北京市海淀区2010届高三一模(数学文)word版含答案

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （文科） 2010.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 在复平面内，复数)1(i i -(i 是虚数单位）对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.

30sin 75cos 30cos 75sin -的值为（ ） A ．1 B ．

21 C ．22 D ．2

3 3. 已知向量b a ,，则“a //b ”是“a +b =0”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足12

32

3=-S S ，则数列}{n a 的公差是（ ） A ．

2

1

B ．1

C ．2

D ．3 5．在同一坐标系中画出函数 a x y a y x y x a +===,,log 的图象, 可能正确的是 （ ）

6.

一个体积为左视图的面积为（ ）

A.36 B ．8 C ．38 D ．12 7.给出下列四个命题:

①若集合B A ,满足,A B A = 则B A ?；

B A

C

D

②给定命题q p ,, 若“q p ∨”为真，则“q p ∧”为真； ③设,,,R m b a ∈ 若,b a <则2

2

bm am <；

④若直线01:1=++y ax l 与直线01:2=+-y x l 垂直，则1=a . 其中正确命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8.直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A,B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ?是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最大值为（ ） A

12+ B. 2 C. 2 D. 12-

第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若,0>x 则x

x y 4

+

=的最小值是____________________. 10. 已知动点P 到定点（2，0）的距离和它到定直线2:-=x l 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_________.

11. 已知不等式组??

?

??≤-≥≤a x x y x y ， 表示的平面区域的面积为4，点),(y x P 在所给平面区域内，

则y x z +=2的最大值为______.

12.某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间,绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学中学习时间在6~8小时内的同学为 _______人.

第12题

第13题图

0.14

0.12 0.05 0.04

13. 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________.

14. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则（1）点集

{1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈所表示的区域的面积为_____；

（2）点集{

}12121122(,),,(,),(,)M x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面

积为___________ .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）

已知函数()()sin ,f x A x x R ω?=+∈(其中0,0,2

2

A π

π

ω?>>-<<

),

其部分图象如图所示. (I)求()f x 的解析式; (II)求函数)4()4

()(π

π

-

?+

=x f x f x g 在区间0,2π??

????

上的 最大值及相应的x 值.

16. （本小题满分13分）

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元、10元、0元的三部分区域面积相等. 假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券.（例如：某顾客消费

了218元 ，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券.）顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动.

（I ）若顾客甲消费了128元，求他获得优惠券面额大于0元的概率？

（II ）若顾客乙消费了280元，求他总共获得优惠券金额不低于20元的概率？

17. （本小题满分14分）

如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=?⊥平面ABCD ， 点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2==AB PA . (I) 证明：BC ⊥平面AMN ； (II)求三棱锥AMC N -的体积；

(III)在线段PD 上是否存在一点E ，使得//NM 平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由.

18. （本小题满分14分）

已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .

（I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值； （II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值.

19. （本小题满分13分）

已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12， 且点（1，3

2

）在该椭圆上.

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆

C 相交于,A B 两点，若AOB ?的面积为7

2

6，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程.

20. （本小题满分13分）

已知数列{}n a 满足：11=a ，212

12,,1

2,,2n n n n a n a a -+???=?+???为偶数为奇数， 2,3,4,.n = （Ⅰ）求345,,a a a 的值；

M

C D

（Ⅱ）设121n n b a -=+，1,2,3...n =，求证：数列{}n b 是等比数列，并求出其通项公式； （III ）对任意的*2,m m N ≥∈，在数列{}n a 中是否存在连续．．的2m

项构成等差数列？若存在，写出这2m

项，并证明这2m

项构成等差数列；若不存在，说明理由.

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学（文）

参考答案及评分标准 2010．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

第II 券（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

9.4 10.x y 82= 11.6 12.30 13.

1

2

14.π，π+12 15.（本小题满分13分） 解：（I ）由图可知，A=1 …………1分

,2

4π

=T 所以π2=T ……………2分 所以1=ω ……………3分

又1)4

sin(

)4

(=+=?π

πf ，且2

2

π

π

?-

<<

所以4

π

?=

……………5分

所以)4

sin()(π

+

=x x f . ……………6分

（II ）由（I ）)4

sin()(π

+

=x x f ，

所以)4

()4()(π

π

-

?+

=x f x f x g =sin()sin()4444x x π

π

π

π

+

+

?-

+

sin()sin 2

x x π

=+ ……………8分

cos sin x x =? ……………9分 1

sin 22

x = ……………10分 因为]2

,0[π

∈x ，所以],0[2π∈x ，]1,0[2sin ∈x

故：

]2

1,0[2sin 21∈x ，

当4

π

=

x 时，)(x g 取得最大值

2

1

. …………… 13分 16. （本小题满分13分） 解：（I ）设“甲获得优惠券”为事件A …………… 1分

因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分的面积相等，

所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是

3

1

. …………… 3分 顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，

根据互斥事件的概率，有3

2

3131)(=+=

A P ， …………… 6分 所以，顾客甲获得优惠券面额大于0元的概率是2

3

.

（II ）设“乙获得优惠券金额不低于20元”为事件B …………… 7分

因为顾客乙转动了转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券金额为x 元，第二次获得优惠券金额为y 元，则基本事件空间可以表示为：

{(20,20),(20,10),(20,0),(10,20),(10,10),(10,0),(0,20),(0,10),(0,0)}Ω=，

…………… 9分 即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率为

9

1

. ………… 10分 而乙获得优惠券金额不低于20元，是指20x y +≥，

所以事件B 中包含的基本事件有6个， ………… 11分 所以乙获得优惠券额不低于20元的概率为3

2

96)(==B P ………… 13分 答：甲获得优惠券面额大于0元的概率为3

2

，乙获得优惠券金额不低于20元的概率为

3

2

. 17. （本小题满分14分）

证明：(Ⅰ) 因为ABCD 为菱形，所以AB=BC

又60ABC ∠=

，所以AB=BC=AC ， ……………1分 又M 为BC 中点，所以BC AM ⊥ …………… 2分 而PA ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ,所以PA BC ⊥ …………… 4分 又PA AM A = ，所以BC ⊥平面AMN …………… 5分

（II ）因为11122AMC S AM CM ?=

?== …………… 6分 又PA ⊥底面,ABCD 2,PA = 所以1AN = 所以，三棱锥N AMC -的体积31

=

V AMC

S AN ?? ………… 8分