(独家)回归分析概述和实例

§4 逐步回归分析

１、逐步回归分析的主要思路

在实际问题中, 人们总是希望从对因变量有影响的诸多变量中选择一些变量作为自变量, 应用多

元回归分析的方法建立“最优”回归方程以便对因变量进行预报或控制。所谓“最优”回归方程, 主要是

指希望在回归方程中包含所有对因变量影响显著的自变量而不包含对影响不显著的自变量的回归方程。逐步回归分析正是根据这种原则提出来的一种回归分析方法。它的主要思路是在考虑的全部自变量中

按其对的作用大小, 显著程度大小或者说贡献大小, 由大到小地逐个引入回归方程, 而对那些对作

用不显著的变量可能始终不被引人回归方程。另外, 己被引人回归方程的变量在引入新变量后也可能失去

重要性, 而需要从回归方程中剔除出去。引人一个变量或者从回归方程中剔除一个变量都称为逐步回归的

一步, 每一步都要进行检验, 以保证在引人新变量前回归方程中只含有对影响显著的变量, 而不显

著的变量已被剔除。

逐步回归分析的实施过程是每一步都要对已引入回归方程的变量计算其偏回归平方和(即贡献), 然后

选一个偏回归平方和最小的变量, 在预先给定的水平下进行显著性检验, 如果显著则该变量不必从回

归方程中剔除, 这时方程中其它的几个变量也都不需要剔除(因为其它的几个变量的偏回归平方和都大于

最小的一个更不需要剔除)。相反, 如果不显著, 则该变量要剔除, 然后按偏回归平方和由小到大地依次对方程中其它变量进行检验。将对影响不显著的变量全部剔除, 保留的都是显著的。接着再对未引人回归方程中的变量分别计算其偏回归平方和, 并选其中偏回归平方和最大的一个变量, 同样在给定水平

下作显著性检验, 如果显著则将该变量引入回归方程, 这一过程一直继续下去, 直到在回归方程中的变量

都不能剔除而又无新变量可以引入时为止, 这时逐步回归过程结束。

２、逐步回归分析的主要计算步骤

(1) 确定检验值

在进行逐步回归计算前要确定检验每个变量是否显若的检验水平, 以作为引人或剔除变量的标准。

检验水平要根据具体问题的实际情况来定。一般地, 为使最终的回归方程中包含较多的变量,水平

不宜取得过高, 即显著水平α不宜太小。水平还与自由度有关, 因为在逐步回归过程中, 回归方程中

所含的变量的个数不断在变化, 因此方差分析中的剩余自由度也总在变化, 为方便起见常按计算

自由度。为原始数据观测组数,为估计可能选人回归方程的变量个数。例如, 估计可能有2～

3个变量选入回归方程, 因此取自由度为15-3-1＝11, 查分布表, 当α＝0.1, 自由度,时, 临界值, 并且在引入变量时, 自由度取,,检验

的临界值记, 在剔除变量时自由度取,,检验的临界值记, 并要求, 实际应用中常取。

(2) 逐步计算

如果已计算步(包含＝0), 且回归方程中已引入个变量, 则第步的计算为:

()计算全部自变量的贡献(偏回归平方和)。

()在已引入的自变量中, 检查是否有需要剔除的不显著变量。这就要在已引入的变量中选取具有最小

值的一个并计算其值, 如果, 表示该变量不显著, 应将其从回归方程中剔除, 计算转至()。

如则不需要剔除变量, 这时则考虑从未引入的变量中选出具有最大值的一个并计算值, 如果, 则表示该变量显著, 应将其引人回归方程, 计算转至()。如果, 表示已无变量可选入

方程, 则逐步计算阶段结束, 计算转人(3)。

()剔除或引人一个变量后, 相关系数矩阵进行消去变换, 第步计算结束。其后重复()～()再进行下步计算。

由上所述, 逐步计算的每一步总是先考虑剔除变量, 仅当无剔除时才考虑引入变量。实际计算时, 开头几步可能都是引人变量, 其后的某几步也可能相继地剔除几个变量。当方程中已无变量可剔除, 且又无变量可引入方程时, 第二阶段逐步计算即告结束, 这时转入第三阶段。

