6-3-1_工程问题.题库教师版
1. 熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；
2. 工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；
3. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；
4. 工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。
一． 工程问题的基本概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。 工作总量：一般抽象成单位“1” 工作效率：单位时间内完成的工作量
三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：
① 具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；
② 在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；
③ 学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；
④ 学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．
三、利用常见的数学思想方法：
如代换法、比例法、列表法、方程法等 抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．
知识精讲
教学目标
工程问题
模块一、工程问题基本题型
【例 1】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、
乙合作需要多少时间？
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的
128
，乙每天完成总量的
121
，两
人合作每天能完成总量的
11128
2112
+=，所以两人合作的话，需要1112
12
÷=天能够完成．
【例 2】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要30天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独
做需要多少时间？ 【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的
130
，甲、乙合作每天完成总量的
112
，乙单独做每天能完成总量的
11112
30
20
-
=
，所以乙单独做1120
20
÷=天能完成．
【巩固】 （难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独
做需要多少时间？
【解析】 将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的
121
，甲、乙合作每天完成总量的
112
，乙单独做每天能完成总量的
11112
21
28
-
=
，所以乙单独做28天能完成．
【例 3】 （难度等级 ※※）甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便
需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了22
5
小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生
产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?
【解析】 乙单独加工，每小时加工
111812
24
-= 甲调出后，剩下工作乙需做21184(12
)5
8
24
5
-?
÷
=
时所
以乙每小时加工零件84420255
÷=(个)，则225
小时加工2252
605
?=(个)，所以乙一共加工
零件420+60＝480(个)．
【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，
由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 【解析】 共做了6天后，原来，甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.这说
明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的16/24=2/3。
如果甲独做，所需时间是33030752
+?
=天如果乙独做，所需时间是23030503
+?
=天；甲或
乙独做所需时间分别是75天和50天.
例题精讲
【巩固】 （难度等级 ※※）某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人
合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 【解析】 先对比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙
要多做48-28=20（天），由此得出乙的工作效率是甲的34
，甲先单独做42天，比63天少做了
63-42=21（天），相当于乙要做421283
?=天因此，乙还要做28+28=
56 （天），乙还需要做 56天.
【例 4】 （难度等级 ※※）一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单
独做需要30天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【解析】 如果将整个工程的工作量看做单位“1”，从条件中我们很容易看出： 甲+乙120
=
， 乙+丙115=
， 乙130
=
因此不难得到丙的工作效率为
11115
30
30
-
=
，因此三个人的工作效率之和为
11120
30
12
+=
，
也就是说，三个人合作需要12天可以完成。
本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效．但是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了．
【巩固】 （难度等级 ※※）一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需
要36天完成，那么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？
【解析】 法一：和上题类似，我们可以有：甲+乙19=
， 乙+丙112
=
， 丙136
=不难求得，乙的工作效率
为
11112
36
18
-=，因此甲的工作效率为1
119
18
18
-
=，从而甲丙合作的工作效率为11136
18
12
+=，
即甲丙合作12天能完成。
法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而同过整体的运算直接得到“甲 +丙”的值呢？
不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：()()2++?-+=+甲乙丙乙丙甲丙，也就是说：1111293612
12
+=
+?-
=甲丙，所以甲丙合作12天能完成。
【巩固】 （难度等级 ※※）一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙
两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 【解析】 设这件工作的工作量是1。甲乙两人合作每天完成
1
36，甲丙两人合作每天完成
1
60
，乙丙两人合
作每天完成145，甲、乙、丙三人合作每天完成11161
()236456018030
++÷==减去乙、丙两人
每天完成的工作量，甲每天完成
11130
45
90
-
=
，甲独做需要119090
÷
=天 答：甲一人独做需
要90天完成.
【巩固】 （难度等级 ※※）一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，
丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成? 【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是1
8
、1
6、
112
.对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)
－(乙，丙)=(甲，丁)．即
18
+
112
－
16
=
124
，甲、丁合作的工作效率为124
．所以，甲、丁两人
合作24天可以完成这件工程．
【巩固】 （难度等级 ※※）一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两
人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?
【解析】 方法一：对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即1
8+
19
－118
=1372
为两倍乙的
工作效率，所以乙的工作效率为13144
．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效
率为
19
－
13144
＝
148
那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷
148
=48天。
方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝18
＋19
＋
1
18
＝
2172
，所以(甲，乙，丙)=
21
72
÷2＝
21144
，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为
21144
．那么丙单独工作的工作效率为21144
－
18
＝
148
，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．
【例 5】 （难度等级 ※※※）一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌
满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？ 【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为
1111225410
-
?-
?=
，所以乙的工作效率为：
11(622)10
20
÷--=
，所以整池水由乙管单独灌水，
需要112020÷
=（小时）
．
【例 6】 （难度等级 ※※※）(2007年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管注水，单开甲管需12小
时注满，单开乙管需24小时注满，若要求10小时注满水池，且甲、乙两管同时打开的时间尽量少，那么甲、乙最少要同时开放 小时．
【解析】 要想同时开的时间最小，则根据工效，让甲“满负荷”地做，才可能使得同时开放的时间最小．所
以，乙开放的时间为1
111041224?
?
-
?÷= ???(小时)，即甲、乙最少要同时开放4小时．
【例 7】 （难度等级 ※※※）一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就
把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
【解析】 先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立
方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，
因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
【例 8】 （难度等级 ※※※※）有10根大小相同的进水管给A 、B 两个水池注水，原计划用4根进水
管给A 水池注水，其余6根给B 水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A 水池以一定的
速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的A 水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，A 水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多
少分钟?(结果四舍五入到个位)
【解析】 设每只进水管的工效为“1”，那么A 池容量为4×5=20，B 池容量为6×5=30．当用5根进水管给
B 池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A 池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为5106.3
÷=
(1)用10根进水管给漏水的A 池灌水，那么需
520(10)2.43÷-=
小时＝144分钟. (2)设A 池需x 根，那么B 池需14x -根，有
5():(14)
2:3,3
x x -
-=所以有28235,x x -=-化简解得 6.6.x =所以A 池用7根或6根进水管，
此时对应所需时间，分别为：
①当A 池用7根进水管时：A ：7根水管，需时间5
320(7)3
34
÷-=小时=225分钟；B ：7根水管，
需时间303077
÷=
小时≈257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；
②当A 池用6根进水管时：A ：6根水管，需时间56020(6)313
÷-=
小时≈277分钟；B ：8根水管，
需时间30÷8=
154
小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水
管都注满，最少需257分钟，7根水管注A 池，7根水管注B 池．
【例 9】 （难度等级 ※※※）甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10
小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？
【解析】 法一：
先求出甲、乙相遇的时间：111()610
15
÷+
=小时；
甲清扫全长的
136105
?=
，乙清扫了全部的
12615
5
?=
；所以东、西两城相距3212605
5??
÷-
=
???
千米．
法二：
因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是1
1
:
3:21015
=，
甲行了全程的
332
+，乙行了全程的
332
+，全程就是3212605
5??
÷-
=
???
