2006年希望杯第17届初二1试

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

2006年3月19日 上午：30至10：00

学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩__________ 一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．

1．实数m ＝20053－2005，下列各数中不能整除m 的是（ ） （A ）2006 （B ）2005 （C ）2004 （D ）2003 2．a ，b ，c ，d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，那么a ＋b ＋c ＋d 的值是（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）34 （D ）36 3．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有（ ）

（A ）55种

（B ）45种

（C ）40种

（D ）30种

4．已知m ，n 是实数，且满足m 2＋2n 2＋m －34n ＋36

17＝0，则－mn 2的平方根是（ ） （A ）

6

2

（B ）±

62 （C ）

6

1 （D ）±

6

1 5．某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的

5

4

．已知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的4

1，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的（ ）

（A ）199 （B ）19

10

（C ）2111 （D ）

10

6．如图1，点E 、F 、G 、H 、M 、N 分别在△ABC 的BC 、AC 、AB 边上，

且NH ∥MG ∥BC ，ME ∥NF ∥AC ，GF ∥EH ∥AB ．有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚁沿路线F →N →H →E →M →G →F 爬行，白蚁沿路线F →B →A →C →F 爬行，那么（ ） （A ）黑蚁先回到F 点 （B ）白蚁先回到F 点

（C ）两只蚂蚁同时回到F 点 （D ）哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定 7．一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（ ） （A ）14

（B ）15

（C ）15或16

（D ）15或16或17

8．Let a be integral part of 2 and b be its decimal part ．Let c be the integral part of π and d be the

decimal part.．if ad －bc ＝m ，the （ ） （A ）－2＜m ＜－1 （B ）－1＜m ＜0 （C ）0＜m ＜1 （D ）1＜m ＜2

（英汉词典：integral part 整数部分；decimal part 小数部分）

9．对a ，b ，定义运算“＊”如下：a ＊b ＝????≥时＜，当时，

，当b a ab b a b a 22已知3＊m ＝36，则实数m 等于（ ）

（A ）23

（B ）4

（C ）±23

（D ）4或±23

10．将连续自然数1，2，3，…，n （n ≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a 1，a 2，a 3，…，a n ．若

(a 1－1)(a 2－2)(a 3－3)…(a n －n )恰为奇数，则（ ） （A ）一定是偶数

（B ）一定是奇数

（C ）可能是奇数，也可能是偶数

（D ）一定是2m －1（m 是奇数）

图1

二、A 组填空题（每小题4分，共40分）

11．已知a 、b 都是实数，且a ＝

43＋x ，b ＝3

12＋x ，b ＜37

＜2a ，那么实数x 的取值范围是_________． 12．计算12008

200720062005＋???－20062的结果是__________． 13．已知x ＝22＋1，则分式15

119

232－－－－x x x x 的值等于__________．

14．一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍，这样的矩形有

__________个．

15．Suppose that in Fig.2，the length of side of square ABCD is 1，E and F are mid

－points of CD and AD respectively ，GE and CF intersect at a point P ．Then the length of line segment CP is __________．

（英汉词典：figure （缩写Fig.）图；length 长度；square 正方形；mid －point 中点；intersect 相交；line segment 线段） 16．要使代数式

2

113｜－－｜｜＋－｜x x 有意义，实数x 的取值范围是____________．

17．图3的梯形ABCD 中，F 是CD 的中点，AF ⊥AB ，E 是BC 边上的一点，

且AE ＝BE ．若AB ＝m （m 为常数），则EF 的长为__________． 18．A ，n 都是自然数，且A ＝n 2＋15n ＋26是一个完全平方数，则n 等于

__________．

19．一个长方体的长、宽、高均为整数，且体积恰好为2006cm 3，现将它的

表面积涂上红色后，再切割成边长为1cm 的小正方体，如果三面为红色的小正方体有178个，那么恰好有两面为红色的小正方体有________个． 20．一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送，例

如到达点C 2的信息可经过B 1或B 2送达，共有两条途径传送，则信息由A 点传送到E 1、E 2、E 3、E 4、E 5的不同途径共有________条．

三、B 组填空题（每小题8分，共40分．每小题两个空，每空4分．）

21．某学校有小学六个年级，每个年级8个班；初中三个年级，每个年级8

个班；高中三个年级，每个年级12个班．现要从中抽取27个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么小学每个年级抽取________个班，初中每个年级抽取________个班． 22．矩形ABCD 中，AB ＝2，AB ≠BC ，其面积为S ，则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线

长为__________或__________．

23．已知m ，n ，l 都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m ＋n ＋l 的最

大值是__________，最小值是__________．

24．某工程的施工费用不得超过190万元．该工程若由甲公司承担，需用20天，每天付费10万元；

若由乙公司承担，需用30天，每天付费6万元．为缩短工期，决定由甲公司先工作m 天，余下的工作由乙公司完成，那么m ＝________，完工共需要__________天． 25．将2006写成n （n ≥3）个连续自然数的和，请你写出两个表达式：

