三角恒等变形讲义
三角恒等变换专题讲义
李 霞
知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的余弦公式
βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+=
βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+
注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）
2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后
3.会逆用及其变形
2.两角和与差的正弦
βαβαβαsin cos -cos sin )-sin(=
β
αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+
注： 1.公式中两边的符号相同 2.式子右边异名三角函数相乘再加减
3.会逆用及其变形
3.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=,tan tan 1tan tan β
αβα-+ tan(α-β)=
.tan tan 1tan tan βαβα+- 注：1.两角和时，上加下减
2.两角差时，上减下加
3.会逆用及其变形
考点1：求值问题
【例】求下列各式的值
（1）cos75°
（2）cos75°cos15°－sin255°sin15°
(3） sin47°－sin47°cos30
cos17°
（4） 1+tan75°
1－tan75°
（5）tan20°+tan40°+3tan20°tan40°
考点2：化简问题
【例】化简下列各式
(1)－23sinx+21
cosx
(2)23
sinx －21
cosx
知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式
1.两倍角的正弦公式
Sin2α=2sin αcos α
2.两倍角的余弦公式
Cos2α=.cos 2α-sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α
3.两倍角的正切公式
t an2α=αα
2tan 1tan 2-
注：对以上三个公式会逆用及其变形
考点：求值问题
【例1】已知：sinα－cos α=2，α），（π0∈，则sin2α=
【例2】计算求值 10sin 1－ 10
cos 3
知识点3：简单的三角恒变形
1.半角公式
（1）2cos 12sin
αα-±= （2）2cos 12cos αα+±=
（3）α
αααα
sin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 2. 和差化积
（1）2
cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-+=+
（2）2
sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-
（3）2
cos 2cos 2cos cos βαβ
αβα-+=+
（4）2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 3. 积化和差
（1）)]sin()[sin(2
1cos sin βαβαβα-++=
（2）)]sin()[sin(2
1sin cos βαβαβα--+=
（3）)]cos()[cos(2
1cos cos βαβαβα-++= （4）)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=
4. 辅助角公式 辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的
符号确定，θ角的值由tan b a
θ=
确定)在求最值、化简时起着重要作用 考点1：化简求值问题 （1）升幂化简
【例1】若3
2(,)αππ∈，化简111122222
cos α++
【例2】化简： 440sin 12-
【例3】α是第三象限角，化简 ααα
αsin 1sin 1sin 1sin 1+---+
【例4】化简 ),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθ
θ∈-+++-
（2）降幂化简
【例1】求函数22cos sin 2y x x =+的最小值
【例2】函数22cos 14y x π??=-
- ???最小正周期为 【例3】函数25
53
f (x )s i n x c o s x c o s x =-532(x R )+∈的单调递增区间为___________
（3）切化弦
【例1】求sin50°（1+3tan10°）的值
【例2】（tan10°－3）
50sin 10cos
（4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的
变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，
2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=?，()()222αβ
β
ααβ+=---
等）
【例1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值
【例2】已知02
π
βαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223
sin()αβ-=，求的值 cos()αβ+
【例3】已知：锐角α和β，满足sin （α－β）=53，sin α=5
4，求sin β的值
【例4】已知：tan （α+
6π）=21，tan （β－6π）=2
1，求tan （α＋β）的值
（5）辅助角
【例1】已知函数3()2cos sin()32
f x x x π
=+- （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合
（2）求函数()f x 图像的对称轴方程
【例2】已知函数23()2cos sin cos 2f x a x b x x =+-，且3(0)2f =，1()42f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间
（2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数
【例3】已知函数y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ） （1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到
【例4】已知函数11()cos()cos(),()sin 23324
f x x x
g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期；
（2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。
（6）关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用
（由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道
)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或）
【例】已知θθθθ33cos sin ,3
3cos sin -=-求。
（7）利用公式：1cos sin 22=+αα及“托底”方法求值
【例1】 已知：tg α= -3，求sin αcos α-cos 2α的值
【例2】 已知：tg α=3，求α
αααcos sin 2cos 3sin +-的值
考点2：证明问题
证三角恒等式时，先观察左右两边：
①是否同名函数？如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为
正弦和余弦（异名化同名）
②是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同
角）；
③次数是否相同？如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”；
④是繁还是简？一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如果两边
都繁，则变两边（左右归一），
⑤有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆
项
（1）异名化同名
【例1】 求证：αα
ααα3cot sec 1csc 1cos 1sin 1=++?--
【例2】求证
αααα22sin cos cos sin 21--=ααtan 1tan 1+-
【例3】求证：
.cos sin 1tan sec 1tan sec 1x x x x x x +=-+++
【例4】求证:t a n A +cot A =
A sin 2.