千米．
【例 10】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要9天．若甲先做若干天
后乙接着做，共用10天完成，问甲做了几天？
【解析】 根据题意可知，甲的工作效率为
112
，乙的工作效率为1
9
，采用鸡兔同笼问题的假设法，可知甲
做了1
1
1(101)()49
9
12
?-÷-
=天．
【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，
剩下的工作由乙队单独做15天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？ 【解析】 方法一：甲的工作效率为
120，甲队8天的工作量为
12820
5
?=
，所以乙队15天的工作量为
23155
-
=，乙的工作效率为3
1155
25
÷=
，所以乙队单独完成这项工作需要25天
方法二：此题可以用代换法解，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的45
，乙
独做的时间为420255
÷
=（天）。
【例 11】 （难度等级 ※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙
单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲
休息了几天？
【解析】 法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的
19276020
?=
，还
有911120
20
-
=是甲做的，所以甲干了
11122
20
40
÷
=（天），休息了27225-=（天）．
法二：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的119()2740
608
+?=
，超过了单
位“1”的9
1188
-=
，则甲休息了1158
40
÷
=（天）
．
【巩固】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成．甲、乙合作了几天
后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了16天．乙请假多少天？
【解析】 法一：甲一共干了16天，完成了全部工程的
1416205
?=
，还有4115
5
-
=
是乙做的，所以乙干了
116530
÷=(天)，休息了16610-=(天)，请假天数为：16610-=(天)．
法二：假设乙没有请假，则两人合作16天，应完成全部工程的114()1620
303
+?=
，超过了单位
“1”的
41133
-=
，则乙请假11103
30
÷
=(天)．
【巩固】 （难度等级 ※※※）有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现
在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤
出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?
【解析】 甲、乙、丙三个队合修的工作效率为
1111101215
4
++= 6天完成的工程量为
116142
?= ，而实
际6天完成了的工程量为1，即甲队少做了12，甲队完成12
超过单位“1”11
1
12
2
-=
，甲没有
干的天数：，
115210
÷=(天)，即当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了6-1=5天．
【例 12】 （难度等级 ※※※）(2007年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做
需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休
息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了 天．
【解析】 设甲、乙工作了x 天，丙工作了y 天，则有：111
136
3048
x y ??+
+
=
???，化简得4415720x y +=．由于15y 和720都是15的倍数，所以x 也是15的倍数，而7204417x <÷<，所以15x =，4y =，所以丙休息了15411-=天．
【例 13】 （难度等级 ※※※）一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由
甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的
天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【解析】 解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的
112，乙就完成
工作量的
1318
?，丙就完成工作量的
1624
?。共完成
11113612
18242
+?+
?=
。1122
÷
=天说明
甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天.
解法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成 3.总共用了
1367220614336
++?
=?+?+?天。
【例 14】 (2007年人大附中考题)一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只
调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要 天． 【解析】 设1个人做1天的量为1，设原来有x 人在做这项工程，得：()()1610420x x +?=+?，解得：
8x =．如果调走
2人，需要()()816108240+?÷-=(天)．
模块二、工程问题——变速问题
【例 15】 （难度等级 ※※※）甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划
的工作效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队
最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？
【解析】 开始时甲队拿到8400
504033-=元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为3360:50402=；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为
(3360960):(50
+-=．设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x 天才能完成任务．有(244):(343)18:17x x ?+?+=，化简为2165413668x x +=+，解得407
x =
．工程总量为4054760
7
?+?
=，所以原计划60(23)12÷+=天完成．
【例 16】 （难度等级 ※※※※）(人大附中考题)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比
单独做时提高
110
，乙的工作效率比单独做时提高1
5
．甲、乙两人合作6小时，完成全部工作的
25
，第二天乙又单独做了6小时，还留下这件工作的
1330
尚未完成，如果这件工作始终由甲一人
单独来做，需要多少小时？
【解析】 乙的工作效率是：2131(1)653036
-
-÷=，甲的工作效率是：215111(6)(1)5
36
5
10
33
+÷-
?
÷+
=
，所
以，单独由甲做需要：1133
33
÷
=(小时)．
【例 17】 （难度等级 ※※※※）（2009年四中小升初入学测试题、2009年第七届“希望杯”六年级第2
试）甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工
作，最初，甲清理的速度比乙快1
3，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了
一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，
问乙换了工具后又工作了多少分钟？
【解析】 法一：直接求
首先求出甲的工作效率，甲1个小时完成了200米的工作量，因此每分钟完成10200603
÷=（米），
开始的时候甲的速度比乙快1
3，也就是说乙开始每分钟完成为
101(1) 2.5
3
3
÷+
=（米），换工具之
后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成2.525?=（米），问题就变成了，乙50分钟扫完了200米的雪，前若干分钟每分钟完成2.5米，换工具之后的时间每分钟完成了5米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫2.5米，那么50分钟应该能扫2.550125?=（米），比实际少了20012575-=（米），这是因为换工具后每分钟多扫了
5 2.5 2.5-=（米）
，因此换工具后的工作时间为75 2.530÷=（分钟）. 法二：其实这个问题当中的400米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为3，甲比他快1
3，甲每分钟可以清理4，60分钟之后，甲一共清理了460240?=份的工作量，乙和他的工
作总量相同，也是240份，但是乙之前的工作效率为3，换工具后的工作效率为6，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了(240350)(63)30-?÷-=分钟。
【例 18】 （难度等级 ※※※※）（2009年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，
甲每小时加工40个，当甲完成任务的
12
时，乙完成了任务的
12
还差40个．这时乙开始提高工
作效率，又用了7.5小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？
【解析】 当甲完成任务的
12
时，乙完成了任务的12
还差40个，这时乙比甲少完成40个；
当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；
所以在后来的7.5小时内，乙比甲多完成了402060+=个，那么乙比甲每小时多完成607.58
÷=个．所以提高工效后乙每小时完成40848+=个．
【例 19】 （难度等级 ※※※※）甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要
12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40%，二队的工作效率要下
降10%．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？
【解析】 在晴天，一队、二队的工作效率分别为
112
和115
，一队比二队的工作效率高
11112
15
60
-=
；在雨天，
一队、二队的工作效率分别为
()11
140%12
20
?-=
和
()13110%15
50
?-=
，二队的工作效率比一队高
3115020100
-=
．由
1
1
:
5:360100=知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工
程的
11
13512
20
2
?+
?=
，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．
方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。
【例 20】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作
效率就要降低，只能完成原来的
45
，乙只能完成原来的910
．现在要8天完成这项工程，两人合
做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?
【解析】 因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余工程应
由甲单独完成．现设两人合作x 天，则甲单独做8-x 天，于是得到方程(
110
×80％+115
×90％) ×
x +
110
×(8-x )=l ，解出x =5.所以，在满足条件下，两人至少要合作5天．
【例 21】 （难度等级 ※※※※）一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20
天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成
14
时，突然遇到了地下水，影
响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方
土?
【解析】 甲、乙合作时工作效率为(
116
+
120
)×(1+20%)=
27200．则
14
的工程量需
14
÷
27200
=
5027
(天)，则
遇到地下水后，甲、乙两队又工作了10-5027
=
220
27
(天)．则此时甲、乙合作的工作效率为
34
÷
22027=
81880
．遇到地下水前后工作效率的差为:
27
200
-
81880
=
1894400
，则总工作量为47.25÷
1894400
=1100方土.
【例 22】 （难度等级 ※※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第1试）甲、乙两个工程队分别负责
两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的30%和80%．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨
的天数是 天．
【解析】 在晴天，甲、乙两队的工作效率分别为110和
116
，甲队比乙队的工作效率高
11310
16
80
-
=
；
在雨天，甲队、乙队的工作效率分别为
1330%10
100
?=
和
1180%16
20
?=
，乙队的工作效率比甲队
高
13120100
50
-
=．由于两队同时开工、同时完工，完成工程所用的时间相同，所以整个施工期间，
晴天与雨天的天数比为
13:8:15
5080
=．
如果有8个晴天，则甲共完成工程的13815 1.2510100
?+
?=，而实际的工程量为
1，所以在施工期
间，共有8 1.25 6.4÷=个晴天，15 1.2512÷=个雨天．
模块三、工程问题方法与技巧
（一）整体分析法
【例 23】 （难度等级 ※※※）甲、乙两队合作挖一条水渠要30天完成，若甲队先挖4天后，再由乙队
单独挖16天，共挖了这条水渠的
25
．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
【解析】 法一：甲、乙合作完成工程的
25
需要：23012
5?=(天)．甲队先做4天，比合作少了1248-=(天)；
乙队后做16天，比合作多了16124-=(天)，所以甲队做8天相当于乙队做4天，甲、乙两队工作效率的比是4:81:2=．甲队单独工作需要：3030290+?=(天)；乙队单独工作需要：
3030245+÷=(天)。
法二：我们知道，甲乙合作，每天可以完成工程的
130
，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由
乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天，于是两队合作4天，可以完成工程的
12430
15
?=
，也就是说乙队12天挖了
2245
15
15
-
=
，于是乙队的工作效率为
411215
45
÷=
，那么甲队的工作效率就是11130
45
90
-=，即甲队单独做需要90天，乙队单独做需
要45天。工程问题里面也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系．其实这一点是与工程习惯无关的．
【例 24】 （难度等级 ※※※）（2008年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第二试，第8题）
甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的
12
，乙生产的个数
是甲、丙两人生产个数之和的1
3
，丙生产了50个。这批玩具共有_________________个.
