数值计算方法第四章

58 第四章 函数插值

插值是对函数进行近似的基本方法，本章介绍了代数插值时常用的Lagrange 插值法、Newton 插值法、Hermite 插值法和三次样条插值法，并相应的介绍了差商，差分和插值余项等概念．

§4.1 引 言

在科学与工程计算中，常会遇到如下问题：已知)(x f y =在区间[,]a b 上的一系列点{}n

i i x 0=处的函数值{}n

i i y 0=，需要利用这些数据来求某点)(i x x x ≠处的函数值

的近似值．若能利用这组数据建立一个近似)(x f 的函数)(x φ，)(x f 的值就可以用

)(x φ近似求出．

已知函数)(x f 在区间],[b a 上1+n 个互异节点{}n

i i x 0=处的函数值{}n

i i y 0=．若函

数集合Φ中函数()x φ满足条件

()() (0,1,2,,)i i x f x i n φ==

(4.1)

则称)(x φ为)(x f 在Φ中关于节点{}n

i i x 0=的一个插值函数，并称)(x f 为被插值函数，],[b a 为插值区间，{}n

i i x 0=为插值节点．式(4.1)被称为插值条件．

函数集合Φ可以有不同的选择，最常用的是形式简单的多项式函数集合．将多项式作为插值函数进行插值的方法称为代数插值．针对区间],[b a 上1+n 个互异节点，代数插值就是要确定一个不超过n 次的多项式

n n x a x a a x +++= 10)(φ (4.2)

使其满足插值条件(4.1)，即选取参数{}0n

i i a =，满足线性方程组

000

1111111n

n n n n n

n a y x x a y x x a y x x ???????

???????????

=??????

????????????

?? (4.3)

59

记方程组(4.3)的系数矩阵为A ．由于插值节点互异，故

0)()det(1)

(0≠∏-=

->=n j i j j i x x A ．

线性方程组(4.3)存在惟一的一组解T ),,,(10n a a a ．若0≠n a ，)(x φ是一个n 次多项式，否则)(x φ的次数低于n ．于是有下面的结论．

定理4.1 满足插值条件(4.1)的不超过n 次的多项式存在并且惟一．

)(x φ与)(x f 在插值节点{}n i i x 0=处函数值相同，但它们在其它x 处的函数值并

不一定相同．将

()()()n R x f x x φ=- (4.4)

称为用插值多项式)(x φ近似)(x f 的插值余项．

定理4.2 )(x φ是对)(x f 关于节点{}n

i i x 0=的n 次插值多项式，若)()1(x f n +在区间],[b a 内存在，则对[,]x a b ?∈，有插值余项

(1)1()

()()()()(1)!

n n n f R x f x x x n ξφω++=-=+ (4.5)

其中),()(b a x ∈=ξξ，101()()()

()n n x x x x x x x ω+=---．

证明 由于)(x φ与)(x f 在插值节点上函数值相同，故 ()()()0 (0,1,n i i i R x f x x i n

φ=-=

= 因此插值余项可设为

)

()()(1x x k x R n n +=ω

(4.6)

将x 视为区间],[b a 上异于{}n

i i x 0=的任一固定点，作辅助函数

)()()()()(1t x k t t f t g n +--=ω?

易于验证01,,

,n x x x 和x 为)(t g 在区间],[b a 上的2+n 个零点．

由Rolle 中值定理知，函数)(t g '在区间),(b a 上至少有1+n 个互异零点，这1+n 个零点形成n 个子区间，在这些子区间上对)(t g '再次使用Rolle 定理，可知函数

)(t g ''在),(b a 上至少有n 个互异零点．依次类推，函数)()1(t g n +在),(b a 上至少有1

个零点，即存在ξ，使得

0)()!1()()()1()1(=+-=++x k n f g n n ξξ

从而得到

)!

