2016新课标三维人教物理选修3-2 第四章 电磁感应 第4节 法拉第电磁感应定律

第4节

法拉第电磁感应定律

1.闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，与磁通量大小无关。 2．导线切割磁感线时，感应电动势的大小为E ＝Bl v sin θ，其中θ表示v 与B 之间的夹角。 3．电动机线圈中产生的反电动势的作用是阻碍线圈的转动。当电动机停止转动时，反电动势消失，电流会很大，容易烧毁电动机。

一、电磁感应定律 1．感应电动势

(1)在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。

(2)在电磁感应现象中，若闭合导体回路中有感应电流，电路就一定有感应电动势；如果电路断开，这时虽然没有感应电流，但感应电动势依然存在。

2．法拉第电磁感应定律

(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 (2)公式：E ＝

ΔΦΔt

。 若闭合电路是一个匝数为n 的线圈，则E ＝n ΔΦ

Δt

。

(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯，感应电动势的单位是伏特。 二、导线切割磁感线时的感应电动势 反电动势

1．导线垂直于磁场运动，B 、l 、v 两两垂直时，如图4-4-1所示，E ＝Bl v 。

2．导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时，如图4-4-2所示，E ＝Bl v sin_θ。

图4-4-1图4-4-2

3．反电动势

(1)定义：电动机转动时，由于切割磁感线，线圈中产生的削弱电源电动势作用的感应电动势。

(2)作用：反电动势的作用是阻碍线圈的转动。如果要使线圈维持原来的转动，电源就要向电动机提供能量，此时，电能转化为其他形式的能。

1．自主思考——判一判

(1)产生感应电动势，不一定产生感应电流。(√)

(2)感应电动势的大小与磁通量大小有关。(×)

(3)感应电动势E和磁通量Φ均与线圈匝数有关。(×)

(4)如图4-4-3所示，线圈以恒定速度v从图示位置向上离开磁场过程中感应电流逐渐变大。(×)

图4-4-3图4-4-4

(5)如图4-4-4所示，导体棒平动切割磁感线产生的电动势为Bl v。(√)

(6)当线圈减速转动时，也存在反电动势。(√)

2．合作探究——议一议

(1)产生感应电动势的电路一定是闭合的吗？

提示：当闭合电路中磁通量发生变化时，会产生感应电动势和感应电流；如果电路不闭合，仍会产生感应电动势，但不会产生感应电流。

(2)感应电动势和磁通量都和线圈的匝数成正比吗？

提示：感应电动势的大小和线圈匝数成正比，但磁通量和线圈的匝数无关。

法拉第电磁感应定律的应用

[典例] 一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直。先保持线框的面积不变，将磁感应强度在1 s 时间内均匀地增大到原来的两倍。接着保持增大后的磁感应强度不变，在1 s 时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半。先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为( )

A.1

2 B ．1 C ．2

D ．4

[思路点拨] 线框位于匀强磁场中，磁通量发生均匀变化，根据法拉第电磁感应定律可得出感应电动势的大小。

[解析] 根据法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦ

Δt ，设线框匝数为n ，面积为S 0，初始时刻磁

感应强度为B 0，则第一种情况下的感应电动势为E 1＝n (2B 0－B 0)S 0

1＝nB 0S 0；第二种情况下

的感应电动势为E 2＝n 2B 0???

?S 0－S 021＝nB 0S 0，所以两种情况下线框中的感应电动势相等，比

值为1，故选项B 正确。

[答案] B

对法拉第电磁感应定律的理解

(1)感应电动势的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率ΔΦ

Δt

，与Φ的大小及ΔΦ的大小没有必然联系。

(2)计算感应电动势时，常有以下三种情况：E ＝ΔB

Δt ·S ，即面积不变，磁感应强度变化；

E ＝ΔS

Δt ·B ，即面积改变，磁感应强度不变；E ＝B 2S 2－B 1S 1Δt

，即面积和磁感应强度都改变。

1．闭合回路的磁通量Φ随时间t 的变化图像分别如图4-4-5所示，关于回路中产生的感应电动势的下列论述，其中正确的是( )

