高中数学：第一章：集合(竞赛精讲)1
第一章 集合
§1.1 集合的概念与运算
1.集合的运算性质
(1)A A A = ,A A A = (幂等律);(2)A B B A =, A B B A =(交换律); (3))()(C B A C B A =, )()(C B A C B A =(结合律);
(4))()()(C A B A C B A =,)()()(C A B A C B A =(分配律); (5)A A B A =)( ,A B A A =)( (吸收律);(6)A A C C U U =)((对合律); (7))()()(B C A C B A C U U U =, )()()(B C A C B A C U U U =(摩根律) (8))\()\()(\C A B A C B A =,)\()\()(\C A B A C B A =.
2. 一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有).()()()(B A card B card A card B A card ?-+=?
我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有)(1321n n A A A A A card ?????- )]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ?+?-++++= )]
()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ??++??+?++?++--- ).()1(311n n A A A card ????-+--
【例1】已知.}.,22|{},,34|{2
2B A x x x y y B x x x y y A ?∈+--==∈+-==求R R 【思路分析】先进一步确定集合A 、B.
【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2
≤++-=x y ∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=?≤=-≥y y B A y y B y y 故 【例2】设集合},|6
1
3{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+
=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是 （ ）
A ．D C
B A ≠
≠
≠
???
B ．φφ=?=?D
C B A ,
C ．
D C C B A ≠
??=,
D ．φ=?=?D C B B A ,
【思路分析】应注意数的特征，即.,6
1
2613,21221Z ∈+=++=+n n n n n 【解法1】∵},|6
1
3{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A
∴D C C B A ≠
??=,.故应选C.
【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令
}.|6
3{},|2{},|{},|2{
Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A ππππππ 结论仍然不变，显然A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x 轴上的角的集 合，C′为终边在y 轴上的角的集合，D′为终边在y 轴上及在直线x y 3
3
±
=上的角的集合，故应选（C ）. 【例3】设有集合B A B A x x B x x x A ??<==-=和求和},2|||{}2][|{2（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.
【思路分析】应首先确定集合A 与B.从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然 ∴}.22|{≤<-=?x x B A 若 },2,1,0,1{][,2][,2--∈+=?∈x x x B A x 则
从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或 于是 }3,1{-=?B A
【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之. 【例4】设},,{22Z y x y x a a M ∈-==，求证：
（1）)(,12Z k M k ∈∈-；（2）)(,24Z k M k ∈∈-；（3）若M q M p ∈∈,，则.M pq ∈
[证明]（1）因为Z k k ∈-1,，且2
2)1(12--=-k k k ，所以.12M k ∈-
（2）假设)(24Z k M k ∈∈-，则存在Z y x ∈,，使2
224y x k -=-，由于y x -和y x +有相同的奇偶性，所以))((2
2y x y x y x +-=-是奇数或4的倍数，不可能等于24-k ，假设不成立，所以.24M k ?-
（3）设Z b a y x b a q y x p ∈-=-=,,,,,2222，则))((2
222b a y x pq --=
22222222a y b x b y a a --+=M ya xb yb xa ∈---=22)()( （因为Z ya xb Z ya xa ∈-∈-,）。
【例5】 设A ，B 是两个集合，又设集合M 满足
B A M B A B A M B M A ===,，求集合M （用A ，B 表示）。
〖分析〗利用子集的定义证明集合相等，先证B A ?，再证A B ?，则A =B 。 【解】先证M B A ?)( ，若)(B A x ∈，因为B A M A =，所以M x M A x ∈∈, ，所以M B A ?)( ； 再证)(B A M ?，若M x ∈，则.B A M B A x =∈1）若A x ∈，则B A M A x =∈；2）若B x ∈，则B A M B x =∈。所以).(B A M ? 综上，.B A M =
【例6】}02{},01{},023{2
22=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x x B x x x A ，若C C A A B A == ,，
求.,m a
〖分析〗分类讨论思想的应用
【解】依题设，}2,1{=A ，再由012
=-+-a ax x 解得1-=a x 或1=x ，
因为A B A = ，所以A B ?，所以A a ∈-1，所以11=-a 或2，所以2=a 或3。
因为C C A = ，所以A C ?，若?=C ，则082
<-=?m ，即2222<<-m ，若?≠C ，则C ∈1或C ∈2，解得.3=m
综上所述，2=a 或3=a ；3=m 或2222<<-m 。
【例7】在集合},,2,1{n 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是 . 〖分析〗已知},,2,1{n 的所有的子集共有n
2个.而对于},,2,1{n i ∈?,显然},,2,1{n 中包含i 的子集与集合
},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这就说明i 在集合},,2,1{n 的所有子集中一共出现12-n 次,即对所有的
i 求和,可得).(2
1
1
∑=-=n
i n n i S
【解】集合},,2,1{n 的所有子集的元素之和为2
)
1(2)21(2
11
+?