【解析】 如果直接研究甲、乙、丙三者之间的关系，可能会略显复杂，我们需要引入一个中间量：甲乙丙
三人生产玩具数量的总和。甲是乙丙和的12
，则总和为3，甲占了1份，甲占了总数的
13
；乙是
甲丙和的1
3，同理可知乙占了总数的
14
，那么可知丙生产的玩具占总数的11513412
--=，所以总
数是55012012
÷
=（个）.
【例 25】 （难度等级 ※※※）(2008年实验中学考题)几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面
积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？
【解析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地
的草(甲地草的14
)，所以这些人在上午也能割甲地
14
的草，所以12人一天割了甲地3
4
的草，每
人每天割草为
3112416
÷=
，全部的草为甲地草的
54
，5120
416
÷=，所以共有20名学生．
【巩固】 （难度等级 ※※※）一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工
作量的1
12倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有
712
的人去甲工
地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，
那么这批工人有多少人？
【解析】 根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x 人．
那么上午有9x 人在甲工地，有3x 人在乙工地；下午有7x 人在甲工地，有5x 人在乙工地．所以甲
工地相当于()9728x x x +÷=人做了一整天；乙工地相当于()3524x x x +÷=人做了一整天．
由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的
32
倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作
量是2份．8x 人做一整天完成3份，那么4x 人做一整天完成32
份，所以乙工地还剩下3122
2
-
=
份．这
12
份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要143242??
?÷
= ??
?
人做一整天，
即824x =，
可得3x =，那么这批工人有12336?=(人)．
【例 26】 （难度等级 ※※※）（2009年第七届“希望杯”六年级第2试）有两个同样的仓库，搬运完其
中一个仓库的货物，甲需要6小时，乙需要7小时，丙需要14小时．甲、乙同时开始各搬运一
个仓库的货物，开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完．则
丙帮甲 小时，帮乙 小时．
【解析】 整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们
完成工作的总时间为1
11212()67144
÷+
+=
小时．在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，
丙则在两个仓库都搬运过．甲完成的工作量是1
2176
48
?
=，所以丙帮甲搬了7118
8
-
=
的货物，丙
帮甲做的时间为1131
8
14
4
÷
=小时，那么丙帮乙做的时间为21311
3
442
-=小时．
【巩固】 （难度等级 ※※※）搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时．有同样
的仓库A 和B ，甲在A 仓库，乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮
乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物．丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
【解析】 甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：111
2(
)810
12
15÷++
=小时，丙帮助甲搬运了111831015??
-?÷= ???
小时，丙帮助乙搬运了835-=小时．
【例 27】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程，B 工程的工作量是A 工程工
作量再增加
14
，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成A 工程所需要的时间分别是20天，24天，
30
天．现在让甲队做A 工程，乙队做B 工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B
工程若干天，然后再与甲队合做A 工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？ 【解析】 这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，
即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A 工程的工作总量为单
位“1”，那么B 工程的工作量就是“
54
”，那么这个问题就和例5联系到了一起了。
三队合作完成两项工程所用的天数为：5111118
4202430????
+÷++= ? ??
???
天。18天里，乙队一直在完
成B 工作，因此乙的工作量为131824
4
?=
，B 剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在B 工程上
用了531
154
430
??-
÷=
?
??天也就是说两队合作了15天。
解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率?工作时间=工作总量，表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率．
【例 28】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货
物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天三人又到两个大仓库工作，这两个仓库的工作量相同．甲在A 仓库，乙在B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16个小时将两个仓库同时搬完．丙
在A 仓库搬了多长时间？
【解析】 因为A 、B 两个仓库的工作量相同，所以甲、乙、丙如果都在其中一个大仓库工作，那么8小时
可以搬完．因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是1
11
::6:5:4
101215=，所以甲每小时可以完
成大仓库工作量的1
618654
20
?
=++，丙每小时可以完成大仓库工作量的1
418
654
30
?
=++．那么
甲16小时完成了A 仓库的
141620
5
?=
，丙在A 仓库搬了41(1)6
5
30
-÷
=小时．
【例 29】 （难度等级 ※※※※）一项工程，乙单独做要17天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这
样交替轮流做，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那
么比上次轮流的做法多用半天完工．问：甲单独做需要几天？
【解析】 甲、乙轮流做，如果是偶数天完成，那么乙、甲轮流做必然也是偶数天完成，且等于甲、乙轮流
做的天数，与题意不符；所以甲、乙轮流做是奇数天完成，最后一天是甲做的．那么乙、甲轮流做比甲、乙轮流做多用半天，这半天是甲做的．如果设甲、乙工作效率分别为1V 和2V ，那么
12112
V V V =+
，所以122V V =，乙单独做要用17
天，甲的工作效率是乙的2倍，所以甲单独做需要
1728.5÷=天．
【例 30】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲
先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？ 【解析】 ① 若甲、乙两人合作共需多少小时？
1151
11712
18365
??÷+
=÷
=
???（小时）．
②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？ 11351
17112
183636
??-?+
=-= ???．
③余下的136由甲独做需要多少小时？
11136
12
3
÷=
（小时）．
④共用了多少小时？ 117214
33
?+
=（小时）．
在工程问题中，转换条件是常用手法．本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时．这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了．
【巩固】 （难度等级 ※※※※）一件工程，甲单独做要6小时，乙单独做要10小时，如果接甲、乙、甲、
乙．．．顺序交替工作，每次1小时，那么需要多长时间完成？ 【解析】 甲1小时完成整个工程的
16
，乙1小时完成整个工程的
110
，交替干活时两个小时完成整个工程的
114610
15
+=，甲、乙各干3小时后完成整个工程的
44315
5
?=
，还剩下1
5
，甲再干1小时完成整个
工程的
16，还剩下130
，乙花1
3
小时即20分钟即可完成．所以需要7小时20分钟来完成整个工程．
【巩固】 （难度等级 ※※※※）规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着
做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时？
【解析】 根据题意，有：
10.810.6++ 甲乙甲乙甲小时乙小时乙甲乙甲乙小时甲小时
，可知，甲做10.60.4-=小时与乙做10.80.2-=小
时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量．
所以，乙单独工作需要9.85527.3-+÷=小时．
【巩固】 （难度等级 ※※※※）蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需5小
时；排光一池水，单开排水管需3小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……
的顺序轮流各开1小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？(精确到分钟)
【解析】 法一：
1小时排水比1小时进水多
1123515
-=，1
2132
15
10
÷
=
，说明排水开了3小时后（实际加上进
水3小时，已经过去6小时了），水池还剩一池子水的110
，
再过1小时，水池里的水为一池子水的11310
510
+=，
把这些水排完需要31910310
÷=小时，不到1小时，
所以共需要 99617
1010
++=小时7=小时54分．
法二：
1小时排水比1小时进水多
1123515
-=，
211415
2
30
?-
=
，
说明8小时以后，水池的水全部排完，并且多排了一池子水的130
，
排一池子需要3小时，排一池子水的130
需要11330
10
?
