14.201201西城(南区)初三数学试卷

14．北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（南区）

九年级数学 2012.1

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为

A ．(1,1)

B ．(1,1)-

C ．(1,1)-

D ．(1,1)--

2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是

A ．2

B ．3

C ． 6

D ．11

3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝

90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为

A ．

5

B ．

5

C ．

12

D ．2

4． 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

5．下列图形中，中心对称图形有

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为 A ．2

1 B ．

3

1

C ．4

1 D ．6

1

7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点（-1,0），对称轴为x =1，则下列结论中正确的是

A ．0>a

B ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大

C ．0

D ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根

8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，

(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83

C ．22

+ D ． 22

-

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．

10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个

单位长度，所得抛物线的解析式是 ．

11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4．以

斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转

α角（0120α?<

两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时

α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．

12．已知二次函数2

12

y x x =-

+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ， n 使

得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．

13．计算：2cos 30602sin 45?+?-?．

14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A ，B ，C ，

P 均为格点.

（1） 在网格中作图：以点P 为位似中心，将△ABC 的各

边长放大为原来的两倍，A ，B ，C 的对应点分别为A 1 ，B 1 ，C 1；

（2） 若点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（3,2），

则（1）中点C 1的坐标为 .

15．已知抛物线245y x x =+-.

（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；

（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．

16．如图，三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，AB =6， 在AC 上取一点 E ，沿BE 将该纸片折叠，使AB 的一部分 与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长.

17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，

另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）． 设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形 ABCD 的面积为S 平方米．

（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？

18．如图，在Rt △ABC 中，90C

∠=?

，AB 的垂直平分线与BC ，

AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin 5

ADC

∠=，求AC 的长和tan B 的值；

（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2

α

的值（用sin α和cos α的值表示）．

19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向

连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方

形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的

面积．

20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1

时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等． （1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并 画出它的图象（不要求列表）；

（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且

2 (0),

()2 (0),

x bx c x f x x ?++≥=?-

方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．

21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平

分线与⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于 点E ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5

BAC ∠=，求

D F A F

的值．

22．阅读下列材料：

题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+再说明y 的符号即可.

现给出如下利用函数解决问题的方法：

简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数

(1)y a x a =--的图象和性质解决.

参考以上解题思路解决以下问题：

已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．

（1）求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移

12

个单位长度，再向上平移

1k

个单位长度，随着k 的变化，

平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．

24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.

（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2， 求AM 的长；

（2） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90?，BM a =，

C M b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的

代数式表示).

25． 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)

C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．

（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；

（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，

①求此抛物线W的解析式；

②若点Q在直线1

y=-上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．

14．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2012.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

阅卷说明：第10题写成2

(1)1

y x

=--不扣分;第

11题每空各2分;第12题第（1）问2分, 第（2）问每空各1分．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解：原式= 2

2

22

+-?…………………………………………………3分

= 2

2

．……………………………………………………………………5分14．解：（1）

…………………………………………3分（2）点C1的坐标为（2，8）. ……………………………………………………5分15．解：（1）抛物线与x轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)

-和．…………………………2分抛物线与y轴的交点的坐标为(05)

-

，．…………………………………3分（2）245

y x x

=+-

图1

2

(44)9x x =++-…………………………………………………………4分

2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分 16．解： 在RtΔACB 中，∠ACB =90°，AB =6， ∠A =30°，（如图2） ∴ 362

121=?=

=

AB BC . ………………………1分

∵ 沿BE 将ΔABC 折叠后，点A 与BC 延长线上的点D

∴ BD=AB=6，∠D =∠A =30°. ……………………3分

∴CD =

BD -BC =6-3=3. ……………………………4分

在RtΔDCE 中，∠DCE =90°，CD =3， ∠D =30°，

∴322

3330

cos ==

=

CD DE . ………………………………………………5分

17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．

∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，

∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 ( 说明：由0

（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，

∴ 当9x =时，S 取最大值．

即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分

18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C

∠=?

， AD =10，4sin 5

AD C ∠=

，（如图3）

∴ 4sin 1085AC AD AD C =?∠=?

=．……1分 3c o s 1065

C D A D

A D C =?∠=?=．

∵ DE 垂直平分AB ，

∴ 10BD AD ==．……………………………2分 ∴ 16BC C D BD =+=． ……………………3分

在Rt △ABC 中，90C ∠=?