=+++--n n n n n =.2)1(1-?+?n n n 〖说明〗本题的关键在于得出},,2,1{n 中包含i 的子集与集合},,1,1,,2,1{n i i +-的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.
【例8】已知集合}034|{},023|{222<+-=<++=a ax x x B x x x A 且B A ?,求参数a 的取值范围. 〖分析〗首先确定集合A 、B,再利用B A ?的关系进行分类讨论. 【解】由已知易求得}0)3)((|{},12|{<--=-<<-=a x a x x B x x A 当0>a 时,}3|{a x a x B <<=,由B A ?知无解; 当0=a 时,φ=B ,显然无解;
当0 21≤≤-a 综上知,参数a 的取值范围是]3 2,1[-. 〖说明〗本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【例9】已知+∈∈R y R x ,,集合}1,2 ,{},1,,1{2 +- -=---++=y y y B x x x x A .若B A =,则22y x +的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.10 【解】0)1(2 ≥+x ,x x x -≥++∴12 ,且012 >++x x 及集合中元素的互异性知 x x x -≠++12,即1-≠x ,此时应有.112-->->++x x x x 而+∈R y ,从而在集合B 中,.2 1y y y ->- >+ 由B A =,得)3()2()1(12112???? ?? ?-=---=-+=++y x y x y x x 由(2)(3)解得2,1==y x ,代入(1)式知2,1==y x 也满足(1)式. .5212222=+=+∴y x 〖说明〗本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等 才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 【例10】已知集合}|,|,0{)},lg(,,{y x B xy y x A ==.若B A =,求++++ )1()1(22y x y x ……+)1 (20082008y x +的值. 〖分析〗从集合A=B 的关系入手,则易于解决. 【解】B A = ,?? ?=??+=++∴0 )lg(||)lg(xy xy x y x xy xy x ,根据元素的互异性,由B 知0,0≠≠y x . B ∈0 且B A =,A ∈∴0,故只有0)lg(=xy ,从而.1=xy 又由A ∈1及B A =,得.1B ∈ 所以?? ?==1||1x xy 或???==1 1 y xy ,其中1==y x 与元素的互异性矛盾!所以,1-=y x 代入得: ++++)1()1(22y x y x ……+)1 (20082008y x +=(2-)+2+(2-)+2+……+(2-)+2=0. 〖说明〗本题是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键. 【例11】已知集合}02|{},023|{2 2≤+-=≤+-=a ax x x S x x x P ,若P S ?,求实数a 的取值组成的集合A. 【解】}21|{≤≤=x x P ,设a ax x x f +-=2)(2 . ①当04)2(2 <--=?a a ,即10< =--=?a a ,即0=a 或1=a 时, 若0=a ,则}0{=S ,不满足P S ?,故舍去; 若1=a 时,则}1{=S ,满足P S ?. ③当04)2(2 >--=?a a 时,满足P S ?等价于方程022=+-a ax x 的根介于1和2之间. 即???????≥-≥-<<> ????≥≥<--<>?0340121100)2(0)1(22)2(10a a a a a f f a 或φ∈?a . 综合①②③得10≤ 〖说明〗先讨论特殊情形(S=φ),再讨论一般情形.解决本题的关键在于对?分类讨论,确定a 的取值范围.本题可以利用数形结合的方法讨论.0>? 【例12】已知集合},,,{4321a a a a A =,},,,{24232221a a a a B =,其中4321a a a a <<<, N a a a a ∈4321,,,.若},{41a a B A = ,1041=+a a .且B A 中的所有元素之和为124,求集合A 、B. 【解】 4321a a a a <<<,且},{41a a B A = ,∴2 11a a =,又N a ∈1,所以.11=a 又1041=+a a ,可得94=a ,并且42 2a a =或.423a a = 若922=a ,即32=a ,则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a (舍) 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 若923=a ,即33=a ,此时应有22=a ,则B A 中的所有元素之和为100≠124.不合题意. 综上可得, }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A 〖说明〗本题的难点在于依据已知条件推断集合A 、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了. 【例13】满足条件||4|)()(|2121x x x g x g -≤-的函数)(x g 形成了一个集合M,其中R x x ∈21,,并且1,2 221≤x x ,求 函数)(23)(2 R x x x x f y ∈-+==与集合M 的关系. 〖分析〗求函数23)(2 -+=x x x f 集合M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性. 【解】|3||||)23()23(||)()(|212122 212 121++?-=++-++=-x x x x x x x x x f x f 取65,6421== x x 时, .||4||2 9 |)()(|212121x x x x x f x f ->-=- 由此可见,.)(M x f ? 〖说明〗本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(x f 是否属于M,只要找至一个或几个特殊的i x 使得)(i x f 不符合M 中的条件即可证明.)(M x f ? 【例14】对集合}2008,,2,1{ 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如}9,6,4,2,1{的“交替和”是612469=+-+-,集合}10,7{的“交替和”是10－7=3,集合}5{的“交替和”是5等等.试求A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合},,2,1{n 求出所有的“交替和”. 〖分析〗集合A 的非空子集共有12 2008 -个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替 和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:{1} 1;{2} 2 ;{3} 3;{4} 4;{1,2} 2-1; {1,3} 3-1; {1,4} 4-1;{2,3} 3-2;{2,4} 4-2;{3,4} 4-3;{1,2,3} 3-2+1;{1,2,4} 4-2+1; {1,3,4} 4-3=1;{2,3,4} 4-3+2;{1,2,3,4} 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设i A 是{1,2,3,4}中一个不含有的子集,令i A 与i A }4{相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为4,由于这样的对应应有7对,再加上{4}的“交替和”为4,即{1,2,3.4}的所有子集的“交替和”为32. 