=
小时，
所以实际需要1987
10
10
-
=小时7=小时54分．
【巩固】 （难度等级 ※※※※）一项工程，甲、乙合作312
5
小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时
乙做，这样交替轮流做，恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多1
3小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？
【解析】 若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙
用的时间应与第一种做法相同，不会多1
3小时，与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲
做的，第二种做法中最后13
小时是甲做的，而这13
小时之前的一小时是乙做的，所以乙13
+
甲=甲，
得乙23
=
甲．甲、乙工作效率之和为：35112
5
63
÷=
，甲的工作效率为：
5231(1)63
3
63
21
÷+
=
=，
所以甲单独做的时间为112121
÷=(小时)．
【例 31】 （难度等级 ※※※※）甲、乙、丙3队要完成A ，B 两项工程．B 工程的工作量比A 工程的工
作量多
14
．甲、乙、丙3队单独完成A 工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完
成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙两队共同做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?
【解析】 设A 项工程的工程总量为“1”，那么B 工程的工程总量为
54
，A 、B 两项工程的工程总量为
1+
54
=
94
．而甲、乙、丙合作时的工作效率为
120
+
124
+
130
=
18
，甲、乙、丙始终在同时工作，所
以两项工程同时完成时所需的时间为94
÷
18
=18(天)．在这18天，乙完成18×
124
=
34
的工程量，
则B 工程中剩下的5
4-34
=
12
的工程量是由丙帮助完成，即12
÷
130
=15(天)．即丙队与乙队合作
了15天．
【例 32】 （难度等级 ※※※※※）蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单
开甲管需3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有
16
的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开1小时，
问多少时间后水开始溢出水池？
【解析】 甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：1
1117345660
-
+-=，循环5次后水池还空：171156
60
4
-
-
?=
，
14
的工作量由甲管注水需要：1134
3
4
÷
=
(小时)，所以经过334520
4
4
?+
=小时后水开始溢出水池．
【例 33】 （难度等级 ※※※※※）一件工程甲单独做50小时完成，乙单独做30小时完成．现在甲先做
1小时，然后乙做2小时，再由甲做3小时，接着乙做4小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时？ 【解析】 甲、乙交替各做四次，完成的工作量分别为：
1357
165050+++=，
2468
2030
30
+++=
，
此时剩下的工作量为162011(
)50
3075
-+=
．还需甲做
11275
503
÷=
(小时)，
所以共需22(1357)(2468)36
33
++++++++
=(小时)．
【例 34】 （难度等级 ※※※※※）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮
流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
【解析】 首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成．如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后
一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、
丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有1
2
+=++甲乙乙丙甲，可得
12
=
丙甲；而按丙、甲、乙的顺序去做，最后由乙做了半天来完成，这样有12+=++
甲乙丙甲乙
，
可得1
2
=丙乙．那么=甲乙，即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合．所以按甲、乙、丙的顺
序去做，最后一天是由甲完成的．那么有112
2
=+
=+
甲乙丙丙甲，可得34
=
乙甲，12
=
丙甲
．这
项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用1
31411410429???
?÷?++= ??
??
???天．
【例 35】 （难度等级 ※※※※※）甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工
作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用
12
天；
若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用1
3
天．已知甲单独完成这件工作需
10.75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天？
【解析】 以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．容易知道，第一种情况下一定不是完整
周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期1+天，第二种可能是完整周
期2+天．如果是第一种可能，有112
3=+
=+
甲乙丙丙甲
，得2
3
==乙丙甲．然而此时甲、乙、丙
的效率和为
1
2228110.7533129
?
??++= ???，经过4个周期后完成
281124129
129
?=
，还剩下112171129
129
-
=
，
而甲每天完成
141210.75
43
129
=
=
，所以剩下的17129
不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不
符，所以假设不成立．
再看第二种可能：
可得1
1
2
3
+=++=++甲乙乙丙甲丙甲乙，所以12
=丙甲，3
4
=乙甲．因为甲单独做需10.75天，所
以工作效率为
443
，于是乙的工作效率为
433434
43?=，丙的工作效率为
41243
2
43
?
=
．
于是，一个周期内他们完成的工程量为
43
2943
43
43
43
+
+
=．则需91443?
?
÷
=???
?
个完整周期，剩下
97144343
-
?=
的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是符合题意的．于是，根据第
二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是943
，所以三人合作完成工作需
要943714
43
99
÷
==天．
（二）等量代换法
【例 36】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 【解析】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合
作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3
倍.乙做13天，甲只要
133
天，丙做13天，乙要26天，而甲只要
263
天他们共同做13天的工作
量，由甲单独完成，甲需要1326132633
+
+=天
【例 37】 （难度等级 ※※※）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙
的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的1
5．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单
独抄需要多少天才能完成？
【解析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的1
8，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，
因此甲两天抄写书稿的18
，即甲每天抄写书稿的
116
；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从
而丙6天抄写书稿的
18
，即丙每天抄写书稿的
148
；于是可知乙每天抄写书稿的18
-116
-
148
＝
124
.
所以乙一人单独抄写需要1÷
124
=24天才能完成．
【例 38】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲独做6天完成，甲3天的工作量，乙要4天完成．两队合做2
天后由乙队独做，还要几天才能完成？
【解析】 法一：我们把工程看作两个人分别完成的，那么显然，甲在其中只工作了2天，剩下的都是乙完
成的。甲完成整个工作需要6天，除去自己完成的2天以外，剩下工作量甲需要4天完成，乙的工作效率是甲的34
，因此甲4天完成的量，乙需要41643
3
?=
天完成，除去与甲合作的2天以外，
乙还要做
161023
3
-=
天。
法二：甲的工作效率为16
，所以乙的工作效率为11346
8
?÷=
．两队合作2天后乙队独做还要
11110
122688
3??-?-?÷=
???天才能完成．
【例 39】 （难度等级 ※※※）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人
合做需要几天完成？
【解析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，
剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，
所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是2:3．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多
325+=天，所以乙独做需要的天数是：3(32)15
32
+?
=-(天)，甲独做需要15510-=(天)，甲、
乙合做需要111610
15??÷+
=
???
(天)．
【例 40】 （难度等级 ※※※）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做
20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
【解析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量．于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需要20424+=(天)完成，即乙的工作效率是
124
．
又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的
45
，为
14124530
?=，那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1111(
)13
24
30
3
÷+
=(天)．
【巩固】 （难度等级 ※※※）一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接
着做6小时也可以完成．如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？ 【解析】 根据题意可知，甲做862-=小时的工作量等于乙做1266-=小时的工作量， 可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量．
那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要631230?+=小时， 甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要30921-=小时．
【巩固】 （难度等级 ※※※）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，
乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？
【解析】 由题意可知，甲、乙合作的效率为
110
；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，
乙单独抄5小时，则乙单独工作的效率为11
18(138)1025
??-?
÷-= ??
?，
所以甲单独工作的效率
11310
25
50
-=．甲、乙两人的工作效率之比为
31
:3:25025=．
甲先抄2小时，这2小时的工作量如果两人合作，需要132(32)15
?÷+=小时， 所以剩下的工作量由甲、乙合作，还需要1
41018
55
-=小时．
【例 41】 （难度等级 ※※※※※）(2008年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一项工程，甲先做若干
天后由乙继续做，丙在工程完成
12
时前来帮忙，待工程完成56
时离去，结果恰按计划完成任务，
其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟13
3
天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前6天完成．还知道乙的工作效率是丙的3倍，问：计划规定的工期是多少天？
【解析】 丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成
56
时离去，所以乙、丙合做了全部工程的1
3
；如果丙
不来帮忙，这
13
的工程由乙独做，那么乙完成这1
3
的工程时间将比乙、丙合做多用
103
天．由于乙
的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的4
3
倍，那么乙独做所用的时间为乙、
丙合做所用时间的
43倍，所以乙、丙合做这13
的工程所用的时间为
104(
1)10
3
3
÷-=天．那么乙的
工效为1
1
110(1)3
3
40
÷÷+=
．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天
数为
1120
2
40
÷
=天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天(被分成了前后两段)乙一个人独做．那
么乙、丙共完成了全部工程的111710240312
+??=
，根据题意，这
712
的工程如果由甲独做，只需
要20614-=天，那么甲的工效为
711412
24
÷=
．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做
可比计划提前6天完成，所以原计划工期是24630+=天．
（三）比例法
【例 42】 （难度等级 ※※※）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零
件的
23
。已知甲与乙的工作效率之比是5:3，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
【解析】 乙5小时完成总工作量的2313
53
4
?