【例5】求证：α
ααα2sin 4sin 2322=
-tg ctg
（2）异角化同角
【例1】求证：
ααα
ααα4cos 2cos 43535=-+tg tg tg tg
【例2】求证：.2cos cos sin 22tan 23tan x x x x x +=-
（3）降次
【例1】求证 2
3cos sin 1cos sin 14466=----θθθθ
【例2】求证
ααα
ααα226644cos 3sin -1sin cos 1sin cos 1=----
（4）化繁为简
【例1】求证：
410cos 310sin 1=?
-?
【例2】求证：3402034020=??+?+?tg tg tg tg
（5）角的配凑
【例1 求证： 4
172cos 36cos =
???
【例2】求证：cos20°cos40°cos80°=
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常见的三角恒等式
常见的三角恒等式及其证明 设A，B，C是三角形的三个内角 (1) tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC 证明： tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(π-c)(1-tanAtanB)+tanC=-ta nC(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC (2) cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 证明： tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC cotX*tanX=1 tanA*cotAcotBcotC＋tanB*cotAcotBcotC＋tanC*cotAcotBcotC=tanAtanBtanC* cotAcotBcotC cotAcotB＋cotBcotC+cotCcotA=1 (3) (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 证明： (cosA)^2+(cosB)^2+x^2+2cosAcosBx=1 x^2+2cosAcosBx+(cosA)^2+(cosB)^2-1=0 x={-2cosAcosB+-√[(2cosAcosB)^2-4((cosA)^2+(cosB)^2-1)]}/2 x=-cosAcosB+-√[(cosAcosB)^2-((cosA)^2+(cosB)^2-1)] x=-cosAcosB+-√[1-(cosA)^2][1-(cosB)^2] x=-cosAcosB+-√[(sinA)^2(sinB)^2] x=-cosAcosB+-sinAsinB x=-cos(A+B)或x=-cos(A-B) x=cosC或x=-cos(A-B) 所以 cosC是方程的一个根 所以 (cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1 (4) cosA+cosB+cosC＝1＋4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) 证明： cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2sin(A/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] cos(180-B-C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)] -cos(B+C)+cosB+cosC=1+2cos(B/2+C/2)[2sin(B/2)sin(C/2)]
三角函数恒等变换(整理)
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 最常用三角公式 1. 诱导公式 sin(-a) = - sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2 - a) = cos(a) cos(π/2 - a) = sin(a) sin(π/2 + a) = cos(a) cos(π/2 + a) = - sin(a) sin(π - a) = sin(a) cos(π - a) = - cos(a) sin(π + a) = - sin(a) cos(π + a) = - cos(a) 2. 两角和与差的三角函数 sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(α)sin(b) cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) tan(a + b) = [tan(a) + tan(b)] / [1 - tan(a)tan(b)] tan(a - b) = [tan(a) - tan(b)] / [1 + tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a) + sin(b) = 2sin[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] sin(a) - sin(b) = 2cos[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] cos(a) + cos(b) = 2cos[(a + b)/2]cos[(a - b)/2] cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a + b)/2]sin[(a - b)/2] 三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+= 三角函数恒等变形公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asi nα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式 （2）二倍角公式 （3）三倍角公式 （4）半角公式 （5）万能公式 ，， （6）积化和差 ， ， ， （7）和差化积 ， ， ，2.网络结构 3. 基础知识疑点辨析 （1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？ 实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同： 。 （2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点： ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。 ②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。 ③用代替，可把转化为，其限制条件同②。 （3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？ ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。 ②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。 ③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函 数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最 小值。 （4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：，， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易 证明。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三 角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 能 力 提 升 一、选择题 1．函数y ＝sin x 1＋cos x 的周期等于( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．3π [答案] C [解析] y ＝2sin x 2cos x 2 2cos 2x 2＝tan x 2，T ＝π 1 2＝2π. 2．函数y ＝1 2sin2x ＋sin 2x 的值域是( ) A.??????－12，32 B.???? ??－32，12 C.??????－22＋12，22＋12 D.? ????? －22－12，22－12 [答案] C [解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ? ? ? ??2x －π4， ∴值域为??????12 －22，12＋22. 3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π 3，则 函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( ) A.223 B.23 3 C.43 D.263 [答案] B [解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π 3对称， 则f (0)＝f ? ?? ??10π3，∴a ＝－32－a 2， ∴a ＝－3 3， ∴g (x )＝－3 3sin x ＋cos x ＝233sin ? ????x ＋2π3， ∴g (x )max ＝23 3. 4．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π 4)的一个单调递增区间是( ) A ．[－π2，π 2] B ．[5π4，9π4] C ．[－π4，3π4] D ．[π4，5π4] [答案] B [解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π 2ω＝π，所以ω＝1.则 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数: cos( a + 3)=cos a ? cos 3 -sin a ?sin 3 cos( a - 3)=cos a ? cos 3 +sin a ?sin 3 sin( a ±3 )=sin a ? cos 3 ±cos a ? sin 3 tan( a + 3)=(tan a +tan 3 )/(1-tan a ? tan 3 ) tan( a - 3)=(tan a -tan 3 )/(1+tan a ? tan 3 ) 三角和的三角函数： sin( a + 3 +Y )=sin a ? cos 3 ? cos 丫+cos a ? sin 3 ? cos 丫+cos a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? sin 丫cos( a + 3 + Y )=cos a ? cos 3 ? cos 丫-cos a ? sin 3 ? sin Y -sin a ? cos 3 ? sin 丫-sin a ? sin 3 ? cos 丫 tan( a + 3 + Y )=(tan a +tan 3 +tan 丫-tan a ?tan 3 ? tan 丫)/(1-tan a ? tan 3 -tan 3 ? tan 丫-tan 丫? tan a ) 辅助角公式： Asin a +Bcos a =(A2+B2)A( 1/2)sin( a +t)，其中 si nt=B/(A2+B2)A(1/2) cost=A/(A2+B2)A(1/2) tan t=B/A As in a -Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( a -t) , tan t=A/B 倍角公式： sin (2 a )=2sin a? cos a :=2/(tan a +cot a ) cos(2 a )=cos2( a )- sin2( a )=2cos2( a )-仁1- 2sin2( a ) tan (2 a )=2tan a/[1- tan2( a )] 三倍角公式： sin (3 a )=3sin a-4sin3( a )=4sin a-sin(60+ a )sin(60- a ) cos(3 a )=4cos3( a )-3cos a =4cos a-cos(60+ a)cos(60- a ) tan(3 a )=tan a ? tan( n /3+a) ? tan( n /3-a) 半角公式： Sin( a /2)= ±V((1 -cos a )/2) cos( a /2)= ±V ((1+cos a )/2) tan( a /2)= ±V ((1 -cos a )/(1+cos a ))=sin a /(1+cos a )=(1-cos a )/sin a 降幕公式 sin2( a )=(1-cos(2 a ))/2=versin(2 a )/2 cos2( a )=(1+cos(2 a ))/2=covers(2 a )/2 tan2( a )=(1-cos(2 a ))/(1+cos(2 a )) 万能公式： sin a =2tan( a /2)/[1+tan2( a /2)] cos a =[1- tan2( a /2)]/[1+tan2( a /2)] tan a =2tan( a /2)/[1- tan2( a /2)] 积化和差公式： 第10讲 三角恒等式与三角不等式（一） 【赛点突破】 1． 