【解】集合}2008,,2,1{ 的子集中,除了集合}2008{,还有22 2008 -个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的 子集,第二类是不含2008的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果i A 是第二类的,则必有}2008{ i A 是第一类的集合;如果j B 是第一类中的集合,则j B 中除2008外,还应用1,2,……,2007中的数做其元素,即j B 中去掉2008后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为 .2008220082008)22(2 120072008 ?=+?- 同样可以分析},,2,1{n ,因为n 个元素集合的子集总数为n 2个(含φ,定义其“交替和”为0),其中包括最大元素n 的子集有1 2 -n 个,不包括n 的子集的个数也是1 2 -n 个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n ),设不 含n 的子集“交替和”为S,则对应的含n 子集的“交替和”为S n -,两者相加和为n .故所有子集的“交替和”为.21 n n ?- 〖说明〗本题中＂退到最简＂,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化. 【例15】设n N ∈且n ≥15，B A ,都是{1，2，3，…，n }的真子集，A B φ= ，且A B ={1，2，3，…，n }.证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数. 【证明】由题设，{1，2，3，…，n }的任何元素必属于且只属于它的真子集B A ,之一. 假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n }的真子集B A ,，使得无论是A 还是B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数. 不妨设1∈A ，则3?A ，否则1+3=2 2，与假设矛盾，所以3∈B .同样6?B ，所以6∈A ，这时10?A ，， 即10∈B .因n ≥15，而15或者在A 中，或者在B 中，但当15∈A 时，因1∈A ，1+15=2 4，矛盾；当15∈B 时，因10∈B ，于是有10+15=2 5，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立. 【强化训练】一、基础训练题 1．给定三元集合},,1{2 x x x -，则实数x 的取值范围是___________。 2．若集合},,012{2 R x R a x ax x A ∈∈=++=中只有一个元素，则a =___________。 3．集合}3,2,1{=B 的非空真子集有___________个。 4．已知集合}01{},023{2 =+==+-=ax x N x x x M ，若M N ?，则由满足条件的实数a 组成的集合 P =___________。 5．已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ?，则常数a 的取值范围是___________。 6．若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{?S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有___________个。 7．集合}14{}12{Z k k Y Z n n X ∈±=∈+=与之间的关系是___________。 8．若集合}1,,{-=xy xy x A ，其中Z x ∈，Z y ∈且0≠y ，若A ∈0，则A 中元素之和是___________。 9．集合}01{},06{2 =-==-+=mx x M x x x P ，且P M ?，则满足条件的m 值构成的集合为___________。 10．集合},9{},,12{2 R x x y y B R x x y x A ∈+-==∈+==+，则=B A ___________。 11．已知S 是由实数构成的集合，且满足1）2;1S ?）若S a ∈，则S a ∈-11 。如果?≠S ，S 中至少含有多少个元素？说明理由。 12．已知B A C a x y y x B x a y y x A =+====},),{(},),{(，又C 为单元素集合，求实数a 的取值范围。 二、高考水平训练题 1．已知集合},,0{},,,{y x B y x xy x A =+=，且A =B ，则=x ___________，=y ___________。 2．},9,1{)()(},2{,,},9,8,7,6,5,4,3,2,1{11==??=B C A C B A I B I A I }8,6,4{)(1=B A C ，则=)(1B C A ___________。 3．已知集合}121{},0310{2 -≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当?=B A 时，实数m 的取值范围是______。 4．若实数a 为常数，且=?? ????????=+-=∈a x ax x A a 则,1112 ___________。 5．集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，则=m ___________。 6．集合},27{},,35{++∈+==∈+==N y y b b B N x x a a A ，则B A 中的最小元素是___________。 7．集合}0,,{},,,{2222y x y x B xy y x y x A -+=+-=，且A =B ，则=+y x ___________。 8．已知集合}04{},021 {<+=<-+=px x B x x x A ，且A B ?，则p 的取值范围是___________。 9. 已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 10. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、a b ∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ?M ,则数集M 必为数域;④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、联赛一试水平训练题 1．b a ,为实数,集合M=x x f a P a b →=:},0,{},1,{表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ,则b a +的值等于 2．已知集合A B B x mx x m z z B x x A ??≠>+-= =<=且,},2,1 1 {},0{2，则实数m 的取值范围是_______。 3．集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ?+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________。 4．已知集合}2,,{},,,{2 d a d a a Q aq aq a P ++==，其中0≠a ，且R a ∈，若P =Q ，则实数=q ___________。 5．已知集合}1),{(},0,),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+=，若B A 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则=a ___________。 6.