全国高中数学联赛一试训练4
一试训练4
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设12ω=-+，则24ωω+=______.
2.在正四棱锥S ABCD -中，45ASB ∠= ，设二面角A SB C --的大小为θ，则cos θ=______.
3.计算：222111111111122013220132320132013
()()()++++++++++++ =______.
4.已知集合{(,)|
}
A x y y =≥-，22{(,)|36}
B x y x y =+≤，则A B 所确定平面区域的面积等于______. 5.设向量(,2)a =p ，(,cos 1)a a θ=+u ，(,sin 1)a a θ=+v (,)a θ∈R ，则??p v p u
的最大值是______. 6.将一个33?的棋盘每格涂上黑色或者白色，使得每一行与每一列中均有黑色和白色格子，则共有______种不同的涂色方案.
7.已知函数()(1||)f x x a x =+，设{|()()}A x f x a f x =+<，若11[,]22
A -
?，则实数a 的取值范围是______.
8.设T 是由606039的所有正约数组成的集合，S 是T 的一个子集.若S 中没有一个数是另一个数的倍数，则||S 的最大值是______.（其中||S 表示集合S 中的元素个数）
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.已知两点(1,0),(1,0)A B -和椭圆Γ：2
214
x y +=.设过点A 的直线交椭圆Γ于C 、D 两点，求 △BCD 面积的最大值．
10.已知实数,,x y z 满足2221x y z ++= ，求3333x y z xyz ++- 的最值．
11.设0121,,,,,,n p p a a a a >∈N 均为不小于1-且不全为零的整数.
若20120n n a pa p a p a ++++= ，试证：0120n a a a a +++>+ .
参考答案：
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.设1i 22
ω=-
+，则24ωω+=______. 答案：1-
2.在正四棱锥S ABCD -中，45ASB ∠= ，设二面角A SB C --的大小为θ，则cos θ=______.
答案：3
3.计算：222111111111122013220132320132013()()()+
+++++++++++ =______. 答案：4026
4.已知集合{(,)|
}
A x y y =≥-，22{(,)|36}
B x y x y =+≤，则A B 所确定平面区域的面积等于______.
答案：18π 5.设向量(,2)a =p ，(,cos 1)a a θ=+u ，(,sin 1)a a θ=+v (,)a θ∈R ，则
??p v p u
的最大值是______.
答案：2+6.将一个33?的棋盘每格涂上黑色或者白色，使得每一行与每一列中均有黑色和白色格子，则共有______种不同的涂色方案.
答案：102
7.已知函数()(1||)f x x a x =+，设{|()()}A x f x a f x =+<，若11[,]22A -
?，则实数a 的取值范围是______.
答案：1(2
- 8.设T 是由606039的所有正约数组成的集合，S 是T 的一个子集.若S 中没有一个数是另一个数的倍数，则||S 的最大值是______.（其中||S 表示集合S 中的元素个数）
答案：3721
解：因为2603931161,= 故{31161|0120,0,60}a b c T b c =≤≤≤ ，
令120{31161|0,60}b c b c S b c --=≤≤ ，对任意0,60b c ≤≤，有0120120b c ≤--≤，所S 是T
的子集，且含有261个元素。下面证明S 中没有一个数是另一个数的倍数，并且元素个数超过261的
子集都不满足这个条件。假设12031161b c b c -- 是12031161i j i j -- 的倍数，则200200,,b c i j b i c j --≥--≥≥，由此可推出b=i,c=j.所以S 中没有一个元素是另一个的倍数。设U 是T 的一个超过261个元素的子集。因为只有2
61对互异的（b,c ）,由抽屉原理，U 中必有两个元素1112221231161,31161a b c a b c u u == ，其中 1212,b b c c ==，而12.a a ≠若12,a a >则1u 是2u 的倍数；若21,a a >则2u 是1u 的倍数。 因此U 不满足题设条件。所以T 的子集最多可以含261=3721个元素。
二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9.已知两点(1,0),(1,0)A B -和椭圆Γ：2
214
x y +=.设过点A 的直线交椭圆Γ于C 、D 两点，求 △BCD 面积的最大值．
10.已知实数,,x y z 满足2221x y z ++= ，求3333x y z xyz ++- 的最值．
解：令t xy yz zx =++ ，则
3332222222(3)()()(12)(1)x y z xyz x y z x y z xy yz zx t t ++-=++++---=+-． 故3
333221211(3)(12)(1)13t t t x y z xyz t t ++-+-??++-=+-≤= ???． 又，当(,,)(1,0,0)x y z = 时，33331x y z xyz ++-=；
当(,,)(1,0,0)x y z =- 时，33331x y z xyz ++-=-．
所以，3333x y z xyz ++-的最大值为1，最小值为-1．
11.设0121,,,,,,n p p a a a a >∈N 均为不小于1-且不全为零的整数.
若20120n n a pa p a p a ++++= ，试证：0120n a a a a +++>+ .
证明：对任意的0,1,2,...k n =都有11...0(*)k k n k k k n s p a p a p a ++=+++≤
假设上述结论不成立，则存在一个k 使得0k s >.又k k p s ,故k k s p ≥.
从而
121210121210...1...1k k k k k
k k p p a pa p a p a s p p p
p p +----+=+++++≥-----+=- 若2p =，则121101k k p p p +-+=>-，矛盾. 若3p =，则11212(2)0111
k k k k k p p p p p p p p p ++-+-->=>---，矛盾. 故假设错误，从而(*)式成立.则
122121121(1)0
(1)(1)0
(1)(1)(1)0
....
(1)(1)...(1)(1)0
n n n n n n n n n n p a p a p pa p a p pa p p a p a p pa p p a p p a -------≥-+-≥-+-+-≥-+-++-+-≥
又2012...0n n a pa p a p a ++++=，且(0,1,2,...,)i a i n =中至少有一个非零.故上述不等式至少有一个严格大于0.将上式相加 212012((1))((1)(1))...((1)(1)...(1))0n n n n a p p a p p p p a p p p p p p a --++-++-+-+++-+-++->即012...0n a a a a +++>+.