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。 2． 同角函数基本关系：平方关系，倒数关系，商关系。 3． 三角公式：和差倍半，和差化积，积化和差。 【范例解密】 例1若x 是锐角，证明：（1）sin tan x x x <<；（2） sin tan 2 x x x +>。 分析与解：（1）如图，在单位圆中， OAB OAB OBC S S S ??<<扇形，即sin tan x x x <<； （2）224tan tan 2tan sin tan 22 221tan 1tan 1tan 222 x x x x x x x x +=+= +-- 2tan 222 x x x >>?=。 注：（2）的变形值得回味。 例2 2tan x =-，求x 的取值范围。 解：原式左边= 1sin 1sin 2sin cos cos cos x x x x x x -+--=，故cos 0x >或者sin 0x =，则 22,22 k x k k Z π π ππ- <<+ ∈或者,x k k Z π=∈。 注：本题非常容易漏解，考查思维的严谨性。 例3 求15 ()()44f x x = ≤≤的最小值。 分析与解：sin()2 ()x f x π π-+=54x =取得最大值，分子当54x =取得最小值，故5 4 x = 原式取得最小值。 注：解决问题的思维值得借鉴。 例4求 1 tan10cos50 +的值。 分析与解： 1cos802cos 40cos80cos402cos60cos 20 sin40sin80sin80sin80 ++ += = 2cos30cos10 3 sin80 ==。 注；tan10cot80 =是一个很好的变形，另外2cos40 cos802cos(12080) + =- cos802sin120sin80 +=是一个更启发思路的方法。 例5()sin2)sin()23,[0,] 42 f x x x a x ππ =-+++∈，若 () cos() 4 f x x π > - 恒成立，求a的取值范围。 分析与解：设sin cos x x t +=∈，则2 sin21 x t=-，原不等式化为 2 4 (2)22 t a t a t -+++>，即 2 (2)()0 t t a t -+-<，故 2 a t t >+恒成立，则3 a>。注：其中的三角换元是常用的重要方法，高次方程的分解因式是稍高的技巧。例6ABC ?中，求cos cos cos A B C ++的最大值。 分析与解：原式2 2cos cos cos2sin12sin 2222 A B A B C C C +- =+≤+-= 2 13 2(sin) 222 C --+，故当 3 A B C π ===时原式的最大值是 3 2 。 注（1）如果求cos cos cos A B C ++的值域呢？ （2）3 cos cos cos cos2cos2cos 322 C A B A B C π π+ + +++≤+≤ 3 3 4cos 42 A B C π +++ =是很好的方法，由此如何解决sin sin sin A B C ++的最值问题，并和其他的方法比较。 例7,a b是正实数，且 sin cos8 55tan 15 cos sin 55 a b a b ππ π ππ + = - ，求 b a 的值。 分析与解：设tan, b x x a =是锐角，则 tan tan8 5tan 15 1tan tan 5 x x π π π + = - ，即 8 tan()tan 515 x ππ +=， 故 8 , 5153 x x πππ +==， b a = 注：本解法比较灵巧，还有多种基本的方法，请自己探索。 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用 两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?±=± 倍角公式 sin2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α =2cos 2α-1=1-2sin 2α α α α2tan 1tan 22tan -= 半角公式 2 cos 12 sin αα -± =，2 cos 12 cos αα +± = α αα cos 1cos 12tan +-± ==αααα cos 1sin sin cos 1+=- 升幂公式 1+cos α=2 cos 22 α 1-cos α=2 sin 22 α 1±sin α=(2 cos 2 sin α α ±)2 1=sin 2α+ cos 2α sin α=2 cos 2 sin 2α α 降幂公式 sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2 α=1 sin α·cos α=α2sin 2 1 平方关系 sin 2α+ cos 2α=1， 商数关系 α α cos sin =tan α 授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换 教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点 三角函数公式的运用 教学内容 1、象限角 （1）各象限角的范围 （2）三角函数值在各象限的符号 αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换 3、同角三角函数的基本关系 ()()122=+ ()() = αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ； （2、若=?+=+α ααααcos sin 2cos 1 0cos sin 32 ，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ； （一）诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题赏析 例题1、（2013广东，4）已知==??? ??+ααπcos 51 25sin ，那么（）； A ：52- B ：51- C ：51 D ：5 2 例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-?-+--?+) 2cos(cos cos ) 2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ 达标训练 （1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5 3 2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5 4.