图4-4-5

A ．图甲回路中感应电动势恒定不变

B ．图乙回路中感应电动势恒定不变

C ．图丙回路中0～t 1时间内感应电动势小于t 1～t 2时间内感应电动势

D ．图丁回路中感应电动势先变大后变小

解析：选B 因E ＝ΔΦΔt ，则可据图像斜率判断知图甲中ΔΦ

Δt ＝0，即电动势E 为0；图

乙中ΔΦΔt ＝恒量，即电动势E 为一恒定值；图丙中E 前>E 后；图丁中图像斜率ΔΦ

Δt 先减小后增

大，即回路中感应电动势先减小后增大，故只有B 选项正确。

2．一个200匝、面积为20 cm 2的线圈，放在磁场中，磁场的方向与线圈平面成30°角，若磁感应强度在0.05 s 内由0.1 T 增加到0.5 T ，在此过程中磁通量变化了多少？磁通量的平均变化率是多少？线圈中感应电动势的大小是多少？

解析：磁通量的变化是由磁场的变化引起的，应该用公式ΔΦ＝ΔBS sin θ来计算，所以 ΔΦ＝ΔBS sin θ＝(0.5－0.1)×20×10－

4×0.5 Wb ＝4×10－

4 Wb

磁通量的平均变化率

ΔΦΔt ＝4×10－4

0.05

Wb /s ＝8×10－

3 Wb/s 感应电动势的大小可根据法拉第电磁感应定律计算E ＝n ΔΦΔt ＝200×8×10－

3 V ＝1.6 V 。

答案：4×10－

4 Wb 8×10－

3 Wb/s 1.6 V

平均电动势与瞬时电动势的求解

平均电动势与瞬时电动势的比较

E ＝n ΔΦΔt

E ＝Bl v sin θ

区 别

物理 意义 不同 求的是Δt 时间内的平均感应电动势，E 与某段时间或某个过程相对应

求的是瞬时感应电动势，E 与某个时刻或某个位置相对应

适用 范围 不同

求的是整个电路的感应电动势。整个电路的感应电动势为零时，其电路中某段导体的感应电动势不一定为零

求的是电路中一部分导体切割磁感线时产生的感应电动势

研究 对象 不同

由于是整个电路的感应电动势，因此研究对象即电源部分不容易确定

由于是一部分导体切割磁感线产生的感应电动势，该部分就相当于电源

联 系

公式E ＝n ΔΦ

Δt 和E ＝Bl v sin θ是统一的，当Δt →0时，E 为瞬时感应电动势，而公式E

＝Bl v sin θ中的v 若代入平均速度，则求出的E 为平均感应电动势

[典例] 如图4-4-6所示，边长为0.1 m 的正方形线圈ABCD 在大小为0.5 T 的匀强磁场中以AD 边为轴匀速转动。初始时刻线圈平面与磁感线平行，经过1 s 线圈转了90°，求：

图4-4-6

(1)线圈在1 s 时间内产生的感应电动势的平均值。 (2)线圈在1 s 末时的感应电动势大小。

[解析] 初始时刻线圈平面与磁感线平行，所以穿过线圈的磁通量为零，而1 s 末线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大，故有磁通量变化，有感应电动势产生。

(1)根据E ＝ΔΦΔt 可得在转过90°的过程中产生的平均感应电动势E ＝ΔΦΔt

＝0.5×0.1×0.1 V ＝0.005 V 。

(2)当线圈转了1 s 时，恰好转了90°，此时线圈的速度方向与磁感线的方向平行，线圈的BC 段不切割磁感线(或认为切割磁感线的有效速度为零)，所以线圈不产生感应电动势，E ′＝0。

