流而上，已知水流速度为2m/s ，船的静水速度（船相对于水的速度）为5m/s ，船行驶到某桥下时，从船上掉下一物体（物体飘浮在水面上，物体

落水后立即随水飘流），船继续行驶经5分钟才发现此事，发现后立即调转船头以相同船速（相对于水5m/s ）去追物体，经__________分钟船追上物体，追上时物体离桥__________m 。

例6．如图所示，汽车以速度v 1=3m/s 向东行驶，一人在车内沿垂直于车的直线相于车以速度v 2=5m/s

向北运动，则人相对于地的速度大小为__________，方向为_______________。

（人对地v 为车v 和人对车v 的矢量和。） 例7．如图，河水以v 1=3m/s 向东流。船头垂直于河岸，以v 2=5m/s 相对于水向北航行。则船相对于河岸的速度大小为_______，方向为______________。船以大小为_________的速度向对岸靠拢。

例8．如图所示，汽车以速度v 1=3m/s 向东行驶，一人在车内沿直线AB 相于车以速度v 2=5m/s 运动，直线AB 与车身的夹角为53°，则人相对于地的速度大小为__________，方向为_______________。

例9．如图所示，河水以v 1=3m/s 向东流。船头斜向上游，与河岸的夹角为53°，以v 2=5m/s 相对于水航行。则船相对于河岸的速度大小为_______，方向为______________。船以大小为_________的速度

向对岸靠拢。

例10．如图所示，河水以v 1=3m/s 向东流。船头斜向上游，与河岸的夹角为37°，以v 2=5m/s 相对于水航行。船速沿平行于河岸方向的速度分量为_________，船速沿垂直于河岸方向的速度分量为________，船以大小为_________的速度向对岸靠拢，同时以大小为_________的速度向上游运动。船相对于河岸的速度大小为____________。

例11．如果水流速度为v 水=5m/s ，船相对于水的速度大小为v 船=3m/s ，则：⑴船能否垂直于河岸渡河？为什么？⑵怎样渡河时间最小？⑶怎样渡河位移最小？

渡河问题总结：

①当船头垂直于河岸时，船实际沿斜线渡河，渡河时间最短。 船

V L t =

m i n （L 为河宽）

②当船V >水V ，合速度方向垂直于河岸时，渡河位移最小。此种情况下最小位移为河宽L 。这时船头应斜向上游，如图所示，船头与河岸的夹角满足：船

水V V =

θcos 。

③当船V <水V ，船V 垂直合速度V 的方向时，船冲至下游的距离最小，位移也最小。

如图所示，由三角形定则可知，水V 与船V 应首尾相连，从水V 的末端作船V ，由于船V 可以取不同的方向，

船V 的末端将形成一个半圆，与半圆相切的合速度与下游的夹角最大，船冲至下游的距离最小，位移也最小。

这时船头与下游的夹角满足：水

船V V

=θcos

被冲至下游的最小距离和最小位移分别为：θtan min L X =，θ

cos min L S =

第5课时 运动的合成与分解㈣

一、绳末端运动的分解

1．沿绳子方向两个绳连接的物体沿绳子方向的速度大小相等。

2．当绳与物体运动方向有夹角时，沿绳子方向和垂直于绳子方向速度为分速度，物体运动的方向为合速度方向。

例1．汽车通过一定滑轮拉一物体，已知车向左匀速运动的速度大小为v ，则当绳子与水平方向夹角为θ时，物体上升的速度。

解：车子向左匀速运动产生两个效果：滑轮左边部分的绳子

伸长、滑轮左边部分的绳子顺时针旋转。如果滑轮左边部分的绳子只伸长这个分运动，绳末端的速度沿绳子方向（如图1），如果只有旋转分运动，绳子末端的速度沿垂直于绳子的方向（如图2）。

由此，对绳末端的运动分解如右图所示，其中v 1的大小等于右边物体上升的速度的大小。

所以，θcos 1v v v ==物

例2．如图所示，A 、B 两物体用细绳相连，在水平面上运动，当α=45°，β=30°时，物体A 的速度为2

m/s ，这时B 的速度为 。

二、相对速度的合成运算

如果物体B 相对于地在运动，另一物体A 又相对于B 在运动（以B 为参考系）。这时，物体B 对地的运动以及A 相对于B 的运动为两个分运动，A 相对于地面的运动为合运动。（例．汽车在水平公路上行驶，人在车上相对于车在运动。）

