概统复习

第一章随机事件及其概率

1. 一些基本的公式 P21 1）互补：()1()P A P A =-

2）减法：()()()()P A B P A P AB P AB -=-=, 特别地 当A B ?时,()()()P A B P A P B -=- 3）加法： ()()()()P A B P A P B P AB ?=+-

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ??=++---+

至少有一个发生（一个都不发生如何表示）

4）乘法： ()()(|)P AB P A P B A =

特别地 1) 事件B A ,相互独立)()()(B P A P AB P =?

2) 当=U B 时，则()()()()()()P A P A U P A B B P AB P AB =?=??=+

5）条件概率P24： ()

(|)()P AB P B A P A =

6）全概率： 1

()()(|)n

i i i P B P A P B A ==∑

7）贝叶斯： 1

()(|)

(|)()(|

j j

j n

i

i

i P A P B A P A B P A

P B A ==

∑ 例1 1）()0.4,()0.3,()0.6P A P B P A B ==?=, 求()P A B -、事件A ，B 都不发生的概率。 练习 书P13--16例2、3、6；P17 A 组 3;7 P23 习题1-2 1；2; P27-28 例6；8；

P29 习题1-3 1； 4.

第二章 随机变量及其分布

1. 随机变量的分布函数P53

分布函数概念 +∞<<∞-≤=x x X P x F ),()( 分布函数性质： 1）+∞<<∞-≤≤x x F ,1)(0；

2）0)(lim

)(==-∞∞-→x F F x ；1)(lim )(==+∞∞

+→x F F x ； 3）2121),()

(x x x F x F

x F x F x x =+

→ （间断点右连续） 2. 离散型随机变量 P47

离散型随机变量的分布函数与分布律

∑

∑

≤

≤

=

=

=

≤

=

x

x

k

x

x

k

k

k

p

x

X

P

x

X

P

x

F)

(

)

(

)

()0

(

)

(

)

(-

-

=

=

k

k

k

x

F

x

F

x

X

P

1）离散型随机变量函数的概率分布情况P69

（已知X的概分布，求)

(X

g

Y=的概率分布）

（合并同值列）

例3 1.设随机变量X的分布律为

求1）α2）()

21

P X≥

练习P52 A 4,5; B 1;

3. 连续型随机变量X及其分布函数P56

)

(

,

)(

)

(

)

(+∞

<

<

-∞

=

≤

=?∞-x

dt

t

f

x

X

P

x

F x

概率密度函数性质1)0

)

(≥

x

f，+∞

<

<

∞

-x2)1

)

(=

?∞∞-dx

x

f3) ()0

P X C

==

4)?=

≤

<

∈

<

?b

a

dx

x

f

b

X

a

P

b

a

b

a)

(

)

(

,R

,

,5) ()()

x

F x f t dt

-∞

=?)(

)

('x

f

x

F=

?

例4

学生练习 练习 P60 例3； P62习题2-3 3

几种常见的连续型分布

正态分布的标准化)1,0(~N X X

σ

μ

-=

*

4. 连续型随机变量函数的概率分布P71（已知X 概率分布，求)(X g Y =概率分布）

1）求Y Ω；2）求)(y h x =；3）求??

?Ω?Ω∈=Y

Y Y y y y h y h f y f ,

0,)('))(()(.

1）求Y Ω；2）求))(()()(y X g P y Y P y F Y ≤=≤=；3）求)(')(y F y f Y Y =. 例5 书P70 例1 练习 P73 2 ；3

离散型随机变量和连续型随机变量的区别

5、二维随机变量及其联合分布函数P73

1） 联合分布函数和

性质

6、 二维离散型随机变量

P77

4）相互独立 随机变量X 与Y 相互独立

?)()(),(y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤?)()(),(y F x F y x F Y X ?=

离散型随机变量X 与Y 相互独立?j i ij p p p ???=

例6 已知,X Y 得分布律为：且X 与Y 相互独立

2） ()1,0F 学生练习 P80 A 1

练习 P90 A 1

7、 二维连续型随机变量P81

2）两类重要分布：二维均匀分布

()

1

, (,)(,)0, x y D

A D f x y ?∈?=???

其它

二维正态分布),,,,(~),(2

22121ρσσμμN Y X ， X 与Y 相互独立?0=ρ.

3）在x X =的条件下Y 的条件概率密度，

Y

的条件分布函数

4） 连续型随机变量X 与Y 相互独立

?)()(),(y f x f y x f Y X ?=

学生练习 P106 例9

练习 P84 例5 ; P86 例7 ; P88 B 2; P91 3 ;

第三章随机变量的数字特征

1、1）随机变量的期望P114：一维离散型∑?=i

i

i p x X E )(

一维连续型?+∞

∞-=dx x xf X E )()(

二维离散型()[(,)](,)i j ij i

j

E Z E g X Y g x y p ==∑∑

二维连续型()[(,)](,)(,)E Z E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞

-∞-∞==?? 随机变量函数()()(g )i i

i

E X g x p =?∑

()()(g )()E X g x f x dx +∞

-∞

=?

2）方差计算式P121；

2、期望和方差的性质：(), ()0;E C C D C == 2()() , ()();E CX CE X D CX C D X ==

1212()()()E X X E X E X ±=+ 12121()()

()

2c o v (,)

D X X D X D X X

X ±=+± 设1X 与2X 相互独立，则1212()()(),E X X E X E X = )()()(2121X D X D X X D +=± 3、六种常见分布的期望和方差结论；

4、协方差P126 c o v (,){[()][()]}(

)X Y E

X E X Y E Y E X Y E X E Y

=--=- |(,)

(|)(|)()

Y X X f x y f y x f y x f x ==

()()()

()

,y

Y X X f x y F y x F y x dy f x -∞

==?

协方差的性质

5、相关系数的概念及计算式

；(,)

XY

X Y

ρρ

==

6、独立与否、相关与否的解题思路及它们之间的关系。

1

X与

2

X 相互独立

1212

()()(),

E X X E X E X

=

例7 1) 设随机变量X与Y相互独立，且已知()()()

2,1,1,

E X D X E Y

===()4

D Y=, 求：

()()

223

D X Y D X Y

--+

和

2) 设随机变量

123

~(1,3),~(4),~(1)

X U X E X P

-相互独立，求)

3

4

(

3

2

1

X

X

X

E+

-，123

(43)

D X X X

-+

学生练习P139 一、12 ；二2；8；

例8 已知随机变量)

,

(Y

X的联合密度函数为

?

?

?<

<

<

=

other

y

x

cxy

y

x

f

,0

2

,

)

,

(，

（1）求常数c；（2）判断Y

X,的独立性；（3）求

XY

ρ，并判断Y

X,的相关性. 练习P136例11；P141 三8

第四章大数定理和中心极限定理

1、切比雪夫不等式P142

练习：P152 一，1 ；4 二2, 3

2、独立同分布的中心极限定理P146设

12

,,,,,

N

X X X

独立同分布，

()

()

0,1

n

k

k

X nE X

N

-

∑

3、莫德佛---拉普拉斯中心极限定理设(),

X B n p

()

0,1

N

例：设有900名旅客每天需同时从甲地出发到乙地，每名乘客乘汽车的概率为0.5，为

2

()

{|()|}

D X

P X E Xε

ε

-≥≤

2

()

{|()|}1

D X

P X E Xε

ε

-<≥-

了以0.997的概率保证汽车上都有足够的座位，则汽车应该设多少个座位？

第五章统计量及其分布

练习：P165 A 2，P174 二1;

第六章参数估计

练习：P187 A 6，B 3; P174 P197 例1; P211 例9（1）