1()

()()1(+=

+n f x k n ξ

60 将上式代入式(4.6)就得到插值余项(4.5)，定理得证．

虽然通过1+n 个点{}n

i i i y x 0),(=的不超过n 次的多项式惟一，但可以选用不同的基来表示这个多项式．在本章，将选取两组不同的基函数表示该插值多项式，即Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式．

§4.2 Lagrange 插值

在构造n 次插值多项式时，式(4.2)简单地选取了n x x x ,,,12作为n 次多项式空间的一组基函数．为确定待定系数n a a a ,,,10 ，需要求解线性方程组(4.3)．能否选择另外一组基函数来避免求解线性方程组？下面从线性插值来着手分析．

线性插值就是构造一条直线使其通过两点),(00y x 和),(11y x ．此直线的两点式方程为

)(00

10

10x x x x y y y y ---=

-

将其等价变形为

10

100101

y x x x x y x x x x y --+--=

(4.7)

式(4.7)满足插值条件，并且右端是关于x 的一次多项式，故式(4.7)就是所求的插值多项式．将其记为)(1x L ，并引入记号

,)(101

0x x x x x l --=

101)(x x x x x l --=

式(4.7)就可以写成

11001)()()(y x l y x l x L += (4.8) 容易验证)()(10x l x l 和线性无关，它们被称为线性插值的Lagrange 插值基函数．

观察两个基函数，发现它们具有如下性质

???==0

)(1)(1000x l x l 1011()0()1l x l x =??

=? 对于三点),(00y x 、),(11y x 及),(22y x 的插值可以类似地写出一个二次多项式

61

2211002)()()()(y x l y x l y x l x L ++=

为了满足插值条件，上式中基函数)()(10x l x l 、、)(2x l 需分别满足下面的关系式

?????===0)(0

)(1

)(201

000x l x l x l ?????===0)(1

)(0

)(211

101x l x l x l ?????===1

)(0

)(0

)(221

202x l x l x l 将以上思路推广到1+n 个节点的情形，将经过1+n 个点{}n

i i i y x 0),(=的n 次插值多项式表示为

∑==++++=n

i i i n n n y x l y x l y x l y x l y x l x L 0221100)()()()()()( (4.9)

)(x L n 被称为关于节点{}n

i i x 0=的Lagrange 插值多项式，式中() (0,1,

,)i l x i n =被称为基于节点{}n

i i x 0=的Lagrange 插值基函数．当每个基函数() (0,1,

,)i l x i n =分

别满足条件

??

?≠≤≤==i

j n j i

j x l j i ,0,

0,

1)( (4.10)

时，可以验证)(x L n 满足插值条件．

对于某一个特定的{}n i ,2,1,0∈， )(x l i 为不超过n 次的多项式．根据式(4.10)，)(x l i 在除节点i x 外的其余n 个节点处函数值为零, 故)(x l i 可表示为

)())(())(()(1110n i i i i x x x x x x x x x x k x l -----=+-

由1)(=i i x l 解出

)

())(())((1

1110n i i i i i i i i x x x x x x x x x x k -----=

+-

这样就得到插值基函数)(x l i 的具体表达式

)

())(())(()

())(())(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+- (4.11)

式(4.11)也可写为

)()()

()(11i n

i n i x x x x x l ++'-=

ωω

62 依据公式(4.11)，前面提到的三点插值的Lagrange 插值基函数为

))(()

)(()(2010210x x x x x x x x x l ----=

))(()

)(()(2101201x x x x x x x x x l ----=

)

)(()

)(()(1202102x x x x x x x x x l ----=

例4.1 对于x y =，已知14)196(,13)169(,12)144(===f f f ，用Lagrange 线性和二次插值多项式求165的近似值，并给出插值误差估计． 解 记196169144210===x x x ，，；141312210===y y y ，，．

由于165=x 处在0x 和1x 之间，以它们为插值节点的Lagrange 线性插值多项式为

01

1010110

() x x x x L x y y x x x x --=

+-- 代入已知数据得

25

144

132516912)(1-?+--?

=x x x L 所以

4.1225

144

165132516916512)165()165(1=-?+--?

=≈L f 以210,,x x x 为插值节点的二次Lagrange 插值多项式为

0201122012010210122021()()()()()()

()()()()()()()

x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------

代入已知数据得

2(169)(196)(144)(196)(144)(169)

()12131413006751404

x x x x x x L x ------=?+?+?-

所以

8448.12)165()165(2≈≈L f

由于x

x f 21

)(='，2341)(--=''x x f ，25

83)(-

='''x x f ．故由式(4.5)可知，在165=x 处

线性插值多项式的余项

63

11

(165)()(165144)(165169)max ()4812!2144169

1

2

(144)48 4.1667102

R f f x x f ξ''''=--≤?≤≤-''=?=?