-D 正弦 余弦 正切 α- απ-2 απ+2 απ-2 2 απ +2 2 απ-23 απ+23 （2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23 sin sin 2-1（） ． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D （二）三角函数的求值与化简 1、两角和差公式 =+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。 公式拓展 =+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。 例题精讲 例题1、（2012重庆，5）=? ? ?-?17cos 30cos 17sin 47sin （） A. 23- B.21- C.21 D.2 3 例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。 达标训练 （1、（2014江苏，15）已知?? ? ??∈ππα，2，55sin =α. 求（1））（ απ +4 sin 的值； 高中数学：9种常用三角恒等变换技巧总结 三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益。 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（α+β）-β；2α可变为（α+β）+（α-β）；2α-β可变为（α-β）+α；α可视为α/2的倍角等等． 遇平方可用“降次”公式，这是常用的解题策略．本题中首先化异角为同角，消除角的差异，然后化简求值．关于积化和差、和差化积公式，教材中是以习题形式给出的，望引起重视． 跟代数恒等变换一样．在三角变换时，有时适当地应用”‘加一项再减去这一项”. “乘一项再除以同一项”的方法常能使某些问题巧妙简捷地得以解决． 根据题目的特点，总体设元，然后构造与其相应的对偶式，运用方程的思想来解决三角恒等 变换，也是常用的方法，本题也可以采用降次、和积互化等方法。．目前高考中，纯三角函数式的化简与证明已不多见，取而代之的题目经常是化简某一三角函数，并综合考查这一函数的其他性质．但。凡是与三角函数有关的问题，都以恒等变形、条件变形为解题的基石，因此本专题内容的重要性不言而喻．至于在三角条件恒等证明中如何用三内角和的性质、正余弦定理进行边角关系转换等，我们就不另加赘述了． 3.2三角函数化简及恒等变换 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+ =w wx x f π 在?? ? ??22- ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A. 32 B.35 C.2 D.3 8 【答案】A 【解析】 函数)0)(6 sin()(>+ =w wx x f π的递增区间)(22 622 -Z k k x k ∈+≤ + ≤+ππ πωππ ，化简得： ).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2 32-32-<ω此时k=-1,所以3 2= ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。 2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】 已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2 A B π π-，则?的值为 （ ） A. 56 π B. 6 π C. 56π- D. 6 π - 【答案】C 【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π π-6 5-π?= 3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】 高中奥林匹克数学竞赛讲座 三角恒等式和三角不等式 知识、方法、技能 三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2 tan x t =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握 上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角 形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式 )](2 1 [))()((c b a p c p b p a p p S ++= ---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲 例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin A A A -= +>+=ββ βαβαα求证 【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用 αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ” 入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A ),sin()sin(βαββα+=-+∴A ), cos(sin ))(cos sin(), sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A . cos sin )tan(, 0)cos(, 0cos ,1||A A A -= +≠+≠-∴>ββ βαβαβ从而 【证法2】 αβαβββαβααββββ sin )sin(cos sin )sin() sin(sin cos sin sin sin -++= +- = -A ). tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαβ βαββαβαββ βα+=++=-+-++= 例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、 x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 3 3 x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= = )2cos 1(2 9 )2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++最常用三角公式(精心简洁整理,可直接打印)
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