一种新的变步长LMS算法及其仿真
使用精确搜索算法确定步长的最速下降法
数学与计算科学学院 实验报告 实验项目名称使用精确搜索算法确定步长的最速下降法 所属课程名称最优化方法 实验类型算法编程 实验日期 201 班级 学号 姓名 成绩 一、实验概述： 【实验目的】
(1) 掌握精确搜索算法确定步长的最速下降法； (2) 使用计算机语言表达最优化方法。 【实验原理】 最速下降法又称为梯度法，是1847年由著名数学家Cauchy 给出的。他是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。 设无约束问题中的目标函数 f : Rn R1一阶连续可微。 最速下降法的基本思想是：从当前点k x 出发，取函数 f (x)在点k x 处下降最快的方向作为我们的搜索方向k p .由 f (x)的 Taylor 展式知 ()()()() k k k k T k k f x f x tp t f x p o tp -+=-?+ 略去t 的高阶无穷小项不计，可见取()k k p f x =-?时，函数值下降得最多。于是，我们可以构造出最速下降法的迭代步骤。 解无约束问题的的最速下降法计算步骤 第 1 步 选取初始点(0)x ，给定终止误差ε ，令k:=0； 第 2 步 计算?f (k x )，，若‖?f (k x )‖≤ ε ，停止迭代.输出k x .否则 进行第三步 第 3 步 取()k k p f x =-?； 第 4 步进行一维搜索，求k t ，使得 1()(())min (()) k k k k k k f x f x t f x f x t f x +=-?=-? 令,k:=k+1，转第2 步。 由以上计算步骤可知，最速下降法迭代终止时，求得的是目标函数驻点的一个近似点。 【实验环境】 计算机 VC++
复化梯形法 复化矩形法 变步长梯形 变步长辛普森
陕西科技大学 机械教改班 用C++的积分 其实积分的思想就是,微分—>求和—>取极限，如果是用纯手工法那就是先对一个函数微分，再求出它的面积，在取极限，因为我们的计算速度和计算量有限，现在有了计算机这个速度很快的机器，我们可以把微分后的每个小的面积加起来，为了满足精度，我们可以加大分区，即使实现不了微分出无限小的极限情况，我们也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四种不同的积分方法，和一个综合通用程序。 一．积分的基本思想 1、思路：微分—>求和—>取极限。 2、Newton —Leibniz 公式 ?-=b a a F b F dx x f ) ()()( 其中，)(x F 被积函数)(x f 的原函数。 3、用计算机积分的思路 在积分区间内“微分—>求和—>控制精度”。因为计算机求和不可以取极限，也就是不可以无限次的加下去，所以要控制精度。 二．现有的理论 1、一阶求积公式---梯形公式 ?=+-=b a T b f a f a b dx x f )]()([2 )( 他只能精确计算被积函数为0、1次多项式时的积分。 2、二阶求积分公式——牛顿、科特斯公式 ?=+++-=b a S b f a b f a f a b dx x f )]()2(4)([6)( 他只能精确计算被积函数为0、1、2、3次多项式时的积分。 三．四种实现方法 1.复化矩形法 将积分区间[a,b]等分成n 个子区间: ],[],[],[],[],[112322110n n n n x x x x x x x x x x ---、、、 则h=(b-a)/n,区间端点值k x =a+kh
数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分
变步长梯形求积法计算定积分 1．原理： 变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。 主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+; 2．C++语言实现方式： 通过每次的T n值和新增的函数值点计算T2n，再通过判断|T n-T2n|的大小来判断是否达到精度要求。 3．源程序如下： #include"" #include"" double f(double x)//预先输入的待积分函数 { double s; s=log(x*x); return(s); } double ffts(double a,double b,double eps) { int n,k; double fa,fb,h,t1,p,s,x,t; fa=f(a);
fb=f(b); n=1; h=b-a; t1=h*(fa+fb)/2; p=eps+1; while(p>=eps) { s=0; for(k=0;k<=n-1;k++) { x=a+(k+*h; s=s+f(x); } t=t1/2+h*s/2; p=fabs(t1-t); cout<<"步长n为:"< CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 变步长的梯形积分方法的应用 一、问题背景 实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相关联。 依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分 ()dx x f I a ?=b ， 只要找到被积分函数()x f 的原函数()x F ，便有下列牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式： ()()()a F b F dx x f b -=?a . 但实际使用这种求积分方法往往有困难，因为大量的被积函数，诸如 ()0sin ≠x x x ，2x e -等，其原函数不能用初等函数表达，故不能用上述公式计算。即使能求得原函数的积分，有时计算也十分困难。