集合},,,4812{Z n l m l n m u u M ∈++==，集合},,,121620{Z r q p r q p u u N ∈++==，则集合M 与N 的 关系是___________。 7．集合A,B 的并集A ∪B={a 1,a 2,a 3}，当且仅当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有 _______对。 8. 设集合()12log 32A x x ???? =-≥-?????? ，21a B x x a ??=>??-??．若A B ≠? ，求实数a 的取值范围． 9. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－ 1?P ；④若x ，y ∈P ,则x ＋y ∈P 试判断实数0和2与集合P 的关系. 10. 321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈- （1）证明：三个集合中至少有两个相等. （2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？ 【点拨】 1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要. 2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用. 3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提. 4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一. 高三数学复习卷（集合部分） 1.已知全集{}{} =?≤≤-=≤≤-==）（）求（B A x x B x x A R U C C U U ,33,42,（ D ） A {}32≤≤-x x B {} 42??-x x x 或 C {}43≤≤-x x D {} 43??-x x x 或 2.已知集合{}{}是则集合1,3,013≥-≤=? ?? ?? ??-+=x x x x N x x M （ D ） Ａ.N M ? Ｂ. N M ? Ｃ. ()N M C R Ｄ. ()N M C R ? 3.设集合A ，B 都是{}{}{}==?=?=A B A B A U C C C U U U ，则），（）（）的子集，已知（，，，124321（ A ） A {}43， B {}2,1 C {}4,3,2 D {}431，， 4.设集合{} {} 034,42 ?+-=?=x x x B x x A ，则集合{} =??∈=B A x A x x A 且( B ) A ](1,∞- B []3,1 C [)∞+，3 D []4,4- 5.集合{}{} A B m x m x B x x A ?-≤≤+=≤≤-=若,121,52，求实数m 的取值范围( C ) A {}3?m m B {}30≤≤m m C {}3≤m m D {} 30??m m 6.已知非空集合 {}{}的集合）成立的（则能使a B A A x x B a x a x A ??≤≤=-≤≤+=,223,5312 ( B )A {}96?≤a a B {}96≤≤a a C {}96??a a D {} 96≤?a a 7.已知集合{}02?-=x x M ，集合{} N ax x N 若,1==的取值范围，求实数a M ______??? ? ???≤210a a ______ 8.集合{}{} {}==?==m m M P m M m P 则,,3,2,1,3,,,3,2,12____0,2,2,1--______ 9.已知集合A={2, 4, 6, 8, 9}, B={1, 2, 3, 5, 8}，集合C 满足下列条件： (1) 若集合C 中各元素都加2，则C 变为A 的一个子集； (2) 若集合C 中各元素都减2，则C 变为B 的一个子集； 求集合C 10.(1)2 {|230,}A x x x x R =+-=∈，2 {|2150,}B x x x x R =-++=∈，求A B ; (2)2 {|23,}A x y x x x R ==+-∈，2 {|215,}B x y x x x R ==-++∈，求A B ; (3)2 {|23,}A x y x x x N ==+-∈，2 {|215,}B x y x x x N ==-++∈，求A B ; (4)2 {(,)|23,}A x y y x x x R ==+-∈，2 {(,)|215,}B x y y x x x R ==-++∈，求A B ; 11.已知集合2{|(3)40}M x x k x k =---=，{|0,}N x x x R =>∈，且M N =? ,求实数k 的取值范围 12.设集合{(,)}|1}A x y ax y =+=，{(,)|1}B x y x ay =+=， 22{(,)|1}C x y x y =+=，求： （1） 当a 取何值时，()A B C 为含有2个元素的集合； （2） 当a 取何值时，()A B C 为含有3个元素的集合； 13.设,x y R ∈，集合{}23,A x xy y =++，{} 2 1,3B x xy x =++-，且A=B ，求实数x ，y 的值 解得 32x y ==- 或 1 6 x y =-=- 14.以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{} 2 |20,x x x Z -=∈是空集中， 错误的个数是 2个 15.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 7个 竞赛试题选编之集合 一．选择题 （2001年全国高中数学联赛）已知a 为给定的实数，那么集合M ={x |x 2-3x -a 2+2=0,x ∈R }的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是C （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集 设集合A=｛a+b a ∈R,b ∈R ｝+则（ ） （A ）a ?A （B ）a ?A （C ）a A （D ）a ∈A 已知集合A ＝｛x ︱22x p q ,p,q Z =+∈｝ m A,n A ∈∈，则（ ） （A ）mn A ? （B ）mn A ?（C ）mn A ∈ （D ）mn A 若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为C （A ）空集? （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集 十个元素组成的集合{19,93,1,0,25,78,94,1,17,2}M =----．M 的所有非空子集记为(1,2,,1023)i M i = ，每 一非空子集中所有元素的乘积记为(1,2,,1023)i m i = .则 1023 1 i i m ==∑（C ） ． （A ）0 （B ）1 (C) -1 (D)以上都不对 数集M ＝{s|s ＝x 2＋bx ＋c ，x ∈R}与N ＝{t|t ＝y 2－by ＋c ，y ∈R}的关系为 A.M ∩N B.M ＝N C.M ∪N D.不能确定 集合S={1,2,…,18}的五元子集S 1 ={a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5}中任何两元素之差不为1,这样子集S 1的个数为( ). A. 417C B. 415C C. 513C D. 5 14C 二．填空题 已知集合N ＝{x|a ＋1≤x ＜2a －1}是集合N ＝{x|－2≤x≤5}的子集，则a 的值域为________ 对于S n ＝{1，2，3，…，n}的每一个非空子集A ，我们将A 中的每一个元素k(1≤k≤n)都乘以(－1)k ，然后求和，则所有这些和的总和为__________ 集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．7n ． 