[答案] (1)0.005 V (2)0

(1)某一位置或某一时刻的瞬时感应电动势一般用E ＝Blv 求解，而E ＝n ΔΦ

Δt

一般用于求

某一段时间或某一过程的平均感应电动势，其中Δt 为对应的这段时间。

(2)平均感应电动势不一定是最大值与最小值的平均值，需根据法拉第电磁感应定律求解。

1.如图4-4-7所示，一导线弯成半径为a 的半圆形闭合回路。虚线MN 右侧有磁感应强

度为B 的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v 向右匀速进入磁场，直径CD 始终与MN 垂直。从D 点到达边界开始到C 点进入磁场为止，下列结论错误的是( )

图4-4-7

A ．感应电流方向不变

B ．CD 段直线始终不受安培力

C ．感应电动势最大值E ＝Ba v

D ．感应电动势平均值

E ＝1

4

πBa v

解析：选B 感应电动势公式E ＝ΔΦ

Δt 只能用来计算平均值，利用感应电动势公式E ＝

Bl v 计算时，l 应是等效长度，即垂直切割磁感线的长度。在闭合电路进入磁场的过程中，通过闭合电路的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向不变，A 正确。根据左手定则可以判断，CD 段受安培力向下，B 不正确。当半圆闭合回路进入磁场一半时，等效长度最大为a ，这时感应电动势最大为E ＝Ba v ，C 正确。感应电动势平均值E ＝ΔΦΔt ＝B ·1

2πa 22a v

＝1

4

πBa v ，D 正确。 2.如图4-4-8所示，边长为a 的正方形闭合线框ABCD 在匀强磁场中绕AB 边匀速转动，磁感应强度为B ，初始时刻线框所在平面与磁感线垂直，经过t 时刻转过120°角，求：

图4-4-8

(1)线框内感应电动势在t 时间段内的平均值； (2)转过120°角时感应电动势的瞬时值。

解析：(1)设初始时刻磁感线从线框反面穿入，此时磁通量Φ1＝－Ba 2，t 时刻后Φ2＝

1

2Ba 2

，磁感线从正面穿入，磁通量的变化量为ΔΦ＝3Ba 2

2

，

则E ＝ΔΦΔt ＝3Ba 2

2t

。

(2)计算感应电动势的瞬时值要用公式E ＝Bl v sin θ。 v ＝2πa 3t ，θ＝120°，所以E ＝3πBa 23t 。

答案：(1)3Ba 22t (2)3πBa 23t

导体切割磁感线产生的感应电动势

[典例] 如图4-4-9所示，水平放置的两平行金属导轨相距L ＝0.50 m ，左端接一电阻R ＝0.20 Ω，磁感应强度B ＝0.40 T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，导体棒ac (长为L )垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。当ac 棒以v ＝4.0 m/s 的速度水平向右匀速滑动时，求：

图4-4-9

(1)ac 棒中感应电动势的大小。 (2)回路中感应电流的大小。

(3)维持ac 棒做匀速运动的水平外力的大小。 [思路点拨] 本题可按以下思路进行分析：

[解析] (1)ac 棒垂直切割磁感线，产生的感应电动势的大小为E ＝BL v ＝0.40×0.50×4.0 V ＝0.80 V 。

(2)回路中感应电流的大小为I ＝E R ＝0.80

0.20 A ＝4.0 A

由右手定则知，ac 棒中的感应电流由c 流向a 。

(3)ac 棒受到的安培力大小为F 安＝BIL ＝0.40×4.0×0.50 N ＝0.80 N ，由左手定则知，安培力方向向左。由于导体棒匀速运动，水平方向受力平衡，则F 外＝F 安＝0.80 N ，方向水平向右。