同理在165=x 处二次插值多项式的余项

24

1441961

(165)()(165144)(165169)(165196)

3!

11max ()1488(144)1488 6.54061066

x R f f x f ξ-≤≤=---''''''≤?=?=? §4.3 Newton 插值

当插值节点逐个增加时，考察插值多项式之间的联系．

只有一个节点0x 时，插值多项式为0y y =．当增加一个节点1x 时，由点),(00y x 和),(11y x 确定的线性多项式为

10

10001010

()()()y y p x y x x y c x x x x -=+

-=+-- (4.12) 进一步考察三个节点012,,x x x 上建立的二次插值多项式2()p x ．由于2()p x 与1()p x 在01,x x 处函数值分别相等，故01,x x 是方程21()()0p x p x -=的根，则

21201()()()()p x p x c x x x x -=--

即

21201()()

()()p x p x c x x x x =+-- (4.13) 同理，当节点由k 个增加到1k +个，分别由它们所确定的1k -次和k 次多项式之间的关系为

1011()()()()()k k k k p x p x c x x x x x x --=+--- (4.14)

从上面的关系式可以看出，新增加一个节点，新的k 次多项式只需要在原来1k -次多项式的基础上增加一项即可，而且增加的这一项只需要确定系数k c ．

将式(4.12)、(4.13)等前面1k -个式子依次代入(4.14)就得到()k p x 的具体形式为

010011()()()()()k k k p x y c x x c x x x x x x -=+-+

+--- (4.15)

64 可将式(4.15)看成是以0010111,,()(),,()()()k x x x x x x x x x x x x -------为基函数

的插值多项式的表达形式，这种插值方法被称为Newton 插值法． 一、 差商的定义

给定1k +个节点，求出k 次Newton 插值多项式(4.15)的关键是求出系数12,,,k c c c ．将插值条件111()p x y =代入(4.12)可以求出

10

110

y y c x x -=

- (4.16) 同理将插值条件222()p x y =代入(4.13)，并结合1()p x 的表达式有

2

012022122202120211021201101212110202120

[()]()()

()()()()

[()]()()()y y c x x p x p x c x x x x x x x x y y y y y y c x x c x x x x x x x x x x x x -+--==-------

-+-----==

--- (4.17)

可见1c 是在两点处函数值增量与自变量增量的商，数学上将它形象的称为差商．系数2c 可以看成是差商的增量与自变量的增量的商．下面给出差商的一般定义：

已知()y f x =在互异节点012,,,x x x 处的函数值分别为012,,,

y y y ，定义

[,]j i i j j i

y y f x x x x -=

- (4.18)

为()f x 在节点,i j x x 处的一阶差商．定义

[,][,]

[,,]j k i j i j k k i

f x x f x x f x x x x x -=

- (4.19)

为()f x 在节点,,i j k x x x 处的二阶差商．更一般的，对于任意的正整数k ，当定义了两个1k -阶差商11[,,

,]i i i k f x x x ++-和12[,,,]i i i k f x x x +++后就可以定义()f x 在节点

1,,,i i i k x x x ++处的k 阶差商

65

12111[,,

,][,,,]

[,,,]i i i k i i i k i i i k i k i

f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-=

- (4.20)

另外，规定()f x 在点i x 上的函数值()i f x 是()f x 在点i x 处的零阶差商，记为

[]i f x ．在实际计算中，常常采用表4.1所示差商表计算各阶差商． 差商具有以下性质

性质1 差商可以表示为相关节点处函数值的线性组合，即对任意的n ，有

01'

111

[,,

,]()()

n

n i i n i f x x x f x x ω=+=∑

以上结论可以用数学归纳法进行证明．从性质1可知，改变节点的排列次序并不影响差商的值，由此得出差商的对称性．

性质2 差商具有对称性，即

01012[,,,

,][,,,]n n i i i f x x x x f x x x =

其中{}01,,

,n i i i 是{}0,1,2,,n 的任意排列．

66 性质3 设()f x 的n 阶导函数存在，则有()

()01[,,

]!

n n f f x x x n ξ=

，这里0101(min(,,),max(,,))n n x x x x x x ξ∈，该性质的证明后面给出．

二、Newton 插值多项式

将式(4.12)中的0y 和1c 写成差商的形式，得到一次的Newton 插值多项式

10010()[][,]()N x f x f x x x x =+-

从(4.17)式可知2012[,,]c f x x x =，将2c 代入(4.13)式，得到二次的Newton 插值多项式

2001001201()[][,]()[,,]()()N x f x f x x x x f x x x x x x x =+-+--

一般的，由式(4.14)可知

1011()()()()