我们把参考系（B 物体）的速度称为牵连v

，物体相对于参考系的速度（A 相对于B 的速度）称为相对v ，物体对地的速度（A 相对于地的速度）为绝对v

。则有：

或 B A B A v v v 对对地对地

+=

例3．一个人骑自行车当车速为4m/s ，感到风从正南方吹来，当车速为6m/s ，感到风从东南方吹来，求风的速度。

例4．火车以6m/s 的速度向东行驶，雨点的速度为8m/s ，方向竖直向下。求车中人所观察到的雨点的速度的大小和方向。

第6课时 匀速圆周运动㈠

1．描述圆周运动的物理量

⑴线速度：t s v /=（s 是物体在时间t 内通过的圆弧长），方向沿圆弧上该点处的切线方向。描述了物体沿圆弧运动的快慢程度。

⑵角速度：t /θω=（θ是物体在时间t 内绕圆心转过的角度），描述了物体绕圆心转动的快慢程度。

⑶周期与频率：f

v r T 1

22=

==ωππ（沿圆周运动一周所用的时间叫周期，每秒钟完成圆周运动的转数叫频率）。

⑷线速度、角速度、周期间的关系：T

r v π2=，T

π

ω2=，r v ω=

2．匀速圆周运动的运动学特征：匀速圆周运动的线速度大小不变但方向不断变化；周期不变；频率不变；角速度不变；向心加速度大小不变但方向不断变化。

3．做匀速圆周的物体的受力特点：合力总是指向圆心，合力的大小不变，合的方向随时在变化。指向圆心的合力又称为向心力。

4．匀速圆周运动的性质：匀速圆周运动是加速度变化（大小不变，而方向不断变化）的变加速运动。 5．匀速圆周运动的向心力： ⑴向心力是按力的作用效果来命名的。它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质的力都可以作为向心力。向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。因此决不能在受力分析时沿圆心方向多加一个向心力。

⑵向心力的作用效果是改变线速度的方向。做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为向心力，它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变化的（线速度大小变化的非匀速圆周运动的物体所受的合外力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度）。

6．向心加速度：描述线速度方向变化快慢的物理量。大小：v r T

r r

v

a ωπω==

==

2

2

2

2

向4。方向：

总是指向圆心，方向时刻在变化，是一个变加速度。

说明：当ω一定时，向心a 与r 成正比；当v 为常数时，向心a 与r 成反比。因此，若无特殊条件说明，不能说向心a 一定与r 成正比还是反比。

7．物体做匀速圆周运动所需指向圆心的合力大小：v

m r T

m

r m r

v

m

ma F ωπω=====2

2

2

2

4

8．皮带传动的特点：①用皮带连接的两个转动轮边缘各点的线速率相等。②同轴转动的两轮角速度相等， 同一转动物体上各点的角速度相等。

例．如图所示装置中，三个轮的半径分别为r 、2r 、4r ，b 点到圆心的距离为r ，求图中a 、b 、c 、d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。

分析与解：由皮带传动的特点直接可得：

v a = v c ① ωb =ωc =ωd ② 由r v ω=和①可得：a ω∶c ω=2∶1 ③

由

r v ω=和②可得：v b ∶v c ∶v d =1∶2∶4 ④ 由①④得：v a ∶ v b ∶v c ∶v d =2∶1∶2∶4 ⑤ 由②③得：ωa ∶ωb ∶ωc ∶ωd =2∶1∶1∶1 ⑥ 由a =ωv 和⑤⑥得：a a ∶a b ∶a c ∶a d = 4∶1∶2∶4 ⑦ 9．离心运动、向心运动

⑴离心运动定义； 做圆周运动的物体，在所受合力突在消失或者不足

以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。

⑵离心运动本质：离心现象是物体惯性的表现。

注意：①作圆周运动的质点，当它受到的合外力突然消失变为零时，它将沿切线方向飞出。

②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。 ③离心运动不是受到什么离心力的作用的结果。根本没有离心力这种力，因为没有任何物体提供这种力。