已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．5，8； 三．解答题 1.我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果 （1）A A A A n = 21； （2）?≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ． 求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b 满足b ＜a ≤8 9 b ．(m =117)． 2.设S n ＝{1，2，……，n}(n≥5)，取X ?S n ，Y ?S n (X ，Y 无顺序)，若X ?Y 或Y ?X ，则称X ，Y 为一对“包含子 集对”，否则称为“非包含子集对”，问S n 中是“包含子集对”多还是“非包含子集对”多？证明你的结论。 3.设集合{}Z x x x M ∈≤≤=,91，{}M d c b a d c b a F ∈=,,,),,,(.定义F 到Z 的映射f ： cd ab d c b a f -?→?),,,(.若y x v u ,,,都是M 中的元素，且满足39),,,(?→?f y x v u ，66),,,(?→?f v x y u ， 求y x v u +++的值. 4.（1986年北京市高中数学竞赛题） 设集合A={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5},B={a 12,a 22,a 32,a 42,a 52},其中a i 均为正整数，且a 1 思考1: 设A ＝{a |a ＝22 x y -,,x y Z ∈}， 求证：⑴21k -∈A (k Z ∈)； ⑵42 ()k A k Z -?∈. 解：⑴∵k ,1k -∈Z 且21k -＝22(1)k k --, ∴21k -∈A ； ⑵假设42 ()k A k Z -∈∈,则存在,x y Z ∈,使42k -＝22x y - 即()()2(21)x y x y k -+=- (*) 由于x y -与x y +具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立.由此，42()k A k Z -?∈. 思考2.(教程166P )设A={n |100≤n ≤600,n ∈N }，则集合A 中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______________. 解：被7除余2的数可写为7k +2. 由100≤7k +2≤600.知14≤k ≤85. 又若某个k 使7k +2能被57整除， 则可设7k +2=57n . 即5725622 7778n n n n k n -+--===+. 即n -2应为7的倍数. 设n =7m +2代入，得k =57m +16. ∴14≤57m +16≤85. ∴m =0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=70 思考3:集合A={(x,y )220x mx y +-+=}, 集合B ={(x,y )10x y -+= ,且2x 0≤≤}， 又A B φ≠ ，求实数m 的取值范围. 答案：M 小于等于-1 {(,),} I x y x y R =∈3{(,)1}2y M x y x -==-{(,)1} N x y y x =≠+C M C N {(,) 1} x y y x =+P 2{430,}A x x x x R =-+<∈12{20,2(7)50,} x B x a x a x x R -=+-+ +∈且≤≤若A B ?,则实数a 的取值范围是 . 3.( 教程9P )已知集合M={(,)x y y = , N={}(,)(1)x y y k x =+,当M N =? 时,k 的取值范围是_____. 0,? ?? ? 1.已知集合A={ } 2 430, ,11x x x x x B x x x ??-+≤==??--?? {} 2 0C x ax x b =-+>， 且(),()A B C A B C R =?= ，求, a b 的值。 【答案】b=09a-3=0?? ? 2.（本小题满分13分）若集合 具有以下性质：①0,1;A A ∈∈②若,x y A ∈，则x y A -∈，且 时，1 A x ∈. 则称集合是“好集”. （Ⅰ）分别判断集合{}1,0,1B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合 是“好集”，求证：若,x y A ∈，则x y A +∈； （Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题p ：若,x y A ∈，则必有x y A ?∈； 命题q ：若,x y A ∈，且，则必有 y A x ∈； 【答案】（Ⅰ）有理数集是“好集”. （Ⅱ） . （Ⅲ）命题 均为真命题.. 3.已知集合(){} M=ln 2x y x x R =-∈，{} N=14,x x x a x R ---<∈ 若M N φ≠ ,则实的数a 取值范围是____________ ． 【答案】()1,-+∞ 4．已知集合A={1，2}，B={x|x 2-2ax+b=0}，若B≠?，且A ∪B=A ，求ab=___ 【答案】3 5．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1?A 且k ＋1?A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个． 【答案】6 6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________． 【答案】12 7．定义集合M 、N 的新运算如下：Mx N ＝{x |x ∈M 或x ∈N ，但x ?M ∩N }，若集合M ＝{0,2,4,6,8,10}，N ＝{0,3,6,9,12,15}，则(Mx N )xM 等于________． 【答案】N 8．已知有限集},,,,{321n a a a a A =)2(≥n ．如果A 中元素),3,2,1(n i a i =满足n n a a a a a a ++=2121，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合}2 5 1,251{ +---是“复活集”； ②若R a a ∈21,，且},{21a a 是“复活集”，则421>a a ； ③若+∈N a a 21,，则},{21a a 不可能是“复活集”； ④若+∈N a i ，则“复合集”A 有且只有一个，且3=n ． 其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）． 【答案】①③④ 9.若x ∈A ，则 1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝11,0,,2,32?? -???? 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________． 【答案】3 10．现有含三个元素的集合，既可以表示为,,1a a b ?? ???? ，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 013＋b 2 013＝________． 【答案】－1 11．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足 1 1 2 a b c += ，则称a 、 b 、c 是调和的；若满a + c = 2b 足，则称a 、 b 、 c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”.若集合 {}2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =?.