2014版高中数学复习方略课时提升作业：8.7双 曲 线(北师大版)(北师大版·数学理·通用版)

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课时提升作业(五十七)

一、选择题

1.(2013·南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为( )

(A)(B)(C)(D)

2.双曲线-y2=1(n>1)的左、右两个焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF 1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )

(A)(B)1 (C)2 (D)4

3.(2013·汉中模拟)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为

( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( )

(A)-=1 (B)-=1

(C)-=1 (D)-=1

5.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )

(A)(B)(C)(D)

6.(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )

(A)(B)2(C)4 (D)8

7.(2013·抚州模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )

(A)3x±4y=0 (B)3x±5y=0

(C)4x±3y=0 (D)5x±4y=0

8.(能力挑战题)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,若点P在双曲线上,

且·=0,则|+|= ( )

(A)(B)2(C)(D)2

二、填空题

9.(2013·西安模拟)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1的离心率为.

10.(2012·天津高考)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C 1的右焦点为F(,0),则a= ,b= .

11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B 两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为.

三、解答题

12.(2013·井冈山模拟)已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积k PA·k PB=,求双曲线的离心率.

13.(2013·马鞍山模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).

(1)求双曲线的方程.

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.

(3)求△F1MF2的面积.

14.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E 的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率.

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C

为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.

答案解析

1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:

=2,解得:m=3n,又m>0,n>0,

∴m>n,即>,

故由椭圆mx2+ny2=1得+=1.

∴所求椭圆的离心率为:e===.

【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本原因是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.

2.【解析】选B.不妨设点P在双曲线的右支上,则

|PF 1|-|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|=2,

∴|PF 1|=+,|PF2|=-,

又c=,

∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴∠F1PF2=90°,

∴=|PF 1||PF2|=1.

3.【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程为3x〒ay=0与已知方程比较系数得a=2.

4.【解析】选B.由题意可知

解得

所以双曲线的方程为-=1.

5.【解析】选D.因为焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双

曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=〒,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以k FB=-,又因为直线FB与双曲线的一条渐

近线垂直,所以k·k FB=(-)=-1(k=-显然不符合),

即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,

即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).

【变式备选】双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则的最小值为( ) (A)(B)(C)2 (D)1

【解析】选A.因为双曲线的离心率为2,所以=2,

即c=2a,c2=4a2;

又因为c2=a2+b2,

所以a2+b2=4a2,即b=a,

因此==a+≥2=,当且仅当a=,即a=时等号成立.

故的最小值为.

6.【解析】选C.不妨设点A的纵坐标大于零.

设C:-=1(a>0),

∵抛物线y2=16x的准线为x=-4,

联立得方程组

解得:A(-4,),B(-4,-),

∴|AB|=2=4,解得a=2,∴2a=4.

∴C的实轴长为4.

7.【解析】选C.设PF1的中点为M,因为|PF2|=|F1F2|,

所以F2M⊥PF1,因为|F2M|=2a,

在直角三角形F1F2M中,

|F1M|==2b,

故|PF1|=4b,

根据双曲线的定义得

4b-2c=2a,即2b-c=a,

因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,

即3b2-4ab=0,即3b=4a,

故双曲线的渐近线方程是y=〒x,

即4x〒3y=0.

8.【解析】选B.如图,由·=0可得⊥,又由

向量加法的平行四边形法则可知□PF1QF2为矩形,因为矩形

的对角线相等,故有|+|=||=2c=2.

9.【解析】由已知椭圆离心率为,

所以有==,得()2=,而双曲线的离心率为===. 答案:

10.【解析】由题意可得解得:a=1,b=2.

答案:1 2

11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.

【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,),B(c,-),

所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.

又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,

即a+c

?e2-e-2>0(e=),解得:e>2或e<-1.

又e>1,∴e>2.

答案:(2,+∞)

12.【解析】设A(m,n),P(x0,y0),则B(-m,-n),

∵A,B,P在双曲线上,

∴-=1,(1)

-=1,(2)

(2)-(1)得:=?=,

k PA·k PB=·===?e====.

13.【解析】(1)∵e=,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

∴双曲线方程为x2-y2=6.

(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,

∴c=2,∴F 1(-2,0),F2(2,0).

∴=,=,

·==-.

∵点M(3,m)在双曲线上,

∴9-m2=6,m2=3.

故·=-1,∴MF 1⊥MF2.

∴·=0.

方法二:∵=(-3-2,-m),=(2-3,-m),

∴·=(3+2)〓(3-2)+m2=-3+m2.

∵M(3,m)在双曲线上,

∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.

(3)△F 1MF2的底|F1F2|=4,

△F 1MF2的边F1F2上的高h=|m|=,∴=6.

14.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.

(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.

【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0≠〒a)在双曲线-=1上,有-=1. 由题意又有·=,

可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,

则e==.

(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则

设=(x3,y3),=λ+,

即

又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,

有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,

化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x 1x2-5y1y2)=5b2,

又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,

所以-5=5b2,-5=5b2.

又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,

得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.

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