()k k k k N x N x c x x x x x x --=+---

将k x x =代入上式，且利用插值多项式的惟一性有

11011011()()()()

()()()()()()

k k k k k k k k k k k k k k k k N x N x f x L x c x x x x x x x x x x x x ------=

=

------ 这里1()k L x -表示1k -次Lagrange 插值多项式，将1()k L x -展开并利用差商性质1得

11

00()0111

10010()()()()()()

()()

()()()()k k k j k i i j j i i j k k k k k k k i k i k k k i j k i j j i x x f x f x x x c x x x x x x f x f x x x x x x x x x --==≠---=-=≠??

-- ?

?-??=

---=

---??

-- ???

∑∏∑

∏

01'

11()

[,,,]()k

i k i k i

f x f x x x x ω=+==∑

．

故k 次Newton 插值多项式的表达式

00100101()[][,]()[,,]()()k k k N x f x f x x x x f x x x x x x x -=+-+

+-- (4.21)

67

基于相同的插值条件，无论是用Lagrange 插值法还是Newton 插值法构造出的多项式相同，故相应的插值余项也应相同．根据定理4.2可知n 次Newton 插值多项式的插值余项为

(1)1()

()()()()

(1)!n n n n f R x f x N x x n ξω++=-=+

另外插值余项也可以用差商表示．设x 是异于01,,,n x x x 的一点，

则由这2n +个节点确定的以x 为自变量的1n +次多项式为

100100101101010101()[][,]()[,,]()()()

[,,,]()()()

()[,,

,,]()()

()

n n n n n n n n N t f x f x x t x f x x x t x t x t x f x x x x t x t x t x N t f x x x x t x t x t x +-=+-++---+---=+---

由于1()n N t +满足插值条件，即1()()n N x f x +=，将x 代入上式得

0101()()[,,,]()()()n n n f x N x f x x x x x x x x x x =+---

于是n 次Newton 插值多项式的插值余项的差商形式为

011()()()[,,

,]()n n n n R x f x N x f x x x x x ω+=-= (4.22)

对比两种余项表达式，可得 ()

(1)

01[,,

,](1)!

n n f f x x x x n ξ+=

+ (4.23) 以上推导过程同时也证明了差商的性质3．

例4.2 已知单调函数()y f x =在4个点处的函数值如下表

用插值法求方程()0f x =在区间(0.00, 1.80)内根的近似值．

解 由于()y f x =是一个单调函数，所以反函数)(1

y f

x -=存在．以y 为自变

68

)(1y f x -=的三次Newton 插值多项式为

2() 1.12 1.866667( 1.10)0.2904761( 1.10)(0.5) 0.0238095( 1.10)(0.5)(0.9)

N y y y y y y y =-+?+-?++-?++-

方程()0f x =根的近似值2(0)0.7853571N =．

§4.4 等距节点插值

前面介绍的方法中节点是任意分布的，实际应用中常碰到节点等距分布的情

形，此时Newton 插值多项式有更为简单的形式．为此引入差分算子的概念．

设在区间[,]a b 上分布等距节点 (0,1,2,)i x a ih i n =+=，这里b a

h n -=称为

步长．将()f a ih +简记为i f 或i y ，称

1i i i f f f +?=- (4.24)

为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向前差分，简称一阶差分．称

1i i i f f f -?=-

为()f x 在i x 处以h 为步长的一阶向后差分．用递推的方法可以给出更高阶的差分的定义．一般的，

1111()k k k k i i i i f f f f ---

+?=??=?-?

(4.25) 被称为()f x 在i x 处以h 为步长的k 阶向前差分，简称k 阶差分．

由差分的定义可以得到k 分别取1、2、3时差分与函数值之间的关系

1i i i f f f +?=-

2121121()() 2i i i i i i i i i i

f f f f f f f f f f ++++++?=?-?=---=-+

69

332133i i i i i f f f f f +++?=-+-

1

1(1)(1)k m m k i k i k k i k k i m i f f C f C f f ++-+-?=-+

+-++- (4.26)

式(4.26)中!