则 （1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 12．如果关于x 的不等式34 x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是 ． 【答案】17a -<< 13．若任意,x A ∈则 1,A x ∈就称A 是“和谐”集合.则在集合11 {1,0,,,1,2,3,4}32 M =- 的所有非空子集中,“和谐”集合的概率是 ． 【答案】 1 17 14．将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，其中 12{,,,}n A a a a = ，12{,,,}n B b b b = ，12{,,,}n C c c c = ，若A 、B 、C 中的元素满足条件：12n c c c <<< ， k k k a b c +=，k =1,2，…，n ，则称M 为“完并集合”. （1）若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可） （2）对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 . 【答案】（1）7、9、11中任一个；（2）{6,10,11,12}. 15．已知?A {}4,3,2,1，且A 中至少有一个偶数，则这样的A 有 个． 【答案】12 16．已知集合A={x,x y ,1},B={x 2,x+y,0},若A=B,则x 2009+y 2100=______, 【答案】-1 17．已知集合{} 1,2,43,12322 ≥+=? ?? ? ????????∈+- ==m x x B x x x y y A 若B A ?， 则实数m 的取值范围是 . 【答案】34 m ≥ 或3 4m ≤- 19．规定记号“*”表示一种运算，即a*b=b a b a ab ,,++是正实数，若1*k=3,则正实数k 的值为 . 【答案】1 20．1已知函数))((b x a x f y ≤≤=，则集合 }2|),{(}),(|),{(=?≤≤=x y x b x a x f y y x 的子集有 个。 【答案】1或2 21.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则 11a A a +∈-。 （1）若2a =，求出A 中其它所有元素； （2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？ （3）根据（1）（2），你能得出什么结论。 【答案】（1）A 中元素为112,3,,23-- （2）113,2,,32A ? ?=--??? ?（3）A 中的元素为4的倍数 22.设集合S n ={1，2，3，，n ），若X 是S n 的子集，把X 中所有元素的和称为X 的“容量”（规定空集的容量为0）， 若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S n 的奇（偶）子集． （I ）写出S 4的所有奇子集； （Ⅱ）求证：S n 的奇子集与偶子集个数相等； （Ⅲ）求证：当n≥3时，S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 【答案】 集合练习题一 1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．—1 C ．1或—1 D ．1或—1或0 2．设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 3．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、 ()u M P C S D 、 ()u M P C S 4．设{}022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ，则=B A （ ） （A ）??????-4,31,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 5．函数y = 的定义域为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],1-∞ C 、11,,222????-∞ ? ????? D 、11,,222? ???-∞ ? ?? ??? 6. 设{} {} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a=__________。 7．已知集合A =｛1，2｝，B =｛x x A ?｝，则集合B= . 8．已知集合{} { }A x y y x B x y y x ==-==()|()|，，，322 那么集合A B = 9．50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做的正确得有40人，化学实验做的正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人. 10．已知集合{} {} A a a d a d B a aq aq =++=，，，，，22，其中a ，d ，q R ∈，若A=B ，求q 的值。 11．已知全集U={ } 2 2,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ,b 值 12．若集合S={} 2 3,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S∩T={}1，P=S ∪T,求集合P 的所有子集 13．已知集合A={ } 37x x ≤≤，B={x|2 (1) 求A ∪B ，(C R A)∩B ；(2) 如果A∩C≠φ，求a 的取值范围。 14．已知方程02=++q px x 的两个不相等实根为βα,。集合},{βα=A ， =B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A∩C ＝A ，A∩B ＝φ，求q p ,的值？ 集合练习二 1．下列集合的表示法正确的是（ ） A ．实数集可表示为R ； B ．第二、四象限内的点集可表示为{} (,)0,,x y xy x R y R ≤∈∈； C ．集合{}1,2,2,5,7； D ．不等式14x -<的解集为{}5x < 2．对于{,(3)0,(4)0,x x Q N ≤∈??其中正确的个数是（ ） A ． 4 B. 3 C. 2 D. 1 3.集合{},,a b c 的子集共有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 Ｄ．8个 4．设集合{}{}1,2,3,4,|2P Q x x ==≤，则P Q = （ ） A ．{}1,2 B ．{}3,4 C ．{}1 D ．{}2,1,0,1,2-- 5．下列五个写法：①{}{}00,1,2;∈②{}0;??③{}{}0,1,21,2,0;?④0;∈?⑤0??.=?其中错误．．写法的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知全集{}{}|09,|1U x x A x x a =<<=<<，若非空集合A U ?，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}|9a a < B ．{}|9a a ≤ C ．{}|19a a << D ．{}|19a a <≤ 7．已知全集{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5U A ==，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8C =是（ ） A ．A B B ．A B C ．()()U U C A C B D ．()()U U C A C B 8．设集合(]{} 2 ,,|1,M m P y y x x R =-∞==-∈，若M P =? ，则实数m 的取值范围是( ) A ．1m ≥- B ．