=+；乙每小时完成总工作量的1154
20
÷=
；乙需要完成的总工
作量为
12
；乙要完成这个任务还需要的时间：1155
220
÷-=（小时）
【例 43】 （难度等级 ※※※）一项工程，甲15天做了
14
后，乙加入进来，甲、乙一起又做了
14
，这时
丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?
【解析】 方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为
1.60
又乙、丙工作的
天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的14
的工程与甲、乙、丙合作完成1111442
-
-=的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+
猎狗追兔问题题库教师版
猎狗追兔问题 教学目标 1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一； 2．追及问题在分数应用题的理解与应用； 3．能够理解比例及相关知识的初步引入； 4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合； 5．统一及转化思想的应用。 知识精讲 一、猎狗追兔的出题背景 猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。 解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。 通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！
二、猎狗追兔问题 问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。 例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比， 相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步) 进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步) 关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。 【例 1】猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获此时猎狗 跑了多少步 【解析】方法一：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……”和“兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.兔跑72步的时间狗跑45步，兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时
小学奥数 6-2-4 经济问题(一).教师版
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。 2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。 3. 用解方程的方法求解。 4. 利用分数应该题的方法进行解题 一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本 利润率利润 成本成本； 1=?+售价成本（利润率），1=+售价 成本利润率 其它常用等量关系： 售价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 二、经济问题的一般题型 (1)直接与利润相关的问题： 直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。 (2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题： 涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。 三、解题主要方法 1．抓不变量(一般情况下成本是不变量) ； 2．列方程解应用题． 摸块一，物品的出售问题 例题精讲 知识点拨 教学目标 经济问题（一）
（一）单纯的经济问题 【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商 店从这60个皮箱上共获得多少利润？ 【考点】经济问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 6300-60×80=1500（元） 【答案】1500 【例 2】 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚 钱25%，求原价是多少元？ 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以 原价为：20054254+=（元） 【答案】254 【例 3】 王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5后，被迫降价为：5个 菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个． 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最 后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元． 【答案】2.4 【例 4】 昨天和今天，学校食堂买了同样多的蔬菜和肉，昨天付了250元，今天付了280元，原因如图 所示，那么，今天蔬菜付了 元。 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 采用假设法。如果都涨价10%，那么应该多付25010%25?=元，所以今天肉的总价为 (3025)(20%10%)50-÷-=元，那么蔬菜的总价为25050200-=元。 【答案】200元 【例 5】 奶糖每千克24元，水果糖每千克18元。买两种糖果花了同样多的钱，但水果糖比奶糖多4千 克。水果糖 千克，奶糖 千克。 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级
小学数学 走停问题.教师版
1、 学会化线段图解决行程中的走停问题 2、 能够运用等式或比例解决较难的行程题 3、 学会如何用枚举法解行程题 本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理。解题办法比较驳杂。 模块一、停一次的走停问题 【例 1】 甲、乙两车分别同时从A ，B 两城相向行驶，6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故障抛 描，修理2.5时后才继续行驶，因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A 城到B 城共用多长时 间？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 12.5时。由题意推知，两车相遇时，甲车实际行驶5时，乙车实际行驶7.5时。与计划的6时相 遇比较，甲车少行1时，乙车多行1.5时。也就是说甲车行1时的路程，乙车需行1.5时。进一步推知，乙车行7.5时的路程，甲车需行5时。所以，甲车从A 城到B 城共用7.5＋5＝12.5（时）。 【答案】12.5时 【例 2】 龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就 停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快 多少米？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 先算出兔子跑了330103300?=（米），乌龟跑了30215106750?+=（）（米） ，此时乌龟只余下69906750240-=（米） ，乌龟还需要240308÷=（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了83302640?=（米） ，所以兔子一共跑330026405940+=（米）．所以乌龟先到，快了699059401050-=（米） ． 【答案】1050米 【例 3】 快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到 第二次相遇共需多长时间？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 11时36分。快车5时行的路程慢车需行12.5－5＝7.5（时），所以快车与慢车的速度比为7.5∶5 ＝3∶2。因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单程，所以若两车都不停留，则第一次相遇到第二次相遇需10时。现在慢车停留1时，快车停留2时，所 以第一次相遇后11时，两车间的距离快车还需行60分，这段距离两车共行需3603632 ?=+（分）。第一次相遇到第二次相遇共需11时36分。 【答案】11时36分 例题精讲 知识点拨 教学目标 走停问题
最新小学奥数年龄问题题库教师版.
【例 1】 小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？ 【解析】 这道题有两种解答方法： 方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年6岁，再过6年6612+=（岁）；妈妈今年36岁，再过6年是（366+）岁，也就是42岁，那时，妈妈比小卉大421230-=（岁）． 列式：36666+-+（）（） 4212=- 30=（岁） 方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今年妈妈比小卉大（366-）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更简便． 列式：36630-=（岁） 答：再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大30岁． 【巩固】 小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老 师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？ 【解析】 经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小 英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）. 【巩固】 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？ 【解析】 五年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的 年龄差仍然是6岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题． 爸爸的年龄：726239+÷=（）(岁) 妈妈的年龄：39633-=(岁) 年龄问题