[答案] (1)0.80 V (2)4.0 A (3)0.80 N

1．平动切割产生的感应电动势

(1)一般直接利用公式E ＝BL v sin θ进行计算。

(2)感应电动势或感应电流的方向可以根据右手定则判断。

(3)当导体棒上有感应电流流过时要受到安培力的作用，安培力的方向与导体棒相对磁场的运动方向相反，阻碍导体棒与磁场的相对运动。

2．旋转切割产生的感应电动势

如图所示，长为l 的导体棒ab 以a 为圆心，以角速度ω在磁感应强度为B 的匀强磁场中匀速转动，其感应电动势可从两个角度推导。

(1)棒上各点速度不同，其平均速度v ＝1

2ωl ，由E ＝Bl v 得棒上感

应电动势大小为E ＝Bl ·12ωl ＝1

2

Bl 2ω。

(2)若经时间Δt ，棒扫过的面积为ΔS ＝πl 2ωΔt 2π＝12l 2ωΔt ，磁通量的变化量ΔΦ＝B ·ΔS ＝

1

2Bl 2ωΔt ，由E ＝

ΔΦΔt 得棒上感应电动势大小为E ＝1

2

Bl 2ω。

1.如图4-4-10所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab 以水平初速度v 0抛出，设运动的整个过程中棒的取向不变且不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )

图4-4-10

A ．越来越大

B ．越来越小

C ．保持不变

D ．无法确定

解析：选C E ＝BL v sin θ＝BL v x ；ab 做平抛运动，水平速度保持不变，感应电动势保持不变。

2．(多选)(2016·全国甲卷)法拉第圆盘发电机的示意图如图4-4-11所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P 、Q 分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B 中。圆盘旋转时，关于流过电阻R 的电流，下列说法正确的是( )

图4-4-11

A ．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定

B ．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a 到b 的方向流动

C ．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化

D ．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R 上的热功率也变为原来的2倍 解析：选AB 由右手定则知，圆盘按如题图所示的方向转动时，感应电流沿a 到b 的方向流动，选项B 正确；由感应电动势

E ＝1

2Bl 2ω知，角速度恒定，则感应电动势恒定，电

流大小恒定，选项A 正确；角速度大小变化，感应电动势大小变化，但感应电流方向不变，选项C 错误；若ω变为原来的2倍，则感应电动势变为原来的2倍，电流变为原来的2倍，由P ＝I 2R 知，电流在R 上的热功率变为原来的4倍，选项D 错误。

3．(多选)一根直导线长0.1 m ，在磁感应强度为0.1 T 的匀强磁场中以10 m/s 的速度匀速运动，则导线中产生的感应电动势的说法正确的是( )

A ．一定为0.1 V

B ．可能为零

C ．可能为0.01 V

D ．最大值为0.1 V

解析：选BCD 当公式E ＝Bl v 中B 、l 、v 互相垂直而导体切割磁感线运动时感应电动势最大：E m ＝Bl v ＝0.1×0.1×10 V ＝0.1 V ，考虑到它们三者的空间位置关系，B 、C 、D 正确，A 错误。

1．(多选)如图所示的情况中，金属导体中产生的感应电动势为Bl v 的是( )

解析：选ABD 公式E ＝Bl v 中的l 应指导体的有效切割长度，A 、B 、D 中的有效长度均为l ，感应电动势E ＝Bl v ，而C 的有效长度为l sin θ，感应电动势E ＝Bl v sin θ，故A 、B 、D 项正确。

2.如图1所示，把一阻值为R 、边长为L 的正方形金属线框，从磁感应强度为B 的匀强磁场中，以速度v 向右匀速拉出磁场。在此过程中线框中产生了电流，此电流( )

图1

A ．方向与图示箭头方向相同，大小为BL v

R B ．方向与图示箭头方向相同，大小为2BL v

R C ．方向与图示箭头方向相反，大小为BL v

R

D ．方向与图示箭头方向相反，大小为2BL v

R

解析：选A 利用右手定则可判断感应电流是逆时针方向。根据E ＝BL v 知，电流I ＝E R ＝BL v

R ，A 正确。

3.如图2所示，平行导轨间的距离为d ，一端跨接一个电阻R ，匀强磁场的磁感应强度为B ，方向垂直于平行金属导轨所在的平面。一根足够长的金属棒与导轨成θ角放置。金属棒与导轨的电阻不计，当金属棒沿垂直于棒的方向滑行时，通过电阻R 的电流为( )