(3) 其他计算, 主要是计算回归方程入选变量的系数、复相关系数及残差等统计量。

逐步回归选取变量是逐渐增加的。选取第个变量时仅要求与前面己选的-1个变量配合起来有最小的残差平方和, 因此最终选出的个重要变量有时可能不是使残差平方和最小的个, 但大量实际问题

计算结果表明, 这个变量常常就是所有个变量的组合中具有最小残差平方和的那一个组合, 特别当不太大时更是如此, 这表明逐步回归是比较有效的方法。

引人回归方程的变量的个数与各变量贡献的显著性检验中所规定的检验的临界值与的取

值大小有关。如果希望多选一些变量进人回归方程, 则应适当增大检验水平α值, 即减小的值, 特别地, 当时, 则全部变量都将被选入, 这时逐步回归就变为一般的多元线性回归。相反, 如果α取得比较小, 即与取得比较大时, 则入选的变量个数就要减少。此外, 还要注意, 在实际问题中, 当观测数据样本容量较小时, 入选变量个数不宜选得过大, 否则被确定的系数的精度将较差。

多元回归分析经典例子的计算

均匀设计的数据处理多采用回归分析方法, 以下是均匀设计版本3.00的“数据建模分析”模块对部

分回归分析经典例子的计算结果, 这些计算采用与经典例子相同的回归分析方法, 所得结果与经典例子中

给出的结果是相同的。

均匀设计版本3.00提供的四种回归分析方法和计算的例子如下:

全回归法计算的例子和结果

例１高磷钢的效率()与高磷钢的出钢量()及高磷钢中的含量()有关, 所测数据如表１, 请用线性回归模型拟合上述数据。

出钢量()含量()效率()

注: 本例子引自秦建候邓勃王小芹编著,《分析测试数据统计处理中计算机的应用》, 化学工业出版社, 1989年

本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):

指标名称: 效率单位: ?

因素１名称: 出钢量单位: ?

因素２名称: FeO含量单位: ?

------------------- 多元回归分析 -------------------

回归分析采用全回归法, 显著性水平α＝0.10

拟建立回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 74.6

b(1)＝ 0.213

b(2)＝-0.790

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 0.678

B(2)＝-0.340

复相关系数Ｒ＝0.6770

决定系数Ｒ^2＝0.4583

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4090

回归方程显著性检验:

变量分析表

样本容量Ｎ＝13, 显著性水平α＝0.10, 检验值Ｆt＝4.230, 临界值Ｆ(0.10,2,10)＝2.924, Ｆt＞Ｆ(0.10,2,10), 回归方程显著。

剩余标准差ｓ＝3.91

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝10):

ｔ(1)＝ 2.818

ｔ(2)＝-1.412

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝10):

Ｆ(1)＝ 7.940

Ｆ(2)＝ 1.993

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝121

U(2)＝30.4

偏相关系数ρ(i):

ρ1,2＝ 0.6653

ρ2,1＝-0.4077

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(1)＝121, U(1)/U＝93.9%

U(2)＝30.4, U(2)/U＝23.6%

第２方程项[Ｘ(2)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:

检验值Ｆ(2)＝1.993, 临界值Ｆ(0.10,1,10)＝3.285,

Ｆ(2)≤Ｆ(0.10,1,10), 此因素(方程项)不显著。

残差分析:

残差分析表

------------------ 回归分析结束 ------------------

全回归法建立的回归方程为, 在显著性水平α＝0.10上是显著的, 第二因素()在显著性水平α＝0.10上不显著。

例２某种产品的得率()与反应温度()、反应时间()及某反应物的浓度()有关, 现得如表２所示的试验结果, 设与、和之间成线性关系, 试建立与、和之间的三元线性回归方程, 并判断三因素的主次。

反应温度()反应时间()反应物浓度()得率()

注: 本例子引自李云雁胡传荣编著,《试验设计与数据处理》, 化学工业出版社, 2005年

本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):