，

∴ 81tan 16

2

AC B BC

==

=

． ……………………………………………………4分

（2）sin tan

21cos α

αα

=

+．（写成1cos sin αα

-也可） ……………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置 如图4所示．……………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为

(3,1)．

…………………………3分 （2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图4所示． …………………………4分

它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分

20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，

∴ 11,

2.2

b c b ++=-??

?-=??

解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图5所示．……………………………………………………4分

（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图6）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图7） ∵ AD 平分∠BAC ，

∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分

∵ OA =OD ， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．

∴ OD ∥AE ．

∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．

∴ 18090O D E AED ∠=?-∠=?．

∴ DE ⊥OD ． ……………………………2分 ∵ OD 是⊙O 的半径，

∴ 直线DE 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分

（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图7） ∴ ∠OGE =90°．

∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．

∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中， ∠OGA =90°，4cos 5

BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ．

∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴

59

D F O D AF

AE

==．……………………………………………………………5分

22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，

∴ ?????+=--=+.

322,222a b c a a c b

消去b 并整理，得243c a =+．………………………1分 消去c 并整理，得2423b a a =--． ………………2分 （2）∵ ()()()41133242

2

--=+-=--=a a a a a b ，

将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质

结合它的图象（如图8所示），以及a ，b 均为非负数 得a ≥3．

又 ∵ a ＜5，

∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分 ∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，

将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--

的性质结合它的图象（如图9所示）可知，当3≤a ＜5 时，4()0b a -<．

∴ b ＜a ． ……………………………………………4分

∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3， ∴ 4()c a -≥0． ∴ c ≥a ．

∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分

阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分， 全写对得到5分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）令0y =，得方程 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k

=

．

∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2

(,0)k

． ………………………2分

抛物线2

(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2

244

(

,)24k k k k

k

-++-

． ………3分

（2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为2

1

4(,)4k k k k

+-

．…………………………………5分

由1,1

4x k

k y ?

=????=--??

可得 114y x =-- ．

∴ 所求新函数的解析式为114y x

=-

-． …………………………………7分

24．解：（1）因AB =AC 且∠BAC=60°，故将△ABM 绕点A 逆时针旋转60?得△ACN ，

则△ABM ≌△ACN ，（如图10）………………………………………………1分

∴ ∠BAM =∠CAN ，∠ABM =∠ACN ，AM =AN ，BM =CN ． ∵ 四边形ABMC 内接于⊙O ， ∴ ∠ABM +∠ACM =180?． ∴ ∠ACN +∠ACM =180?．

∴ M ，C ，N 三点共线．……………………2分 ∵ ∠BAM =∠CAN ，

∴ ∠BAM +∠MAC =∠CAN +∠MAC =60?，

即∠MAN =60?． ………………………………………………………………3分 ∵ AM =AN ，

∴ △AMN 是等边三角形．……………………………………………………4分 ∴ AM =MN =MC +CN =MC +BM =2+1=3． ……………………………………5分 （2）AM

)2

b a -

)2

b a +．……………………………………………7分

25．解：（1）图2中的m

．……………………………………………………………1分

（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，

∴ 12E D y y ==，此时原题图1中的点P 运动到与点B 重合，

∴ 113122

2

BO C C S O B y O B ?=

??=

??=．

解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ……………………………………2分

此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．

∵ 点C 的坐标为(,3)C n -， ∴ 点C 在直线3y =-上．

又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过 点O 与AB 平行的直线l 上，

∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM C O N ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，

可得△ABM ≌△CON ．

∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中

AB =

=

∴ 图11

中DE =

，2D O F x D E =+= …………………4分

（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．

（如图13）

∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ， ∴ 由抛物线的对称性可知P 点的横坐标为4，

即OG=BG=4．

由3tan 6AM PG ABM BM

BG

∠=

==可得PG=2．

∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分 设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）． ∵ 抛物线过点(4,2)P ，

∴ 4(48)2a -=． 解得 1

8a =-．

∴ 抛物线W 的解析式为21

8

y x x =-+．…………………………………6分

②如图14．

i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的边时，

∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上， 点P 为抛物线W 的顶点，

结合抛物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．

……………………………………………………………………7分 ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的对角线时，

可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-． ∴ 2Q 点的横坐标是方程21

2118x x x -+=-的解．

将该方程整理得28880x x +-=．

解得4x =-±．

由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知2Q 点的横坐标

为4．

∴ 点2Q 的坐标是24,19)Q -． …………………………8分

综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，24,19)Q ．