1m >- C ．1m ≤- D ．1m <- 9．定义Ａ－Ｂ＝{} ,,x x A x B ∈?且若Ａ＝{}1,2,4,6,8,10,Ｂ＝{}1,4,8，则Ａ－Ｂ＝ （ ） 1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 第3题图 2011-2012学年度第一学期佛冈中学高一级 高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷 时间:120分钟。总分：150分。 命题者：XJL 班别: 姓名: 座号： 一、选择题（将选择题的答案填入下面的表格。本大题共10小题，每小题5分，共50分。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1、下列各组对象中不能构成集合的是（ ） A 、佛冈中学高一（20）班的全体男生 B 、佛冈中学全校学生家长的全体 C 、李明的所有家人 D 、王明的所有好朋友 2、已知集合{}{} 5,1,A x R x B x R x =∈≤=∈>那么A B 等于 （ ） Ａ．｛１，２，３，４，５｝ Ｂ．｛２，３，４，５｝ Ｃ．｛２，３，４｝ Ｄ．{} 15x R x ∈<≤ 3、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =， 则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,8 4、下列四组函数中表示同一函数的是（ ） A.x x f =)(，2())g x x = B.()2 2 1)(,)(+==x x g x x f C.2()f x x = ()g x x = D.()0f x =，()11g x x x =-- 5、函数2 () 21f x x ，(0,3)x 。() 7,f a 若则a 的值是 （ ） A 、1 B 、1- C 、2 D 、2± 6、2, 0()[(1)]1 0x x f x f f x （）设,则 ，（ ）+≥?=-=? 高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-). 高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习（含解 析）新人教A 版必修1 知识点一 集合的概念 1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C 解析 对A ，“著名”无明确标准；对B ，“快”的标准不确定；对D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．由实数－a ，a ，|a |，a 2 所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2 ＝|a |＝ ? ?? ?? a a >0，－a a ＜0，所以组成集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系式：2∈R,0.3∈Q,0?N,0∈N * ，2∈N *，－π?Z .其中正确的有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 答案 A 解析 正确的有2∈R,0.3∈Q ，－π?Z . 4．已知集合A 中元素满足2x ＋a ＞0，a ∈R ，若1?A ，2∈A ，则( ) A ．a ＞－4 B ．a ≤－2 C ．－4＜a ＜－2 D ．－4＜a ≤－2 答案 D 解析 ∵1?A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2. 又∵2∈A ，∴2×2＋a ＞0，a ＞－4， ∴－4＜a ≤－2. 知识点三 集合中元素特性的应用 2 ＝B ，求实数c 的值． 解 分两种情况进行讨论． ①若a ＋b ＝ac ，a ＋2b ＝ac 2 ，消去b ，得a ＋ac 2 －2ac ＝0. 当a ＝0时，集合B 中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a ≠0.所以c 2 －2c ＋1＝0，即c ＝1，但c ＝1时，B 中的三个元素相同，不符合题意． ②若a ＋b ＝ac 2 ，a ＋2b ＝ac ，消去b ，得2ac 2 －ac －a ＝0. 由①知a ≠0，所以2c 2 －c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 解得c ＝－12或c ＝1(舍去)，当c ＝－1 2时， 经验证，符合题意． 综上所述，c ＝－1 2 . 易错点 忽视集合中元素的互异性致误 易错分析 本题产生错误的原因是没有注意到字母a 的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解 x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －a )(x －1)＝0，所以方程的解为x 1＝1，x 2＝a . 若a ＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a ≠1，则方程的解集中含有两个元素1， a . 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 高一数学必修1第一章：集合概念 集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集) 记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AÍB, BÍC ,那么AÍC ④如果AÍB 同时BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。 定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f 定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。 定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。 定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos 课 题：1.1集合 教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初 步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国 数学家）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子。 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的，我们说， 每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集 合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集合记作N *或N +，如{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合，记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{} 数数轴上所有点所对应的 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 集合练习题 一、选择题（每小题5分，计5×12=60分） 1．下列集合中，结果是空集的为（） （A）（B） （C）（D） 2．设集合，，则（） （A）（B） （C）（D） 3．下列表示①②③④中,正确的个数为( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4．满足的集合的个数为（） （A）6 （B） 7 （C） 8 （D）9 5．