图2

A.Bd v R

B.Bd v sin θ

R

C.Bd v cos θR

D.Bd v R sin θ

解析：选D 题中B 、l 、v 满足两两垂直的关系，所以E ＝Bl v ，其中l ＝d

sin θ，即E

＝Bd v sin θ，故通过电阻R 的电流为Bd v R sin θ

，选D 。 4．(多选)穿过一个10匝线圈的磁通量每秒均匀地减少2 Wb ，则该线圈中的感应电动势( )

A ．大小不变

B ．随时间均匀变化

C ．减少了20 V

D ．等于20 V

解析：选AD 由感应电动势的表达式E ＝n ΔΦ

Δt 可计算出多匝线圈的电动势的大小。即

E ＝n ΔΦ

Δt

＝20 V ，A 、D 正确。

5.如图3所示，在半径为R 的虚线圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B 随

时间变化关系为B ＝B 0＋kt 。在磁场外距圆心O 为2R 处有一半径恰为2R 的半圆导线环(图中实线)，则导线环中的感应电动势大小为( )

图3

A ．0

B ．k πR 2 C.k πR 22

D ．2k πR 2

解析：选C 由E ＝n ΔΦΔt ＝ΔBS Δt ＝12

πR 2

k 可知选项C 正确。

6. (多选)无线电力传输目前取得重大突破，在日本展出了一种非接触式电源供应系统，这种系统基于电磁感应原理可无线传输电力。两个感应线圈可以放置在左右相邻或上下相对的位置，原理示意图如图4所示。下列说法正确的是( )

图4

A ．若甲线圈中输入电流，乙线圈中就会产生感应电动势

B ．只有甲线圈中输入变化的电流，乙线圈中才会产生感应电动势

C ．甲中电流越大，乙中感应电动势越大

D ．甲中电流变化越快，乙中感应电动势越大

解析：选BD 根据产生感应电动势的条件，只有处于变化的磁场中，乙线圈才能产生感应电动势，A 错，B 对；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的大小取决于磁通量变化率，所以C 错，D 对。

7．如图5甲所示线圈的匝数n ＝100匝，横截面积S ＝50 cm 2，线圈总电阻r ＝10 Ω，沿轴向有匀强磁场，设图示磁场方向为正，磁场的磁感应强度随时间作如图乙所示变化，则在开始的0.1 s 内( )

图5

A ．磁通量的变化量为0.25 Wb

B ．磁通量的变化率为2.5×102 Wb/s

C ．a 、b 间电压为0

D ．在a 、b 间接一个理想电流表时，电流表的示数为0.25 A

解析：选D 通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关，若设Φ2＝B 2S 为正，则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ＝B 2S －(－B 1S )，代入数据即ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－

4 Wb ＝2.5×10

－

3

Wb ，A 错误；磁通量的变化率ΔΦΔt ＝2.5×10－

3

0.1

Wb /s ＝2.5×10－

2 Wb/s ，B 错误；根据法

拉第电磁感应定律可知，当a 、b 间断开时，其间电压等于线圈产生的感应电动势，感应电动势大小为E ＝n ΔΦ

Δt ＝2.5 V 且恒定，C 错误；在a 、b 间接一个理想电流表时相当于a 、b

间接通而形成回路，回路总电阻即为线圈的总电阻，故感应电流大小I ＝E

r ＝0.25 A ，选项D

正确。

8.如图6所示，L 是由绝缘导线绕制的螺线管，匝数为100，由于截面积不大，可以认为穿过各匝线圈的磁通量是相同的。设在0.5 s 内把磁体的一极插入螺线管，这段时间内穿过每匝线圈的磁通量由0增加到1.5×10－