【巩固】 今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？ 【解析】 今年小宁比妈妈小33924-=（岁），那么小宁永远比妈妈小24岁．几年后小宁是妈妈岁数的一 半时，即妈妈年龄是小宁的2倍时，妈妈仍比小宁大24岁．这是个差倍问题．以小宁的年龄作为1倍量，妈妈年龄是2倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小宁24岁时是妈妈年龄的一半，因此再过24915-=（年）． 【巩固】 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁? 【解析】 6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和 是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄． 母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)， 母子6年前年龄和： 66－6×2＝54(岁)， 母亲6年前的年龄： 54÷ (5＋1)×5＝45(岁)， 母亲今年的年龄： 45＋6＝51(岁)． 【例 2】 小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之 和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？ 【解析】 今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和刚好是小航的6倍，则小航 今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小航增加年龄的6倍．即“小航今年的年龄”32+? 36=?，小航今年的年龄：18612-=（岁） ．小航父母今年的年龄和：12784?=（岁）．小航的爸爸比妈妈大4岁，所以小航的妈妈今年的年龄：844240-÷=（）（岁）． 【巩固】 学而思学校张老师和刘备、张飞、关羽三个学生，现在张老师的年龄刚好是这三个学生的年龄 和；9年后，张老师年龄为刘备、张飞两个学生的年龄和；又3年后，张老师年龄为刘备、关羽两个学生的年龄和；再3年后，张老师年龄为张飞、关羽两个学生的年龄和．求现在各人的年龄． 【解析】 张老师=刘备+张飞+关羽，张老师9+=刘备9++张飞9+，比较一下这两个条件，很快得到关 羽的年龄是9岁；同理可以得到张飞是9312+=（岁），刘备是93315++=（岁），张老师是
2019年经济学知识竞赛题库及答案(精华版)
2019年经济学知识竞赛题库及答案 一、单选题 1.经济学研究的基本问题是（d ） A、怎样生产 B、生产什么，生产多少 C、为谁生产 D、以上都是 2.恩格尔曲线从（ b）导出 A、价格——消费曲线 B、收入——消费曲线 C、需求曲线 D、无差异曲线 3.我国M1层次的货币口径是 D 。 A、MI=流通中现金 B、MI=流通中现金+企业活期存款+企业定期存款 C、MI=流通中现金+企业活期存款+个人储蓄存款 D、MI=流通中现金+企业活期存款+农村存款+机关团体部队存款 4.格雷欣法则起作用于 B 。 A、平行本位制 B、双本位制 C、跛行本位制 D、单本位制 5.宏观经济学的中心理论是（c ） A、价格决定理论； B、工资决定理论； C、国民收入决定理论； D、汇率决定理论。 6.根据消费函数，引起消费增加的因素是（B） A、价格水平下降； B、收入增加； C、储蓄增加； D利率提高。 7.以下四种情况中，投资乘数最大的是（D）
A、边际消费倾向为0.6； B、边际消费倾向为0.4； C、边际储蓄倾向为 0.3； D、边际储蓄倾向为0.1。 8.IS曲线向右下方移动的经济含义是（A）。 A、利息率不变产出增加； B、产出不变利息率提高； C、利息率不变产出减少； D、产出不变利息率降低。 9.水平的LM曲线表示（A）。 A、产出增加使利息率微小提高； B、产出增加使利息率微小下降； C、利息率提高使产出大幅增加； D、利息率提高使产出大幅减少。 10.各国在进行货物贸易统计时对于出口额的资料以（a ） A、 FOB计价 B 、CIF计价 C、 CFR计价 D、 EXW计价 11.真正能够反映一个国家对外贸易实际规模的指标是（ a） A、对外贸易量 B、对外贸易额 C 、对外贸易依存度 D、对外贸易值 12.以货物通过国境为标准统计进出口的是（ c） A、无形商品贸易 B、过境贸易 C、总贸易体系 D、国境贸易 13.当一国的出口额大于其进口额时，称为（d ） A、国际收支逆差 B、国际收支顺差 C、对外贸易逆差 D、对外贸易顺差 14.有效竞争理论是由（ a）提出 A、克拉克 B、马克思 C、贝恩 D、霍夫曼 15.产业组织是指（a ） A、同一产业内企业间的组织或市场关系 B、产业中同类企业的总和
列方程解行程问题教师版
列方程解行程问题 一、概念 一元一次方程三要素：1.含有未知数的代数式必须是整式（即分母不含有未知数） 2.只含有一个未知数 3.经整理后未知数的最高次数为1 2、解一元二次方程 三、行程问题中三个量之间的关系：路程=时间×速度，时间=，速度=（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） 行程问题解决方法：画图分析法 4、 常见的行程问题中的类型 直线型的行程问题 （1） 相遇问题 1、 同时相遇 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间=总路程 解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x=480 x=2 答：2小时后相遇 2、先后相遇 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，1小时之后，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里，快车开出几个小时后两车相遇？
慢车的速度×慢车的时间1+慢车的速度×慢车的时间2+快车的速度×快车的时间=总路程 解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100*1+100x+140x=480 答：小时后两车相遇。 3、同时不相遇（相距） 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相距60公里？ 情况一：相遇前相距 慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间+相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x+60=480 答：小时后相距60公里 情况二：相遇后相距 慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间-相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x-60=480 答：小时后相距60公里 慢车速×时间1 +慢车速×时间2 +快车速×时间2 =总路程 总结： 慢车速×时间+快车速×时间= 总路程
小学奥数年龄问题练习题(含答案)
小学奥数年龄问题练习题(含答案)
小学奥数《年龄问题》练习题 一、填空题 1.甲、乙两人的年龄和是33岁,甲比乙大3岁,那么甲岁,乙岁. 2.父亲今年47岁,儿子21岁, 年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍. 3.今年叔叔21岁,小强5岁, 年后叔叔的年龄是小强的3倍. 4.小明今年9岁,妈妈今年39岁,再过年妈妈年龄正好是小明年龄的3倍. 5.明明比爸爸小28岁,爸爸今年的年龄是明明年龄的5倍,明明今年岁,爸爸今年岁. 6.爸爸比小强大30岁,明年爸爸的年龄是小强的3倍,今年小强岁. 7.父亲比儿子大27岁,4年后父亲的年龄是儿子的4倍,那么儿子今年 岁. 8.现在母女年龄和是48岁,3年后母亲年龄是女儿年龄的5倍,那么母亲今年岁,女儿今年岁. 9.叔叔比红红大19岁,叔叔的年龄比红红的年龄的3倍多1岁,叔叔岁,红红岁. 10.弟弟今年8岁,哥哥今年14岁,当二人年龄之和是50岁时,弟弟岁,哥哥岁. 二、解答题 11．小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁,小刚5年后的年龄等于小明3前的年龄,求小刚、小明今年的年龄是多少? 12.哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄? 13.10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,15年后父亲的年龄是他儿子的2倍,问今年父子二人各多少岁? 14.今年小刚的年龄是明明年龄的5倍,25年后, 小刚的年龄比明明的年龄的2倍少16岁,今年小刚、明明各多少岁?
———————————————答案—————————————————————— 一、填空题 1. 从年龄和中减去3岁就是2个乙的年龄. 乙的年龄:(33-3)÷2=15(岁) 甲的年龄:15+3=18(岁) 2. 父亲与儿子的年龄差是(47-21)岁,几年前两人的倍数差为(3-1)倍,可求出儿子几年前的年龄. 儿子几年前年龄:(47-21)÷2=13(岁) 几年前:21-13=8(年) 3. 先求出叔叔与小强年龄差,几年后的倍数差,算出几年后小强的年龄. 小强几年后的年龄:(21-5)÷(3-1)=8(岁) 几年后:8-5=3(年) 4. 可先计算出二人的年龄差,再过几年折倍数差,由此可算出几年后小明的年龄. 小明几年后的年龄:(39-9)÷(3-1)=15(岁) 再过几年:15-9=6(年) 5. 由题意可知爸爸与明明的倍数差是(5-1)倍,而二人年龄差是28岁,由此可算出明明与爸爸的年龄. 明明年龄:28÷(5-1)=7(岁) 爸爸年龄:28+7=35(岁) 6. 可知两人年龄差是30岁,明年二人的倍数差是(3-1)倍,可得明年小强的年龄,由此算出今年小强的年龄. 小强明年年龄:30÷(3-1)=15(岁) 小强今年年龄:15-1=14(岁) 7. 由题可知二人的年龄差,4年后的倍数差,那么4年后儿子年龄可求,今年儿子的年龄也可求. 4年后儿子年龄:27÷(4-1)=9(岁) 儿子今年年龄:9-4=5(岁) 8. 现在母女年龄和是48岁,3年后年龄和增加(3×2)岁,可得母女的3年后年龄和,又知母亲3年后年龄是女儿年龄5倍,可得出女儿3年后的年龄,由此可得今年母女的年龄. 3年后母女年龄和:48+(3×2)=54(岁)
火车问题_题库教师版