例如对于被积函数 ()6 11x x f +=，其原函数 ()C x x x x x x x x F ++-+++??? ??-+=1 313ln 3411arctan 61arctan 3122， 计算()a F ，()b F 仍然很困难，另外，当()x f 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。 二、数学模型 由于牛顿-科特斯积分公式在8≥n 时不具有稳定性，故不能通过提高阶数的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可以把积分区间划分成若干的子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。这种方法称为复合求积法。 复合梯形法虽然方法简单，但是却不能估计积分精度，这有时候是很不方便的。要想控制积分精度，可以采用如下的方法，设积分区间已经划分为n 个子区间，这时再把区间划分更细，给出新的积分结果，如果前后两次积分的差比给定的误差容限小的话，则停止细华否则继续增加积分区间。这种方法原理很简单也 容易实现，但是实际计算中一般采用的比较少，因为这种方法比较机械效率不是太高，实际上采用比较多的通常是Romberg 方法。 三、算法及流程 给定义误差容限小量TOL ，对于()dx x f b a ?，有复合梯形公式 #include T2=T1/2+h/2*S; printf("步长为%f时\t Tn=%f \t T2n=%f \t 误差变化：%f\n",h,T1,T2,fabs(T1-T2)); h=h/2;T0=T2; } printf("************************************************************** **************\n"); printf("所求的结果为=%f\n",T2); } %利用wolf-powell线性搜索步长 function alpha1=wolfpowell(f,x,x0,d) g=jacobian(f,x); %求函数f的梯度 sigma1=0.25; %给定常数1 sigma2=0.7; %给定常数2 beta1=5; %步长初始值 theta1=0.5; %步长变化比例1 theta2=0.7; %步长变化比例2 %求步长alpha1 if subs(f,x,x0+d)<=subs(f,x,x0)+sigma1*subs(g,x,x0)*d'&&subs(g,x,x0+d)*d'>=sigm a2*subs(g,x,x0)*d' alpha1=1; %满足第一个条件的最大步长 else alpha1=beta1; while subs(f,x,x0+alpha1*d)>subs(f,x,x0)+sigma1*alpha1*subs(g,x,x0)*d' alpha1=theta1*alpha1; end while subs(f,x,x0+alpha1/theta1*d)<=subs(f,x,x0)+sigma1*alpha1/theta1*subs(g,x,x0)*d' alpha1=alpha1/theta1; end end %使步长满足第二个条件 while subs(g,x,x0+alpha1*d)*d' 变步长梯形公式（C语言） 程序： // cehngxu.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include"stdafx.h" #include"stdio.h" #include"math.h" double f(double x) //这里自定义了函数，因为出现sin(0)/0的情况，系统无法计算；{ double y; if (x == 0) y = 1; //把x=0作为一种情况，单独拿出来； else y = sin(x) / x; //正常情况下的函数； return(y); } //编写这个自定义函数便于你在作业中的计算，对于不用的题目只需改动一下函数即可计算； void main() //主函数； { double a , b ,h,k,s,t[4998]; //数组的定义中不能出现变量，故对其任意取值，一般取一个很大的数； int n = 1, m = 0; printf("please input a="); scanf_s("%lf", &a); //在VC环境下用scanf输入没有问题，但是在我这编译环境visual studio 2013下需要用scanf_s()输入； printf("please input b="); scanf_s("%lf", &b); t[1] = (b - a)*(f(a) + f(b)) / 2; do { h = (b - a) / n; s = 0; for (k = 0; k < n; k++) { s += f(a + (k + 0.5)*h); } t[2 * n] = t[n] / 2 + h / 2 * s; //梯形的递推公式 n = 2*n; m = m + 1; #include } for(i=0;i<2*2*2*N-1;i++) { sum3+=function(a+(i+i/2)*h/8); } d[0]=sum;d[1]=sum1;d[2]=sum2;d[3]=sum3; for(j=1;j<4;j++) T[i][j]=1/2*T[i][j-1]+h/explode2(j)*d[j]; for(i=1;i<4;i++) { for(j=0;j<4-i;j++) T[i][j]=explode4(i)/(explode4(i)-1)*T[i-1][j+1]-1/explode4(i)*T[i-1][j]; } printf("Romberg=%lf",T[3][0]); } #include变步长的梯形积分方法的应用
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