!()!

m k k C m k m =

-．

用数学归纳法可以证明建立在等距节点上的差商和差分具有如下的关系

1[,,

]!n i

i i i n n

f f x x x n h ++?=

(4.27) 在节点等距分布时，n 次Newton 插值多项式(4.21)中的各阶差商依据式(4.27)可分别替换成差分形式，并令0x x th =+，则得

2000001(1)(1)()(1)2!!

n n t t t n N x th f t f t t f f n --++=+?+

-?+? (4.28) 称(4.28)式为Newton 向前差分公式．由式(4.5)还可将插值余项表示为 1(1)

(1)()

()(), ()(,)(1)!

n n n t t t n R x h f

x a b n ξξ++--=

∈+ (4.29)

当节点从大到小顺序排列时，还可得到基于向后差分算子的Newton 向后差

分公式．

21(1)(1)()(1)2!!

n

n n n n n n t t t n N x th f t f t t f f n ++-+=+?++?+? (4.30)

§4.5 Hermite 插值

在0x 附近，可用()f x 在0x 处的n 阶Taylor 展开式)(x p n 来近似函数()f x

显然它与()f x 在0x 处具有相同的函数值，以及1到n 阶导数值，即有

()()

00()() (0,1

,2,)i i n p x f x i n == (4.31)

故可将n 阶的Taylor 公式视为在0x 处满足插值条件(4.31)的一种插值方法．

n

n n x x n x f x x x f x f x p )(!)())((')()(00)(000-+-+=

70 为在较大的范围内能更好的近似被插值函数()f x ，在实际应用中，不但要求在节点上插值函数与被插值函数有相同的函数值，而且要求在部分或者全部节点上一阶甚至更高阶的导数值也相同．这类插值称为Hermite 插值．在一点处两个函数的函数值和一阶导数值相同，在几何上表现为两条曲线在该点有相同的切线；如果直至二阶导数值相同，则两条曲线在该点具有相同的凹凸性及曲率．可见，Hermite 插值是一类更广泛的插值方法，Taylor 公式可视为在0x 处的Hermite 插值．

在构造Hermite 插值时，如给出的插值条件有1m +个，则可以构造一个不超过m 次的插值多项式，下面就一些常见的例子来讨论建立Hermite 插值多项式的方法．

例4.3 试确定一个不超过二次的多项式2()p x ，使其满足如下插值条件

'

200211200(), (), ()p x y p x y p x m ===

解 先利用前两个插值条件，构造一个１次的插值多项式

01

1010110

()x x x x p x y y x x x x --=

+-- 显然，100111(), ()p x y p x y ==，定义

2101()()()()p x p x c x x x x =+--

这里c 是一个常数，无论c 取何值，插值条件200211() ()p x y p x y ==和都能满足，再

利用条件'

200()p x m =确定系数c ，即

10

01010

()y y c x x m x x -+-=- (4.32) 从式(4.32)中解出c 回代到2()p x ，得到

0011

201001011001

011()()()()x x y y x x p x y y m x x x x x x x x x x x x ??---=

++---??----?? 类似于定理4.2的证明，可求出插值余项为

71

(3)

222011()()()()()()3!

R x f x p x f x x x x ξ=-=

-- 这里)),max(),,(min(1010x x x x ∈ξ．

例4.4 求一个三次多项式3()H x 使其满足插值条件

300311''3

003

11(), (),(), ().

H x y H x y H x m H x m ====

解 构造四个不超过3次的插值多项式0101(),(),(),()x x x x ααββ，使它们分别满足

''

00010001''

10111011''

00

010001''10111011()1, ()0, ()0, ()0;()0, ()1, ()0, ()0;

()0, ()0, ()1, ()0;()0, ()0, ()0, () 1.

x x x x x x x x x x x x x x x x ααααααααββββββββ?====?====??====??====? 则满足插值条件的多项式可以写成如下形式

3001

1

01

()()()()()H x x y x y x m x m

αα

ββ

=+++ (4.33) 假设2

210001()()[()]()x x x Ax B l x Ax B x x α??-=+=+ ?-??

，

可验证条件'0101()0, ()0x x αα==是自动满足的．现利用另外的两个条件

00000

001()11'()2()0x Ax B x A Ax B x x αα=+=?

?

?

=++=?-?

