2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测：45 空间点、直线、平面之间的位置关系含答案

课时跟踪检测(四十五) 空间点、直线、平面之间的位置关

系

第Ⅰ组：全员必做题

1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c( )

A ．一定平行

B ．一定相交

C ．一定是异面直线

D ．一定垂直

2．(2014·聊城模拟)对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l( )

A ．平行

B ．相交

C ．垂直

D ．互为异面直线

3．(2013·广州模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．(2013·新乡月考)已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c ，那么直线c 一定( )

A ．与a ，b 都相交

B ．只能与a ，b 中的一条相交

C ．至少与a ，b 中的一条相交

D ．与a ，b 都平行

5．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( )

A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行

B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直

C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交

D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面

6.(2014·三亚模拟)如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在

的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC

的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( ) A.

36 B ．－36 C.33 D ．－33

7.(2013·沧州模拟)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底

面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，

则直线EF和BC1所成的角是( )

A．45° B．60°

C．90° D．120°

8．(2013·临沂模拟)过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作( )

A．1条B．2条

C．3条D．4条

9．如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．

10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，

EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

11．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

(第11题图) (第12题图)

12．如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．

第Ⅱ组：重点选做题

1．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

2．(2013·许昌调研)如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与

四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12

FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．

(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？

答 案

第Ⅰ组：全员必做题

1．选D ∵a ⊥b ，b ∥c ，∴a ⊥c.

2．选C 不论l ∥α，l ?α还是l 与α相交，α内都有直线m 使得m ⊥l.

3．选A 若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．

4．选C 若c 与a ，b 都不相交，则c 与a ，b 都平行，根据公理4，则a ∥b ，与a ，b 异面矛盾．

5．选B 对于A ，若正确，则l∥m，这与已知矛盾，由此排除A ；对于B ，由于l 和m 有且只有一条公垂线a ，而过P 有且只有一条直线与直线a 平行，故B 正确；易知C 、D 不正确．

6.选A 延长CD 至H.使DH ＝1，连接HG 、HF 、则HF∥AD.

HF ＝DA ＝8，

GF ＝6，HG ＝10.

∴cos ∠HFG ＝ 8＋6－102×6×8＝36

.

7．选B 连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取

AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF.设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在

三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝

22

a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.

8．选D 如图，连接体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成

的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角线，如

连接BD 1，则BD 1与棱BC ，BA ，BB 1所成的角都相等，

∵BB 1∥AA 1，BC∥AD，

∴体对角线BD 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C ，DB 1也与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1，A 1C ，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条．

9．解析：依题意，与AB 和CC 1都相交的棱有BC ；与AB 相交且与CC 1平行有棱AA 1，BB 1；与AB 平行且与CC 1相交的棱有CD ，C 1D 1.故符合条件的有5条．

答案：5

10．解析：还原成正四面体知GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN.

答案：②③④

11．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．

答案：3

12．解析：∵A′C′∥AC ，

∴AO 与A′C′所成的角就是∠OAC.

∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BB′CC′，

∴OC ⊥AB.又AB∩BO＝B ，∴OC ⊥平面ABO.

又OA ?平面ABO ，∴OC ⊥OA.

在Rt △AOC 中，OC ＝

22，AC ＝2， sin ∠OAC ＝OC AC ＝12

， ∴∠OAC ＝30°.即AO 与A′C′所成角的度数为30°.

答案：30° 第Ⅱ组：重点选做题

1．解：(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，

从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．

(2)取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．

在Rt△EGF 中，由EG ＝FG ＝12

AC ， 求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.

2．解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，

所以GH 綊12AD.又BC 綊12

AD ， 故GH 綊BC.

所以四边形BCHG 是平行四边形．

(2)C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：

由BE 綊12

AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF 綊BG.

由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．

又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．