ANSYS粘弹性材料Prony总结

ANSYS 粘弹性材料

1.1 ANSYS 中表征粘弹性属性问题

粘弹性材料的应力响应包括弹性部分和粘性部分，在载荷作用下弹性部分是即时响应的，而粘性部分需要经过一段时间才能表现出来。一般的，应力函数是由积分形式给出的，在小应变理论下，各向同性的粘弹性本构方程可以写成如下形式：

()

()0

02t

t de d G t d I K t d d d σττττττ

?=-+-?? (1)

其中

σ＝Cauchy 应力 ()G t ＝为剪切松弛核函数 ()K t ＝为体积松弛核函数

e ＝为应变偏量部分（剪切变形）

?＝为应变体积部分（体积变形）

t ＝当前时间 τ＝过去时间

I ＝为单位张量。

该式是根据松弛条件本构方程(1)，通过将一点的应变分解为应变球张量（体积变形）和应变斜张量（剪切变形）两部分，推导而得的。这里不再敖述，可参考相关文献等。

ANSYS 中描述粘弹性积分核函数()G t 和()K t 参数表示方式主要有两种，一种是广义Maxwell 单元（VISCO88 和 VISCO89）所采用的Maxwell 形式，一种是结构单元所采用的Prony 级数形式。实际上，这两种表示方式是一致的，只是具体数学表达式有一点点不同。

1.2 Prony 级数形式

用Prony 级数表示粘弹性属性的基本形式为：

()1exp G

n i G

i i t

G t G G τ∞=??

=+- ???

∑ (2) ()1exp K n i K

i i

t

K t K K τ∞=??

=+- ???

∑ (3) 其中，G ∞和i G 是剪切模量，K ∞和i K 是体积模量，G i τ和K i τ是各Prony 级数分量的松弛时间(Relative time)。再定义下面相对模量(Relative modulus)

0G i i G G α= (4) 0K i i K K α= (5)

其中，0G ，0K 分别为粘弹性材质的瞬态模量，并定义式如下：

()01

0G

n i i G G t G G ∞====+∑ (6)

()01

0K

n i i K K t K K ∞====+∑ (7)

在ANSYS 中，Prony 级数的阶数G n 和K n 可以不必相同，当然其中的松弛时间G i τ和K

i τ也不必相同。

对于粘弹性问题，粘弹体的泊松比一般是取为时间的函数()t μμ=。不过有时情况允许也可近似设为常数，这时根据弹性常数关系就有：

()()()()()()

21312E t G t E t K t μμ=+=

- (8)

其中，()E t 为松弛模量，由实验来确定。()()(),,E t G t K t 的相应系数比相同。

这样就可以将()G t 和()K t 统一于()E t 形式。若我们将松弛模量表示为Prony 级数形式，即：

()1exp n i i i

t E t E E τ∞=??

=+-

???

∑ (9) 于是，()G t 和()K t 中有，G K n n n ==，(Relative Time)

G K i i i τττ==，(Relative

Modulus)G K i i i ααα==。类似于0G 、0K ，我们也同样定义瞬态松弛模量0E ：

()01

0G

n i i E E t E E ∞====+∑ (10)

这样，由错误！未找到引用源。可得

()()

00

021312E G E K μμ=+=

- (11)

1.3 Shift Function ：

Shift function (转换函数) 有三项可以选择：

(a) William-Landel, ferry: 时温等效方程, 适用于聚合体

Tref: 即理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（对应《粘弹性理论》中的时温等效方程（WFL 方程）应该是玻璃化转变温度）

C1,C2: WFL 方程的常量，与材料有关； （b ） Tool-Narayanaswamy 方程

Tref: 理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（应该是玻璃化转变温度） C1: 就是TN 常量； (c) 用户定义

Tref: 理论中的C1-Relative temperature: 相对温度（应该是玻璃化转变温度） C1: 方程的常量；

在使用PRONY 模拟时，SHIFT FUNCTION 不是一定要输入的，如果松弛模量E(t)与温度不相关，可以不用输入shift function.

1.4 PRONY 输入例子：

E 0=2.903153MPA v =0.495，松弛模量E(t)用Prony 级数表示为： 30130.7

3013.07

301.307

()0.7058860.1681690.098714 1.930384 (MPa)t t t E t e

e e ---=+++

0 2.903153MPa E =，0.495v =；根据(8)式，

11112222333330130.7, 0.0579

3013.07, 0.0340301.307, 0.6649

G K G K G K G K G K G K τταατταατταα============ 参数输入情况分别如下图所示：

(

)

(

)

base

base

T t T C T

t T C T a -+-=)()(log )('2'1

10