求解可得00101

22

1x A B x x x x =-=+--，．

于是有函数

2

0100101()12x x x x x x x x x α????

--=- ???--?

??? (4.34) 同理可得

2

1111010()12x x x x x x x x x α????

--=-

???--?

??? (4.35)

72 假设2

210001()()[()]()x x x Cx D l x Cx D x x β??

-=+=+? ?-??

，可验证条件

'0101()0, ()0x x ββ==是自动满足的．现利用另外的两个条件

00000

001()01'()2()1x Cx D x C Cx D x x βα=+=?

?

?

=++=?-?

求可得01C D x ==-，． 于是有函数

2

10001()()x x x x x x x β??

-=-? ?-??

(4.36)

同理可得

2

01110()()x x x x x x x β??

-=-? ?-??

(4.37)

得到插值多项式

001130101011010010011

0110()1212()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ????????

----=-+- ?

?????----????????????

--+-+- ? ?--????

２

２

２

２

(4.38)

上式称为三次Hermite 插值多项式，其余项为

(4)2233011

()()()()()()4!R x f x p x f x x x x ξ=-=--

这里)),max(),,(min(1010x x x x ∈ξ．

上面介绍了两种典型Hermite 插值问题的解法，例4.3将所求的多项式()p x 分解为()()q x r x +的形式，()q x 用Newton 插值法或者Lagrange 插值法确定，()r x 用待定系数法确定．例4.4采用了每个点分别构造两个基函数，再与该点函数值和导数值组合的方法．实际问题可仿照此两例类似求解．

73

§4.6 分段插值

在一个较大的区间[,]a b 上，如果用只过两个点的线性插值函数近似()f x ，效果显然不会很好．为了提高近似效果，一种方法是插入新节点．随着新节点的不断插入，插值多项式的次数通常会逐渐增高．节点数增多固然使插值多项式在更多的节点处与被插值函数有相同的函数值，但在两相邻插值节点之间，插值函数未必能够很好地近似被插值函数，它们之间甚至会有非常大的差异，即收敛性得不到保证，因此在实际中很少采用七、八次以上的高次插值．图4.1所示的是在区间[5,5]-上，分别采用五次和十次基于等距节点的Lagrange 插值多项式对函数

2

1

()1f x x

=

+进行近似的情况．不难看出，该近似随着插值多项式次数的增加，插值函数在节点间震荡的很厉害．

另一种提高近似效果的方法是插入节点将区间分成很多小区间，在每个小区间上采用低次插值（一次或二次），即分段插值方法． 一、 分段Lagrange 插值

设在区间[,]a b 上有1n +个点01n a x x x b =<<

<=，它们将区间分成了n 个小区

间．若已知函数()f x 在每个点上的函数值分别为() (0,1,2,)i i y f x i n ==，在每个小区

间1[,] (1,2,

)i i x x i n -=上做线性插值，最终得到一个分段线性函数1()g x ．1()g x 在每个

小区间上是线性函数，在整个区间[,]a b 上连续，且经过所有点{}n

i i i y x 0),(=．

74

图4.1 高次插值不稳定现象示意图

1()g x 在区间1[,]i i x x -上的具体表达式为 1

1111

()i i i i i i i i x x x x g x y y x x x x ------=

+-- (4.39)

依照Lagrange 插值方法的思路，也可通过构造基函数的方法来构造1()g x ．若点i x 上的基函数()i x ?满足以下条件 (1) 在每个小区间上都是线性函数；

(2) 0 () 1 i k i k

x i k

?≠?=?=?；

则1()g x 可以表示成这些基函数与函数值的线性组合，即10()()n

j j j g x y x ?==∑．

分段线性插值多项式的余项可以通过线性插值多项式的余项进行估计． 定理4.3 设有节点01n a x x x b =<<

<=及相应的函数值{}0n

i i y =，"()f x 在

[,]a b 上存在，1()g x 是基于点集{}n

i i i y x 0),(=对()f x 的分段线性插值多项式，则有插

值误差估计

75

2

1()()()

8

h R x f x g x M =

-≤ (4.40)

其中''11max ,max ()i i i n

a x b

h x x M f x -≤≤≤≤=-=．

证明 根据式(4.5)，在每个区间1[,] (1,2,

)i i x x i n -=上1()g x 的插值余项为

''

11()()()()2!

i i i i R x f x x x x ξ-=

-- 其中1(,)i i i x x ξ-∈．取绝对值

1''

1''2

11()()()()2!