指标名称: 得率单位: %

因素１名称: 反应温度单位: ℃

因素２名称: 反应时间单位: h

因素３名称: 反应物浓度单位: %

------------------- 多元回归分析 -------------------

回归分析采用全回归法, 显著性水平α＝0.01

拟建立回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 2.19

b(1)＝ 4.88e-2

b(2)＝ 6.38e-2

b(3)＝ 1.31

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 0.316

B(2)＝ 0.413

B(3)＝ 0.850

复相关系数Ｒ＝0.9965

决定系数Ｒ^2＝0.9929

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9901

回归方程显著性检验:

变量分析表

样本容量Ｎ＝８, 显著性水平α＝0.01, 检验值Ｆt＝187.0, 临界值Ｆ(0.01,3,4)＝16.69, Ｆt＞Ｆ(0.01,3,4), 回归方程显著。

剩余标准差ｓ＝0.184

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝4):

ｔ(1)＝ 7.506

ｔ(2)＝ 9.815

ｔ(3)＝ 20.21

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝4):

Ｆ(1)＝ 56.33

Ｆ(2)＝ 96.33

Ｆ(3)＝ 408.3

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝1.90

U(2)＝3.25

U(3)＝13.8

偏相关系数ρ(i):

ρ1,23＝ 0.9663

ρ2,13＝ 0.9799

ρ3,12＝ 0.9951

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(3)＝13.8, U(3)/U＝72.8%

U(2)＝3.25, U(2)/U＝17.2%

U(1)＝1.90, U(1)/U＝10.0%

第１方程项[Ｘ(1)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:

检验值Ｆ(1)＝56.33, 临界值Ｆ(0.01,1,4)＝21.20,

Ｆ(1)＞Ｆ(0.01,1,4), 此方程项显著。

残差分析:

残差分析表

------------------ 回归分析结束 ------------------

得率()与反应温度()、反应时间()及某反应物的浓度()之间具有非常显著的线性相关关系(在显著性水平α＝0.01上显著)。由偏回归平方和的大小得知三因素的主次顺序为。

后退法计算的例子和结果

例３研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况, 得到表１所示的18组数据。其中为土壤中所含无机磷浓度, 为土壤中溶于溶液并被溴化物水解的有机磷, 为土壤中溶于但不溶于溴化物的有机磷, 为栽在20℃土壤中的玉米内的可给态磷, 请建立它们的相关关系。

注: 本例子引自秦建候邓勃王小芹编著,《分析测试数据统计处理中计算机的应用》, 化学工业出版社, 1989年

本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):

指标名称: 可给态磷单位: ppm

因素１名称: 无机磷浓度单位: ppm

因素２名称: K2CO3+Br 单位: ppm

因素３名称: K2CO3-Br 单位: ppm

------------------- 多元回归分析 -------------------

回归分析采用后退法, 显著性水平α＝0.05

拟建立回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 43.7

b(1)＝ 1.78

b(2)＝-8.34e-2

b(3)＝ 0.161

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 0.671

B(2)＝-4.21e-2

B(3)＝ 0.273

复相关系数Ｒ＝0.7412

决定系数Ｒ^2＝0.5493

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4893

回归方程显著性检验:

变量分析表

样本容量Ｎ＝18, 显著性水平α＝0.05, 检验值Ｆt＝5.689, 临界值Ｆ(0.05,3,14)＝3.344, Ｆt＞Ｆ(0.05,3,14), 回归方程显著。

剩余标准差ｓ＝20.0

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝14):

ｔ(1)＝ 3.319

ｔ(2)＝-0.1997

ｔ(3)＝ 1.443

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝14):

Ｆ(1)＝ 11.02

Ｆ(2)＝ 3.986e-2

Ｆ(3)＝ 2.082

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝4.39e+3

U(2)＝15.9

U(3)＝830

偏相关系数ρ(i):

ρ1,23＝ 0.6636

ρ2,13＝-5.328e-2

ρ3,12＝ 0.3598

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(1)＝4.39e+3, U(1)/U＝64.6%

U(3)＝830, U(3)/U＝12.2%

U(2)＝15.9, U(2)/U＝0.234%

第２方程项[Ｘ(2)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验:

检验值Ｆ(2)＝3.986e-2, 临界值Ｆ(0.05,1,14)＝4.600,

Ｆ(2)≤Ｆ(0.05,1,14), 此方程项不显著, 需要剔除。

第１次剔除不显著方程项, 新建回归方程继续计算:

回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(3)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 41.5

b(1)＝ 1.74

b(2)＝ 0.155

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 0.654

B(2)＝ 0.262

复相关系数Ｒ＝0.7403

决定系数Ｒ^2＝0.5481

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.5198

回归方程显著性检验:

变量分析表

样本容量Ｎ＝18, 显著性水平α＝0.05, 检验值Ｆt＝9.095, 临界值Ｆ(0.05,2,15)＝3.682, Ｆt＞Ｆ(0.05,2,15), 回归方程显著。

剩余标准差ｓ＝19.3

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝15):

ｔ(1)＝ 3.721

ｔ(2)＝ 1.494

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝15):

Ｆ(1)＝ 13.85

Ｆ(2)＝ 2.232

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝5.17e+3

U(2)＝833

偏相关系数ρ(i):

ρ1,2＝ 0.6928

ρ2,1＝ 0.3599

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(1)＝5.17e+3, U(1)/U＝76.1%

U(2)＝833, U(2)/U＝12.3%

第２方程项[Ｘ(3)]对回归的贡献最小, 对其进行显著性检验: 检验值Ｆ(2)＝2.232, 临界值Ｆ(0.05,1,15)＝4.543,

Ｆ(2)≤Ｆ(0.05,1,15), 此方程项不显著, 需要剔除。

第２次剔除不显著方程项, 新建回归方程继续计算:

回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 59.3

b(1)＝ 1.84

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 0.693

复相关系数Ｒ＝0.6934

决定系数Ｒ^2＝0.4808

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.4808

回归方程显著性检验:

变量分析表

样本容量Ｎ＝18, 显著性水平α＝0.05, 检验值Ｆt＝14.82, 临界值Ｆ(0.05,1,16)＝4.494, Ｆt＞Ｆ(0.05,1,16), 回归方程显著。

剩余标准差ｓ＝20.1

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝16):

ｔ(1)＝ 3.849

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝16):

Ｆ(1)＝ 14.82

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝5.96e+3

偏相关系数ρ(i):

ρ1,＝ 0.6934

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(1)＝5.96e+3, U(1)/U＝100%

对第１方程项[Ｘ(1)]进行显著性检验:

检验值Ｆ(1)＝14.82, 临界值Ｆ(0.05,1,16)＝4.494,

Ｆ(1)＞Ｆ(0.05,1,16), 此方程项显著。

残差分析:

残差分析表

------------------ 回归分析结束 ------------------

后退归法所建立的回归方程为, 在显著性水平α＝0.05上是显著的, 然后经过逐次剔除不显著的因素, 最后得到的只包含显著因素的优化的回归方程

为。

逐步回归法计算的例子和结果

例１某种水泥在凝固时放出的热量(卡/克)与水泥中下列四种化学成分有关:

: 的成分(%),

: 的成分(%),

: 的成分(%),

: 的成分(%)。

所测定数据如表１所示, 试建立与、、及的线性回归模型。

注: 本例子引自中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》, 科学出版社, 1974年本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):

指标名称: 热量单位: 卡/克

因素１名称: 3CaO.Al2O3含量单位: %

因素２名称: 3CaO.SiO2含量单位: %

因素３名称: 4CaO.Al2O3.Fe2O3含量单位: %

因素４名称: 2CaO.SiO2含量单位: %

------------------- 多元回归分析 -------------------

回归分析采用逐步回归法, 显著性水平α＝0.10

引入变量的临界值Ｆa＝3.280

剔除变量的临界值Ｆe＝3.280

拟建立回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4)

第１步, 引入变量:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(3)＝ 0.286

Ｖx(1)＝ 0.534

Ｖx(2)＝ 0.666

Ｖx(4)＝ 0.675

未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆa(4)＝22.80, 引入临界值Ｆa＝3.280,

Ｆa(4)＞Ｆa, 引入第４项, 已引入项数＝１。

第２步, 引入变量:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(4)＝-0.675

Ｖx(2)＝ 5.52e-3

Ｖx(3)＝ 0.261

Ｖx(1)＝ 0.298

未引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆa(1)＝108.2, 引入临界值Ｆa＝3.280,