5 Wb ，这时螺线管产生的感应电动势有多大？

图6

解析：磁通量由0增加到1.5×10－

5 Wb 共用0.5 s ，所以

ΔΦ＝1.5×10－

5 Wb －0＝1.5×10－

5 Wb 。

Δt ＝0.5 s 。

根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为 E ＝n ΔΦΔt ＝100×1.5×10－5

0.5 V ＝3×10－

3 V 。

答案：3×10－

3 V

9.如图7所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为L 和2L 的两个闭合线框a 和b ，以相同的速度从磁感应强度为B 的匀强磁场区域中匀速拉到磁场外，不考虑线框的重力，若闭合线框中的电流分别为I a 、I b ，则I a ∶I b 为( )

图7

A ．1∶4

B ．1∶2

C ．1∶1

D ．不能确定

解析：选C 线框产生的电动势为E ＝Bl v ，由闭合电路欧姆定律得I ＝Bl v

R ，又l b ＝2l a ，由电阻定律知R b ＝2R a ，故I a ∶I b ＝1∶1，C 正确。

10.如图8所示，长为L 的金属导线弯成一圆环，导线的两端接在电容为C 的平行板电容器上，P 、Q 为电容器的两个极板，磁场垂直于环面向里，磁感应强度以B ＝B 0＋kt (k >0)随时间变化，t ＝0时，P 、Q 两板电势相等，两板间的距离远小于环的半径，经时间t ，电容器P 板( )

图8

A ．不带电

B ．所带电荷量与t 成正比

C ．带正电，电荷量是kL 2C

4π

D ．带负电，电荷量是kL 2C

4π

解析：选D 磁感应强度以B ＝B 0＋kt (k >0)随时间变化，由法拉第电磁感应定律得：E ＝ΔΦΔt ＝S ΔB Δt ＝kS ，而S ＝L 24π，经时间t 电容器P 板所带电荷量Q ＝EC ＝kL 2C 4π；由楞次定律知电容器P 板带负电，故D 选项正确。

11.如图9所示，固定于水平面上的金属架CDEF 处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN 沿框架以速度v 向右做匀速运动。t ＝0时，磁感应强度为B 0，此时MN 到达的位置使MDEN 构成一个边长为l 的正方形，为使MN 棒中不产生感应电流，从t ＝0开始，磁感应强度B 应怎样随时间t 变化？请推导出这种情况下B 与t 的关系式。

图9

解析：要使MN 棒中不产生感应电流，应使穿过闭合回路的磁通量不发生变化。

在t ＝0时刻，穿过闭合回路的磁通量 Φ1＝B 0S ＝B 0l 2

设t 时刻的磁感应强度为B ，此时磁通量为 Φ2＝Bl (l ＋v t ) 由Φ1＝Φ2得B ＝B 0l

l ＋v t

。 答案：B ＝

B 0l

l ＋v t

12.如图10所示，两条平行且足够长的金属导轨置于磁感应强度为B 的匀强磁场中，B 的方向垂直导轨平面。两导轨间距为L ，左端接一电阻R ，右端接一电容器C ，其余电阻不计。长为2L 的导体棒ab 如图所示放置。从ab 与导轨垂直开始，在以a 为圆心沿顺时针方向以角速度ω匀速旋转90°的过程中，试求通过电阻R 的电荷量。

图10

解析：以a 为圆心、ab 为半径，顺时针旋转至60°时，导体棒有效切割边最长为2L ，故此时感应电动势为最大，且为

E ＝B ·2L ·2L 2ω＝1

2

B (2L )2ω

此时电容器被充电q 1＝CE ＝2BL 2ωC 在这一过程中通过R 的电荷量 q 2＝I －

·Δt ＝E －R Δt ＝B ΔS R Δt Δt ＝3BL 22R

注意从60°旋转到90°的过程中，电容器放电，所带电荷量 q 1将全部通过电阻R ，故整个过程中通过R 的总电荷量为：

q ＝q 1＋q 2＝2BL 2

ωC ＋3BL 2

2R

。

答案：2BL 2

ωC ＋3BL 2

2R