11

max ()()2!4i i i i i i i i x x x R x f x x x x f x x x ξ---≤≤=

?--≤?-

因此，在整个区间[,]a b 上，设11max ,max ''()i i i n

a x b

h x x M f x -≤≤≤≤=-=

2

1()max ()8

i i n h R x R x M ≤≤≤≤

从而定理得证．

类似地，可构造分段二次插值函数2()g x ．将整个区间[,]a b 分成n (n 为偶数)个小区间，在区间222[,] (0,1,

,1)2

i i n

x x i +=-上，2()g x 的表达式为

21222222221

221222************

2222221()()()()

()()()()()

()()

()()

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x g x y y x x x x x x x x x x x x y x x x x ++++++++++++++----=

+------+-- (4.41)

类似定理4.3证明，可推出分段二次插值的插值余项为

3

2()()()12

h R x f x g x M =-≤

其中'''222max ,max ()i i a x b

h x x M f x +≤≤=-=．

76 分段插值函数虽在插值节点上连续，但在节点上导数不一定存在，故光滑性比较差．但从整体而言，能对被插值函数达到较好的近似，特别是将区间划分的足够多，足够细时更是如此． 二、 分段Hermite 插值

4.5节的例4.4构造了两点三次Hermite 插值多项式，结合分段插值的思想可以构造分段三次Hermite 插值，即在每个小区间1[,]i i x x -上构造两点三次Hermite 插值3()S x ．相应的插值条件为

3'

3 () (0,1,2,) ()i i

i

i S x y i n S x m =?=?=?

在区间1[,] (1,2,)i i x x i n -=上，将节点01,x x 替换为1,i i x x -就得到分段三次

Hermite 插值多项式，

22

113111112

2

11111()1212 ()()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y x x x x x x x x x x x x x x m x x m x x x x ------------????????

----=-+- ?

?????----????????????

--+-+- ?

?--????

(4.42)

3()S x 具有以下性质

(1) 3()S x 在区间[,]a b 上是连续函数；

(2) 在插值节点i x 上，33(), '()i i i i S x y S x m ==； (3) 在每个小区间1[,] (1,2,

)i i x x i n -=上，3()S x 是不超过三次的多项式．

虽然3()S x 对()f x 有着比12(),()g x g x 更好的近似效果，但构造3()S x 时不仅需要每个节点上函数值还需要每个节点上的导数值，过多的数据要求限制了它在工程上的使用．工程中常采用不需要节点导数信息却依然能达到二阶光滑性的三次样条插值方法．

77

§4.7 三次样条插值

一、 三次样条插值函数的定义

{}0n

i i x =是区间[,]a b 上的1n +个节点，若函数()S x 满足条件

(1) 在区间[,]a b 上()S x 具有连续二阶导数； (2) 在每个小区间1[,] (1,2,3,

,)i i x x i n -=上，()S x 是一个三次多项式；

(3) 在节点处满足插值条件，即() (0,1,2,,)i i S x y i n ==．

则称()S x 为()f x 关于节点{}n

i i x 0=的三次样条插值函数．

在每个小区间上()S x 是三次多项式，则在每个小区间上需要确定4个待定系

数．由于一共有n 个小区间，故在整个插值区间上有n 4个待定系数．依据三次样条插值函数的定义，共有如下24-n 个约束

边界节点处： 00(0)()

(0)()n n S x f x S x f x +=??-=?

内节点i x 处: ''''''

(0)(0)(0)(0) (1,2,3,,1)(0)(0)()()i i i i

i i i i S x S x S x S x i n S x S x S x f x -=+??-=+?=-?-=+??=?

要确定n 4个待定系数, 还需附加2个约束条件．通常在[,]a b 的边界上补充两个边界条件，常见的补充条件有以下三种．

(1) 给定端点处的一阶导数值（转角边界条件），即

''00(), ()n n S x m S x m == (4.43)

(2) 给定端点处的二阶导数值（弯矩边界条件），即

''''00(), ()n n S x M S x M == (4.44)

特别地, 当00==n M M 时，称该条件为自然边界条件． (3) 周期性边界条件

''0''''

0(0)(0)

(0)(0)n n S x S x S x S x ?+=-??+=-??

(4.45)