江苏省泰州中学(创新班)2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题

一、填空题：本大题共14题，每题5分，共70分．请把答案写在答题卡相应位置上．

1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合()U A B = e ．

2．幂函数的图像经过点1(2,)4，则1()2f 的值为 ．

3

．函数0()(2)f x x =-的定义域为 ．

4．已知在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，3()lg f x x x =+，则其解析式为()f x = ．

5．与函数lg(1)10x y -=相等的函数是 （填序号）．

①1y x =-；②|1|y x =-

；③2y =；④211x y x -=+． 6．11lg 2lg 2()22

-5+-= ． 7．若函数()lg(1)3f x x x =++-的零点为0x ，满足0(,1)x k k ∈+且k Z ∈，则k = ．

8．已知2283,1,(),1

x x ax x f x a a x ?-+

10．设236a b ==，则11a b

+= ． 11

．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ．

12．函数(1)y f x =-为偶函数，对任意的1x ，2(1,)x ∈-+∞都有1212

()()0f x f x x x -<-（12x x ≠）成立，则1

27(log )2a f =，137(log )2

b f =，23(log )2

c f =由大到小的顺序为 ． 13．已知函数21,0,()(1),0,

x x f x f x x -?-≤=?->?若方程()1f x ax =-（0a >）有且只有两个不相等的

实数根，则实数a 的取值范围是 ．

14．关于函数||

1()2x x f x +=，有下列命题：①其图像关于y 轴对称；②()f x 在(,0)-∞上是增函数；③()f x 的最大值为1；④对任意a ，b ，c R ∈，()f a ，()f b ，()f c 都可做为某一三角形的边长．其中正确的序号是 ．

二、解答题：本大题共6小题共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知集合{}|16A x x =<<，{}|210B x x =<<，{}|C x x a =<．

（1）求()R A B e；

（2）若A C ?，求a 的取值范围．

16．（本小题满分14分）

（1）已知1

1

223x x -+=，求1x x

+的值； （2）计算：4839(log 3log 3)(log 2log 8)+?+．

17．（本小题满分15分）

已知21()log 1x f x x

+=-． （1）判断()f x 奇偶性并证明；

（2）判断()f x 单调性并用单调性定义证明；

（3）若1()()033

f f x 1+-<-，求实数x 的取值范围． 18．（本小题满分15分）

某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数诶21400,0400,()280000,400,

x x x R x x ?-≤≤?=??>?其中x 是仪器的产量（单位：台）： （1）将利润()f x 表示为产量x 的函数（利润=总收益-总成本）；

（2）当产量x 为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？

19．（本小题满分16分）

已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x R ∈），且(0)1f =．

（1）求()f x 的解析式；

（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[]1,5-上是单调函数，求实数t 的取值范围；

（3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．

20．（本小题满分16分）

已知函数2()21f x ax x =-+．

（1）当[]1,2x ∈时，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）若函数()|()|g x f x =（0a ≥）在[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围．

数学试卷参考答案及评分标准

一、填空题

1．{}2,5 2．4 3．{}|1,2x x x ≥-≠且 4．33lg ,0,()0,0,lg(),0x x x f x x x x x ?+>?==??--

5．③ 6．1- 7．2 8．15,28??

???? 9．[]2,8 10．1 11．1 12．b a c >>

13．2

[,2)3

14．①④

（2）设1211x x -<<<， 则121212222121211(1)(1)()()log log log 11(1)(1)

x x x x f x f x x x x x +++--=-=---+， 又1211x x -<<<，∴121212(1)(1)(1)(1)2()0x x x x x x +---+=-<，

即12120(1)(1)(1)(1)x x x x <+-<-+，∴1212(1)(1)01(1)(1)

x x x x +-<<-+， ∴12212(1)(1)log 0(1)(1)

x x x x +-<-+，∴12()()f x f x <， ∴()f x 在(1,1)-上单调递增．…………………………………………………………10分

（3）∵()f x 为(1,1)-上的奇函数，∴111(

)()()333

f f f x <--=-， 又()f x 在(1,1)-上单调递增，∴11133x -<<-，∴2x <或6x >．……………15分 18．解：（1）当0400x ≤≤时，

21()400100200002f x x x x =---21300200002

x x =-+-， 当400x >时，()800001002000060000100f x x x =--=-， ∴2130020000,0400,()260000100,400.

x x x f x x x ?-+-≤≤?=??->?………………………………………7分

（2）当0400x ≤≤时，2211()30020000(300)2500022

f x x x x =-+-=--+， 当300x =时，max ()25000f x =，……………………………………………………10分 当400x >时，()60000100(400)2000025000f x x f =-<=<，………………13分 ∴当300x =时，max ()25000f x =．

答：当产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．………………15分

19．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，代入(1)()2f x f x x +-=，

得22ax a b x ++=，对于x R ∈恒成立，故22,0a a b =??+=?

，……………………………3分 又由(0)1f =，得1c =，解得1,1,1a b c ==-=，

∴2()1f x x x =-+．……………………………………………………………………5分

（2）因为2

()()2(21)1g x f x tx x t x =-=-++2

221(21)()124t t x ++=-+-， 又函数()g x 在[]1,5-上是单调函数，故

2112t +≤-或2152t +≥，…………………8分 截得32t ≤-或92

t ≥． 故实数t 的取值范围是3

9(,][,)22-∞-+∞ ．…………………………………………10分

（3）由方程()f x x m =+得2

210x x -+=，

令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，

即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，……………………………………………11分 ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；……………………12分 ②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足提议，故1m =成立；……13分 ③若△0=，则0m =，代入原方程得1x =，满足提议，故0m =成立；…………14分 ④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40,(2)10,

h m h m -=->??=-

综上，实数m 的取值范围是{}[)01,4 ．……………………………………………16分

20．解：（1）当[]1,2x ∈时，2

210ax x -+>恒成立， 所以当[]1,2x ∈时，212a x x >-+21(1)1x

=--+恒成立，…………………………3分 又21

(1)1x

--+在[]1,2x ∈上的最大值为1， ∴1a >．…………………………………………………………………………………6分

（2）当0a =时，()|21|g x x =-在[]1,2上是增函数；……………………………7分

当0a > 时，21

1()|()1|g x a x a a

=-+-， ①若110a -

≥，即1a ≥时，11a ≤，211()|()1|g x a x a a

=-+-在[]1,2上是增函数；…9分 ②若110a -<，即01a <<时，设方程()0f x =的两根为1x ， 2x 且12x x <，此时()g x 在11,x a ??????

和2[,)x +∞上是增函数， 1）若[]111,2,x a ???????，则12,(1)10,a f a ?≥???=-≤?解得102a <≤；………………………12分 2）若[]21,2[,)x ?+∞，则11,(1)10,

a f a ?，无解．………………………15分 综上所述102

a ≤≤

或1a ≥．……………………………………………………………16分