若集合、、，满足，，则与之间的关系为（） （A）（B）（C）（D） 6．下列集合中，表示方程组的解集的是（） （A）（B）（C）（D） 7．设，，若，则实数的取值范围是（） （A）（B）（C）（D） 8．已知全集合，，，那么 是（） （A）（B）（C）（D） 9．已知集合，则等于（） （A）（B） （C）（D） 10．已知集合，，那么（） （A）（B）（C）（D） 11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（） （A）（B） （C）（D） 12．设全集，若，， ，则下列结论正确的是（） （A）且（B）且 （C）且（D）且 二、填空题（每小题4分，计4×4=16分） 13．已知集合，，则集合 14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15．设全集，，，则的值为 16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分） 17．（本小题满分12分）若，求实数的值。 18．（本小题满分12分）设全集合，， ，求，，， 19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求， 20．（本小题满分12分）已知集合 ， ，且 ，求实数 的取值范围。 21．（本小题满分12分）已知集合 ， ， ，求实数的取值范围 22．（本小题满分14分）已知集合 ， ，若 ，求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ?， 求实数a 的取值范围． 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A ，求 实数a 的值． 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不 新课标人教A 版集合单元测试题 （时间80分钟，满分100分） 一、选择题：（每小题4分，共计40分） 1、如果集合{ }8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B I 等于（ ） (A){}5 (B) {}8,7,6,5,4,3,1 (C) {}8,2(D) {}7,3,1 2、如果U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为 （ ） （A ）（M ∩P ）∩S ； （B ）（M ∩P ）∪S ； （C ）（M ∩P ）∩（C U S ） （D ）（M ∩P ）∪（C U S ） 3、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N I 为（ ） A 、3,1x y ==- B 、(3,1)- C 、{3,1}- D 、{(3,1)}- 4.2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B ?=,则a 的值是 ( ) A. 3a = B. 3a =- C. 3a =± D. 53a a ==±或 5.若集合2{440,}A x kx x x R =++=∈中只有一个元素,则实数k 的值为 ( ) A.0 B. 1 C. 0或1 D. 1k < 6. 集合2{4,,}A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为 ( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 符号{}a ?≠{,,}P a b c ?的集合P 的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是 ( ) A. M=P B. P R ∈ C . M ?≠P D. M ?≠P 9. 设U 为全集,集合A 、B 、C 满足条件A B A C ?=?，那么下列各式中一定成立的是（ ） 高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一) 高中数学竞赛讲义（一） ──集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2， 3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。 定义3 交集， 定义4 并集， 定义5 补集，若称为A在I中的补集。 定义6 差集，。 定义7 集合记作开区间，集合 记作闭区间，R记作 定理1 集合的性质：对任意集合A，B，C，有： （1）（2）； （3）（4） 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若，则，且或，所以或，即；反之，，则或，即且或，即且，即 （3）若，则或，所以或，所以，又，所以 ，即，反之也有 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不同的方法，…，第步 有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设，求证： （1）； （2）； （3）若，则 [证明]（1）因为，且，所以 （2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以 （3）设，则 （因为）。 2．利用子集的定义证明集合相等，先证，再证，则。 例2 设A，B是两个集合，又设集合M满足 ，求集合M（用A，B表示）。 【解】先证，若，因为，所以，所以； 再证，若，则1）若，则；2）若，则。所以 综上， 第一章集合与函数 1．1.1集合的含义与表示 第一课时集合的含义 一、元素与集合的概念 1、元素的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写的拉丁字母或数学表示。 2、集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示。 3、准确认识集合的含义 (1)：集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与 我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)：集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到 的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集 合中的元素. 二、元素与集合的关系及常用数集的记法 1．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A. (2)如果a不是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A 2、常用的数集及其记法 （1）自然数集：N（2）正整数集：N*或N（3）整数集：Z（4）有理数集：Q （5）实数集：R 3、对∈和?的理解 (1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 题型一、集合的基本概念 [例1](1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到 点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集 合的组数是(B) A．2B．3 C．4 D．5 [解析](1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合． [活学活用] 下列说法正确的是(D) A．小明身高 1.78 m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线高中数学竞赛讲义_复数
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