Ｆa(1)＞Ｆa, 引入第１项, 已引入项数＝２。

第３步, 引入变量:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(4)＝-0.439

Ｖx(1)＝-0.298

Ｖx(3)＝ 8.81e-3

Ｖx(2)＝ 9.86e-3

未引入项中, 第２项[Ｘ(2)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆa(2)＝5.026, 引入临界值Ｆa＝3.280,

Ｆa(2)＞Ｆa, 引入第２项, 已引入项数＝３。

第４步, 剔除或引入变量:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(1)＝-0.302

Ｖx(2)＝-9.86e-3

Ｖx(4)＝-3.66e-3

Ｖx(3)＝ 4.02e-5

已引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,

未引入项中, 第３项[Ｘ(3)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

剔除检验值Ｆe(4)＝1.863, 剔除临界值Ｆe＝3.280,

Ｆe(4)≤Ｆe, 剔除第４项, 已引入项数＝２。

第５步, 剔除或引入变量:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(2)＝-0.445

Ｖx(1)＝-0.312

Ｖx(3)＝ 3.61e-3

Ｖx(4)＝ 3.66e-3

已引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,

未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

剔除检验值Ｆe(1)＝146.5, 剔除临界值Ｆe＝3.280,

Ｆe(1)＞Ｆe, 不能剔除第１项。

引入检验值Ｆa(4)＝1.863, 引入临界值Ｆa＝3.280,

Ｆa(4)≤Ｆa, 不能引入第４项, 已引入项数＝２。

变量筛选结果:

检验项数＝４, 预期引入项数＝３, 实际引入项数＝２, 实际引入项数≠预期引入项数

回归方程:

ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2)

回归系数 b(i):

b(0)＝ 52.6

b(1)＝ 1.47

b(2)＝ 0.662

标准回归系数 B(i):

B(1)＝ 0.574

B(2)＝ 0.685

复相关系数Ｒ＝0.9893

决定系数Ｒ^2＝0.9787

修正的决定系数Ｒ^2a＝0.9767

变量分析:

变量分析表

样本容量Ｎ＝13, 显著性水平α＝0.10, 检验值Ｆt＝229.5, 临界值Ｆ(0.10,2,10)＝2.924 剩余标准差ｓ＝2.41

回归系数检验值:

ｔ检验值(df＝10):

ｔ(1)＝ 12.10

ｔ(2)＝ 14.44

Ｆ检验值(df1＝1, df2＝10):

Ｆ(1)＝ 146.5

Ｆ(2)＝ 208.6

偏回归平方和 U(i):

U(1)＝848

U(2)＝1.21e+3

偏相关系数ρ(i):

ρ1,2＝ 0.9675

ρ2,1＝ 0.9769

各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列):

U(2)＝1.21e+3, U(2)/U＝45.4%

U(1)＝848, U(1)/U＝31.9%

残差分析:

残差分析表

------------------ 回归分析结束 ------------------

逐步回归法计算得到的优化的回归方程为, 在显著性水平为α＝0.10上

显著。

双重筛选逐步回归法计算的例子和结果

例１为了分析某地区自然经济条件对森林覆盖面积消长的影响而抽取12个村作为样本, 共测了12个因子, 各因子数据列于表１。

其中:

: 山地比例(%);

: 人口密度(人/);

: 人均收入增长率(元/年);

: 公路密度(100m/ha);

: 前汛期降水量(cm/年);

: 后汛期降水量(cm/年);

: 月平均最低温度(℃);

: 森林覆盖率(%);

: 针叶林比例(%);

: 造林面积(千亩/年);

: 年采伐面积(千亩/年);

: 火灾频数(次/年)。

注: 本例子引自裴鑫德编著,《多元统计分析及其应用》, 北京农业大学出版社, 1990年

本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):

指标１名称: 森林覆盖率单位: %

指标２名称: 针叶林比例单位: %

指标３名称: 造林面积单位: 万亩/年

指标４名称: 年采伐面积单位: 千亩/年

指标５名称: 火灾频数单位: 次/年

因素１名称: 山地比例单位: %

因素２名称: 人口密度单位: 人/平方公里

因素３名称: 人均收入增长率单位: 元/年

因素４名称: 公路密度单位: 100米/公顷

因素５名称: 前汛期降水量单位: 厘米/年

因素６名称: 后汛期降水量单位: 厘米/年

因素７名称: 月平均最低温度单位: ℃

回归分析采用双重筛选逐步回归法, 显著性水平α＝0.05

自变量引入、剔除的临界值Ｆx＝2.000

因变量引入、剔除的临界值Ｆy＝2.500

对指标1～5拟建立回归方程分别为:

ｙ1 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)

ｙ2 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)

ｙ3 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)

ｙ4 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)

ｙ5 = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4) + b(5)*Ｘ(5) + b(6)*Ｘ(6) + b(7)*Ｘ(7)

----- 计算第１组回归方程 -----

第１步, 引入方程项: ｙ1

已引入因变量ｙ的序号: １

已引入自变量Ｘ的序号:

第２步, 自变量Ｘ引入或剔除判别:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(3)＝ 4.541e-2

Ｖx(5)＝ 0.2868

Ｖx(7)＝ 0.4082

Ｖx(4)＝ 0.4104

Ｖx(6)＝ 0.4731

Ｖx(2)＝ 0.5998

Ｖx(1)＝ 0.8810

未引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆax(1)＝74.00, 引入临界值Ｆx＝2.000,

Ｆax(1)＞Ｆx, 可以引入第１项。

第３步, 引入方程项: Ｘ(1)

已引入因变量ｙ的序号: １

已引入自变量Ｘ的序号: １

第４步, 自变量Ｘ引入或剔除判别:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(1)＝-7.400

Ｖx(5)＝ 1.359e-3

Ｖx(6)＝ 2.254e-2

Ｖx(3)＝ 4.720e-2

Ｖx(2)＝ 0.2260

Ｖx(7)＝ 0.2306

Ｖx(4)＝ 0.2372

已引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,

剔除检验值Ｆex(1)＝74.00, 剔除临界值Ｆx＝2.000,

Ｆex(1)＞Ｆx, 不能剔除第１项, 检查是否可以引入其他自变量。

未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆax(4)＝2.798, 引入临界值Ｆx＝2.000,

Ｆax(4)＞Ｆx, 可以引入第４项。

第５步, 引入方程项: Ｘ(4)

已引入因变量ｙ的序号: １

已引入自变量Ｘ的序号: １,４

第６步, 自变量Ｘ引入或剔除判别:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(1)＝-5.492

Ｖx(4)＝-0.3109

Ｖx(5)＝ 1.370e-8

Ｖx(6)＝ 6.972e-3

Ｖx(2)＝ 4.284e-2

Ｖx(3)＝ 9.849e-2

Ｖx(7)＝ 0.2536

已引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,

剔除检验值Ｆex(4)＝2.798, 剔除临界值Ｆx＝2.000,

Ｆex(4)＞Ｆx, 不能剔除第４项, 检查是否可以引入其他自变量。未引入项中, 第７项[Ｘ(7)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆax(7)＝2.718, 引入临界值Ｆx＝2.000,

Ｆax(7)＞Ｆx, 可以引入第７项。

第７步, 引入方程项: Ｘ(7)

已引入因变量ｙ的序号: １

已引入自变量Ｘ的序号: １,４,７

第８步, 自变量Ｘ引入或剔除判别:

各项的判别值(升序排列):

Ｖx(1)＝-4.767

Ｖx(4)＝-0.3513

Ｖx(7)＝-0.3398

Ｖx(2)＝ 5.297e-2

Ｖx(5)＝ 6.120e-2

Ｖx(6)＝ 0.1234

Ｖx(3)＝ 0.1380

已引入项中, 第７项[Ｘ(7)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小,

剔除检验值Ｆex(7)＝2.718, 剔除临界值Ｆx＝2.000,

Ｆex(7)＞Ｆx, 不能剔除第７项, 检查是否可以引入其他自变量。未引入项中, 第３项[Ｘ(3)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大,

引入检验值Ｆax(3)＝1.120, 引入临界值Ｆx＝2.000,

Ｆax(3)≤Ｆx, 不能引入第３项, 检查是否可以引入其他因变量。

第９步, 因变量ｙ引入或剔除判别:

各项的判别值(升序排列):