火车问题 教学目标 1、会熟练解决基本的火车过桥问题. 2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系. 3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题 知识精讲 火车过桥常见题型及解题方法 （一）、行程问题基本公式：路程=速度?时间 总路程=平均速度?总时间； （二）、相遇、追及问题：速度和?相遇时间=相遇路程 速度差?追及时间=追及路程； （三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间； 2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度， （1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间； （3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）； 4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， （1）错车问题：相当于相遇问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间； 老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。 模块一、火车过桥（隧道、树）问题 【例 1】一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？
经济学基础试题及参考答案
2006～2007学年度第二学期《经济学基础》试卷（ A卷） 考试形式：开（√）、闭（）卷 题号一二三四五六七八总分统分人得分 注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。 得分阅卷人 一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一 个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ）
A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆 C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉
小学奥数教程之-年龄问题(三)计算题.教师版
2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问 题． 知识精讲 知识点说明： 一、年龄问题变化关系的三个基本规律： 两人年龄的倍数关系是变化的量 1. 2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量； 3. 、年龄问题的解题要点是： 两个人之间的年龄差不变 分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系． 抓住 “年龄差 ”不变． 应用 “差倍”、“和倍”或“和差 ”问题数量关系式． 求过去、现在、将来。 1．入手 2．关键 3．解法 4．陷阱 年龄问题变化关系的三个基本规律： 1．两人年龄的差是不变的量； 2.两个人的年龄增加量是不变的； 3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！ 例题精讲 年龄与和差倍分问题综合 【例 1】 王刚、李强和小莉、小芳是两对夫妻，四人的年龄和为 岁．小莉（ ）岁． 【考点】年龄问题 【难度】 3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯， 3 年级，初赛 【解析】 通过丈夫都比妻子大 5 岁，李强比小芳大 6 岁．知道李强和小莉才是夫妻，那么小莉比李强小 5岁， 王刚和小芳是夫妻，小芳比李强小 6岁，小芳又比王刚小 5 岁，可见王刚比李强小 1岁，画图如下： 132，丈夫都比妻子大 5 岁，李强比小芳大 6 我们可以先求出李强的年龄： （132+1+6+5）÷ 4=36（岁），那么小莉的年龄是： 36-5=31 （岁）。 答案】小莉 31岁。 例 2 】 一家三口人， 三人年龄之和是 72 岁，妈妈和爸爸同岁， 妈妈的年龄是孩子的 4 倍，三人各是多少岁？
考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答 解析】妈妈的年龄是孩子的4 倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4 倍，把孩子的年龄作为 1 倍数，已知三口人年龄和是7 2 岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4 ）=8（岁），妈妈的年龄是： 8×4=32 （岁），爸爸和妈妈同岁为32 岁. 【答案】孩子 8 岁，爸爸妈妈 32岁 例3】父子年龄之和是 45岁，再过 5 年，父亲的年龄正好是儿子的 4 倍，父子今年各多少岁？ 考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答 解析】再过 5 年，父子俩一共长了 10岁，那时他们的年龄之和是 45 10=55（岁），由于父亲的年龄是儿子的 4 倍，因而 55岁相当于儿子年龄的 4 1=5倍，可以先求出儿子 5 年后的年龄，再求出他们父子今年的年 龄． 5 年后的年龄和为： 45 5 2 55（岁）； 5 年后儿子的年龄： 55 （4 1）11（岁）儿子今年的年龄： 11 5 6 （岁），父亲今年的年龄： 45 6 39 （岁） 【答案】儿子 6 岁，父亲 39岁 巩固】父子年龄之和是 60岁， 8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，问父子今年各多少岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答 解析】由已知条件可以得出， 8 年前父子年龄之和是 60 8 2 44（岁），又知道 8年前父亲的年龄正好是儿子的 3倍，由此可得： 儿子：（60 8 2）（3 1）8 19 （岁）；父亲： 60 19 41（岁）【答案】父亲 41 岁，儿子 19 岁 18 岁．王老师今年 32岁，李老师今年多少岁? 考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答 解析】王老师比李老师大 20 3 18 3 6（岁）．故李老师今年的年龄为 32 6 26（岁）．【答案】 26岁 例5 】小明与爸爸的年龄和是53 岁，小明年龄的4 倍比爸爸的年龄多2 岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？考点】年龄问题【难度】3 星【题型】解答 解析】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系： 小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁）， 爸爸的年龄是：53－11＝42（岁）， 小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．答案】 31岁 例6 】我们每次过生日都要吃蛋糕，一般蛋糕上面都要插蜡烛，而且蜡烛数目恰好等于他生日那天的年龄小明每年过生日都要吃蛋糕，今天又是小明的生日，从出生到今天，他的生日蛋糕共有24 根蜡烛，则小明今天过的是 _____________________________________ 岁生日． 考点】年龄问题【难度】3 星【题型】填空 关键词】学而思杯，4 年级，第2 题 解析】 1 2 3 4 5 6 21， 1 2 3 4 5 6 7 28，无法达到 24。所以小明不是每年都能过生日，只有二月29 日会使得他每四年过一次生日。 24 4 6，6 1 2 3，小明过得是 4岁、 8岁、12岁生日。所以小明今天过的是 12岁生日。 答案】 12 岁。 例7】甲、乙、丙三人平均年龄为 42岁，若将甲的岁数增加 7 ，乙的岁数扩大 2倍，丙的岁数缩小 2 倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？ 考点】年龄问题【难度】4 星【题型】解答 关键词】迎春杯，决赛 解析】当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。 甲增加 7 岁后，三人总年龄是 42 3 7 133岁，并且这时丙是甲的 2倍，甲是乙的 2 倍，丙是乙的 4 倍，所
(完整版)最全的走停行程问题总结
走走停停的行程问题 1、骑车人沿公共汽车路线前进，他每分行300米，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，公共汽车每分行700米，并且每行3分到达 一站停车1分。问：公共汽车多长时间追上骑车人？ 方法一：11分。提示：列表计算： 方法二： 3*(700-300)=1200（米）即当人车的距离小于或等于1200米时，汽车与人的速度差是700-300=400（米/分）;当人车的距离大于1200米时，汽车的平均速度是700×3/4=525（米/分）这时汽车与人的速度差是 525-300=225（米/分）因为：3000>1200 3000-225*4=2100>1200; 3000-225*8=1200（米）; 1200/400=3（分钟） 8+3=11（分钟）公共汽车11分钟追上骑车人。 方法三： 假设汽车不停, 那么汽车追上骑车人至少需要: 3000/(700-300)=7.5(分钟) 所以可以知道在此时间内汽车至少要停两次,花费8分钟. 汽车8分钟行驶距离: 700*(8-2)=4200(米)，骑车人8分钟行驶距离: 300*8=2400(米) ， 8分钟后 人车相距: 3000+2400-4200=1200(米)，1200米小于汽车三分钟行驶距离, 因此, 汽车追上骑车人还需要: 1200/(700-300)=3(分钟) 结论: 汽车追上骑车人需要: 8+3=11(分钟) 方法四： 700-300=400（m） (400+400+400-300)+（400+400+400-300）+（400+400+400）=3000(m)
4 + 4 + 3 =11(分)答：公共汽车11分追上骑车人。
典型应用题(年龄问题)
典型应用题(年龄问题)
学生姓名：年级：小升初科目：数学 授课教师：贺琴授课时间：学生签字： 年龄问题 年龄问题是一类与计算有关倍数的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现，有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要加以解决。 解答年龄问题，要灵活运用一下三个规律： 1. 无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的； 2. 随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量； 3. 随着时间的变化，两人年龄之间的倍数关系也会发生变化。 1、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？ 2、妈妈今年的年龄是小红的4倍，3年前妈妈和小红的年龄和是39岁。妈妈 和小红今年各几岁？ 3、今年小红的年龄是小梅的5倍，3年后小红的年龄是小梅的2倍，二人今年 各几岁？
4、甜甜的爸爸今年28岁，妈妈26岁，再过几年她的爸爸和妈妈的年龄和是 80岁？ 5、小雨一家由小雨和她的爸妈组成。爸爸比妈妈大3岁，今年全家年龄总和是 71岁，8年前年龄总和是49岁，今年3人各几岁？ 6、小刚说：“去年爸爸比妈妈大4岁，我比妈妈小26岁。”请你算一算，今年 小刚的爸爸比小刚大几岁？ 7、老张、阿明和小红三人共91岁，已知阿明22岁，是小红年龄的2倍，问老 张几岁？ 8、儿子的年龄是爸爸的1 4 ，三年前父子年龄之和是49岁。求父子现在的年龄 各多少岁？ 9、妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍。多少年后，妈妈的年龄恰好是女 儿的3倍？