（1）__________________________________；（2）__________________________________．

A

B

C

D

E F P

图2

A

B

C

D

E

F

m

图3 1B A

2

B 1

C 2C

3C 1D 2D 3D 4D 1

E 2

E 3

E 4

E 5

E 图4

第十七届“希望杯”全国数学邀请赛

答案·评分标准 初二 第1试

1．答案 （1）选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案

D

B

D

B

C

C

D

A

A

A

（2）A 组填空题 题 号 11

12 13 14 15

16 17

18 19 20 答 案

35

＜x ＜3 2005

2

3

55 －4≤x ＜－1

2

m 23

1824

16

（3）B 组填空题 题 号 21 22

23 24 25 答 案 2；2

242＋S ；4

64

2＋S 209；57

10；25

不唯一

2．评分标准

（1）第 1～10题：答对得4分；答错或不答，得0分． （2）第11～20题：答对得4分；答错或不答，得0分．

（2）第21～25题：答对得8分，每个空4分；答错或不答，得0分．

【部分试题详解】 1、

2、解：∵441=3×3×7×7=1×3×7×21， ∴abcd=1×3×7×21，

因此对应a 、b 、c 、g 等于 1、3、7、21， a+b+c+d=1+3+7+21=32，

3、解：当2边长分别为10，10时，第3边可取1，2，3，4，5…9，10，这样的三角形有10种；当2边长为10，9时，第3边可取2，3，4，5，…9，这样的三角形有8种；

当2边长为10，8时，第3边可取3，4，5，6，7，8，这样的三角形有6种；

当2边长为10，7时，第3边可取4，5，6，7，这样的三角形有4种；

当2边长为10，6时，第3边可取5，6，这样的三角形有2种；

这样的三角形共有10+8+6+4+2=30（组）．

故选D．

4、

5、

6、解：∵NH∥MG∥BC，ME∥NF∥AC，GF∥EH∥AB，

∴可得四边形ANFG为平行四边形，即NF=AG；

同理，NH=FC，HE=BN，EM=GC，MG=BF，GF=AN，

∴黑蚁的路程=FN+NH+HE+EM+MG+GF=AG+FC+BN+GC+BF+AN，

白蚁的路程=BF+BN+AN+AG+GC+FC，

∴白蚁的路程=黑蚁的路程，

即它们同时回到F点，

7、解：设新多边形的边数为n，

则（n-2）?180°=2520°，

解得n=16，

①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为17，

②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，

③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为15，

所以多边形的边数可以为15，16或17．

故答案为：15，16或17．

8、

10、解：如果n是偶数的话，

在1～n这个数列中偶数的个数和奇数的个数相等，

要保证（a1-1）（a2-2）（a3-3）…（an-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．

因为a1～～an中奇数偶数都相等，

所以完全可能找出一队序列1～～n 使（a1-1）（a2-2）（a3-3）…（an-n）每一项都是奇数，

如果n是奇数的话，在1～n这个数列中偶数的个数比奇数的个数少一个，

要保证（a1-1）（a2-2）（a3-3）…（an-n）是奇数，则须保证每一项都为奇数．

因为a1～an中奇数比偶数多一个，一定会在（a1-1）（a2-2）（a3-3）…（an-n）中有一个偶数，因此（a1-1）（a2-2）（a3-3）…（an-n）必为偶数，

所以n必为偶数．

故选A．

11、

12、

13、

14、解：设矩形的长和宽分别是y和x，

∵矩形的面积（量数）是周长（量数）的2倍，

∴xy=4（x+y），即xy-4x-4y=0．

∴xy-4x-4y+16=16，即（x-4）（y-4）=16．

不妨设x≤y，

∴x-4=1，y-4=16 或者x-4=2，y-4=8 或者x-4=4，y-4=4，∴x=5时y=20；x=6时y=12；x=8时，y=8，

∴（5，20）或者（6，12）或者（8，8）．

故答案为：3．

15、

16、解：根据二次根式有意义，分式有意义得：3-|x+1|≥0且|x-1|-2＞0，解3-|x+1|≥0得：-4≤x≤2；

解|x-1|-2＞0得：x＜-1或x＞3；

则实数x的取值范围是-4≤x＜-1．

故答案为：-4≤x＜-1．

17、

解：延长AF，与BC的延长线交于点G，

∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，∠D=∠FCG，

又F为DC中点，∴DF=CF，

∴△ADF≌△GCF，

∴AF=GF，即F为AG的中点，

又AB⊥AF，∴∠BAF=90°，

∴∠BAE+∠EAF=90°，∠B+∠G=90°，

∵AE=BE，∴∠BAE=∠B，

∴∠EAF=∠G，

∴AE=EG，又AE=BE，∴BE=EG，即E为BG中点，

∴EF为△ABG的中位线，又AB=m，

∴EF=1/ 2 AB=1/ 2 m．

故答案为：1 /2 m

18、

19、解：∵三面为红色的小正方体有178个，

∴这个长方体的高必为1cm，

∵2006=1×2×59×17，

∴这个长方体的长为59cm，宽为34cm，

∵这样在两条长的位置有上三面为红色的小正方体57×2=114个，

在两条宽的位置上有32×2=64个三面为红色的小正方体，

而四个角上是四面为红色的正方体，其余的都是两面有红色的正方体，

∴2006-178-4=1824个．

故答案为：1824．

21、解：∵小学六个年级，每个年级6个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班，

∴先算出这个学校总班数一共是6×6+3×8+3×12=96个，

22、

23、解：385的二位因数有11，35，55，77，他们不全相同，

故最大为77，77，55，和为209，

最小为11，11，35，和为57．

故答案为209，57．

24、

25、