⑶向心运动：当物体所受的沿半径方向的合力大于物体做圆周运动所需的向心力时，物体就会逐渐靠近圆心。

10．匀速圆周运动的分析方法：

对于匀速圆周运动的问题，在求解匀速圆周运动的问题时，关键是对物体进行受力分析，看是哪一个力或哪几个力的合力来提供向心力。一般可按如下步骤进行分析：

①确定研究对象 ②确定圆运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。 ③受力分析，在半径方向指向圆心和垂直半径方向建坐标轴，分解不在坐标轴上的力。（沿半径指向圆心的合力充当向心力）

④列方程：r T m

r m r v

m

ma F F n n 2

2

2

2

4π

ω=====向合

11．竖直平面内圆周运动的临界问题： ①轻绳模型（包括在圆轨道内侧运动）：由于绳是软的，只能产生沿绳收缩方向的拉力，不能产生小球

支持力，故小球通过最高点临界条件是：拉力T =0，此时重力提供向心力：R

v

m

F mg 2

==向。

小球通过最高点的最小速度，gR v =

min 。

v ≥gR 能过最高点；当v >gR 时，绳子有拉力。 v

由于轻杆对小球既能产生拉力（向下），也可产生支持力（向上），所以小球通过最高点临界条件是： v ≥0，此时支持力mg N =时，0=向F 。 当gR v <时，mg F <向，小球受向上弹力（支持力），随v 增大，支持力减小。 当gR v =时，mg F =向， N = 0。

当gR v >时，mg F >向，小球受向下弹力（拉力），随v 增大，拉力增大。 gR v =

是小球所受弹力方向变化的临界条件。

12．非匀速圆周运动

⑴性质：是速度大小和方向都变化的变速曲线运动。 而且是加速度大小和方向也都变化的变加速运动。

⑵加速度：对于变速圆周运动，除了有向心加速度（改变速度方向），还有切向加速度（改变速度大

小），合加速度不指向圆心。

⑶向心力：合外力在指向圆心方向的分力充当向心力。

13．火车转弯问题：

⑴若火车转弯处铁轨的内外轨在同一水平面，火车转弯时外侧铁轨将对车轮产生侧压力提供火车转弯时所需的向心力。由于火车质量极大，侧压力极大，铁轨易受到损坏。

⑵若使转弯处铁轨的外轨略高于内轨，使火车所受重力和支持力的合力

提供向心力，当火车以设定的速度转弯时，可消除铁轨与轮缘之间的挤压力。

例1．设两铁轨相距为d，内外轨高度差为h，两轨平面与水平面夹角

为θ，转弯处转弯半径为R。

= mg tanθ=m

根据牛顿第二定律：F

合

因θ很小，tanθ≈sinθ

则：v02=gR sinθsinθ=解得v0=

当火车以车速v0转弯时，车轮缘与内外轨无侧压力；

若v>v0时，外轨对轮缘产生侧压力，以提供更大的向心力；

v0

例2．在水平圆盘上分别放甲、乙、丙三个质量分别为m、2m、3m的物体，

其轨道半径分别为r、2r、3r如图所示，三个物体的最大静擦力皆为所受重力的

k倍，当圆盘角速度由小缓慢增加，相对圆盘首先滑动的是（）

A．甲物体B．乙物体C．丙物体D．三个物体同时滑动

例3．有一轻质杆，长l=0.5m；一端固定一质量m=0.5kg的小球，轻杆绕

另一端在竖直面内做圆周运动。⑴当小球运动到最高点的速度大小为4m/s时，求小球对杆的作用力；⑵当小球运动到最低点时，球受杆的拉力为41N，求此时小球的速度大小。

例4．如图所示，有一绳长为L，上端固定在滚轮A的轴上，下端挂一质量为m的物体。现滚轮和物体一起以速度v匀速向右运动，当滚轮碰到固定的挡板B突然停止瞬间，绳子拉力大小为多少？

例5．质量为m的物块系在弹簧的一端，弹簧的另一端固定在转轴上。弹簧的自由长度为L0，劲度系数为k，物体在光滑水平支持面上以角速度ω做匀速圆周运动，求此时弹簧的长度。