10、小明今年8岁，他与爸爸、妈妈的年龄和是81岁，多少年后他们的平 均年龄是34岁？这时小明几岁？ 11、小冬今年12岁，五年前爷爷的年龄是小冬年龄的9倍，爷爷今年几岁？ 12、妈妈今年40岁，恰好是小红年龄的4倍，多少年后，妈妈的年龄是小 红的2倍？ 13、一家三口人，三人的年龄和是72岁。妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是 孩子的4倍，三人各是多少岁？ 14、今年，祖父的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年 龄的5倍？又过了几年后，祖父的年龄将是小明年龄的4倍？ 15、三年前爸爸的年龄正好是儿子年龄的6倍，今年父子年龄和是55岁， 小刚今年多少岁？
2019教师招聘考试试题库和答案(最新完整版)45825
一、选择 1. 1903年,在美国出版第一本《教育心理学》的心理学家是(1.1) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[A] 2. 20世纪60年代初期,在美国发起课程改革运动的著名心理学家是(1.2) A．桑代克B．斯金纳C．华生D．布鲁纳[D] 3. 已有研究表明,儿童口头语言发展的关键期一般在(2.1) A．2岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[ A] 4. 儿童形状知觉形成的关键期在(2.2) A．2-3岁B．4岁C．5岁以前D．1—3岁[B ] 5. 人格是指决定个体的外显行为和内隐行为并使其与他人的行为有稳定区别的 A．行为系统B．意识特点C．综合心理特征D．品德与修 养[ C] 6. 自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的(2.4) A．控制B．基本看法C．改造D．意识[ D] 7. 广义的学习指人和动物在生活过程中,（凭借经验）而产生的行为或行为潜能的相对(3.1) A．地升华B．发挥C．表现D．持久的变化[ D] 8. 桑代克认为动物的学习是由于在反复的尝试—错误过程中,形成了稳定的 A．能力B．技能C．兴趣D．刺激—反应联结[D ] 9. 提出经典条件反射作用理论的巴甫洛夫是 A．苏联心理学家B．美国心理学家C．俄国生理学家和心理学
家D．英国医生[C ] 10. 先行组织者教学技术的提出者是美国著名心理学家 A．斯金纳B．布鲁纳C．奥苏伯尔D．桑代克[C ] 11. 根据学习动机的社会意义,可以把学习动机分为(4.1) A．社会动机与个人动机B．工作动机与提高动机C．高尚动机与低级动机D．交往动机与荣誉动机[ C] 12. 对学习内容或学习结果感兴趣而形成的动机,可称为 A．近景的直接动性机B．兴趣性动机C．情趣动机D．直接性动机[ A] 13. 由于对学习活动的社会意义或个人前途等原因引发的学习动机称作 A．远景的间接性动机B．社会性动机C．间接性动机D．志向性动机[A ] 14. 由于个体的内在的需要引起的动机称作 A．外部学习动机B．需要学习动机C．内部学习动机D．隐蔽性学习动机[C] 15. 由于外部诱因引起的学习动机称作 A．外部学习动机B．诱因性学习动机C．强化性动机D．激励性学习动机[ A] 16. 学习迁移也称训练迁移,是指一种学习对(5.1) A．另一种学习的影响B．对活动的影响C．对记忆的促进D．对智力的影响[ A] 17. 下面的四个成语或俗语中有一句说的就是典型的对迁移现象。
经济学基础试题及参考答案汇总
2006～2007学年度第二学期 《经济学基础》试卷（ A卷） 考试形式：开（√）、闭（）卷 题号一二三四五六七八总分统分人得分 注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。 得分阅卷人 一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一 个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ） A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆
C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉 B、大白菜 C、点心 D、大米 10、若价格从3元降到2元，需求量从8个单位增加到10个单位，这时卖方的总收益：（ C ） A、增加 B、保持不变 C、减少 D、不一定
小学奥数年龄问题题库教师版.
年龄问题 【例 1】小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？ 【解析】这道题有两种解答方法： 方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年6岁，再过6年6612 +=（岁）；妈妈今年36岁，再过6年是（366 +）岁，也就是42岁，那时，妈妈比小卉大421230 -=（岁）． 列式：36666 +-+ （）（） =- 4212 =（岁） 30 方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今年妈妈比小卉大（366 -）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更简便． 列式：36630 -=（岁） 答：再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大30岁． 【巩固】小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？ 【解析】经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）. 【巩固】爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？【解析】五年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸妈的年龄差是6岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁．这样原问题就归结成“已知爸爸、妈妈的年龄和是72岁，他们的年龄差是6岁，求二人各是几岁”的和差问题． 爸爸的年龄：726239 +÷= （）(岁) 妈妈的年龄：39633 -=(岁) 【巩固】今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？ 【解析】今年小宁比妈妈小33924 -=（岁），那么小宁永远比妈妈小24岁．几年后小宁是妈妈岁数的一半时，即妈妈年龄是小宁的2倍时，妈妈仍比小宁大24岁．这是个差倍问题．以小宁的年龄作为1倍量，妈妈年龄是2倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小宁24岁时是妈妈年龄的一半，因此再过24915 -=（年）． 【巩固】6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁? 【解析】6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄． 母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)，
时钟问题.题库教师版
时钟问题 教学目标： 1．行程问题中时钟的标准制定； 2．时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算； 3．时钟的周期问题. 知识点拨： 时钟问题知识点说明 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟， 具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为分。 例题精讲： 模块一、时针与分针的追及与相遇问题 【例1】王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒.而闹钟却比标准时间每小时慢30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？ 1【解析】 闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快 那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时 手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1
计量经济学题库(超完整版)及答案
2．已知一模型的最小二乘的回归结果如下： i i ?Y =101.4-4.78X 标准差 （45.2） （1.53） n=30 R 2 =0.31 其中，Y ：政府债券价格（百美元），X ：利率（%）。 回答以下问题：（1）系数的符号是否正确，并说明理由；（2）为什么左边是i ?Y 而不是i Y ； （3）在此模型中是否漏了误差项i u ；（4）该模型参数的经济意义是什么。 13．假设某国的货币供给量Y 与国民收入X 的历史如系下表。 某国的货币供给量X 与国民收入Y 的历史数据 根据以上数据估计货币供给量Y 对国民收入X 的回归方程，利用Eivews 软件输出结果为： Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X 1.968085 0.135252 14.55127 0.0000 C 0.353191 0.562909 0.627440 0.5444 R-squared 0.954902 Mean dependent var 8.258333 Adjusted R-squared 0.950392 S.D. dependent var 2.292858 S.E. of regression 0.510684 F-statistic 211.7394 Sum squared resid 2.607979 Prob(F-statistic) 0.000000 问：（1）写出回归模型的方程形式，并说明回归系数的显著性（） 。 （2）解释回归系数的含义。 （2）如果希望1997年国民收入达到15，那么应该把货币供给量定在什么水平？ 14．假定有如下的回归结果 t t X Y 4795.06911.2?-= 其中，Y 表示美国的咖啡消费量（每天每人消费的杯数），X 表示咖啡的零售价格（单位：美元/杯），t 表示时间。问： （1）这是一个时间序列回归还是横截面回归？做出回归线。 （2）如何解释截距的意义？它有经济含义吗？如何解释斜率？（3）能否救出真实的总体回归函数？ （4）根据需求的价格弹性定义： Y X ?弹性＝斜率，依据上述回归结果，你能救出对咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？ 15．下面数据是依据10组X 和Y 的观察值得到的： 1110=∑i Y ，1680 =∑i X ，204200=∑i i Y X ，315400 2=∑ i X ，133300 2 =∑i Y 假定满足所有经典线性回归模型的假设，求0β，1β的估计值； 16.根据某地1961—1999年共39年的总产出Y 、劳动投入L 和资本投入K 的年度数据，运用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：