2016年重庆南开中学高2016级高三(上)1月月考 理科数学

重庆南开中学高2016级高三(上)1月月考

数学试题(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试时间l20分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.

(1)设复数z 的共轭复数为z ，若()i z i 21=-，则复数z=( )

(A)i (B)i - (C)i +-1 (D)i --1

(2)已知等差数列{}n a 满足：21085=-+a a a ，则{}n a 的前5项和=5S ( )

(A)12 (B)10 (C)9 (D)8

(3)“命题“q p ∨”为假”是“命题“q p ∧”为假”的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(4)已知双曲线事()00122

22＞，＞b a b

y a x =-的一条渐近线与直线y=2x+5平行，则双曲线的离心率 等于( )

(A)2 (B)5 (C)5 (D)6

(5)下列四个函数中，图象既关于直线π125=x 对称，又关于点??

? ??06，π对称的是( ) (A) ??? ??

-=32sin πx y (B) ??? ?

?+=32sin πx y (C) ??? ??

+=64sin πx y (D) ??? ?

?-=64sin πx y

(6)执行如图所示的程序框图，则输出n 的个数是( )

(A)8

(B)7

(C)6

(D)5

(7)已知函数()()???≥+=0

sin 022＜，，x x x x x x f π，若()1-≥-mx x f 恒成立，则实数m 的最大值为( )

(A)2 (B)22 (C)6 (D)4

(8)在()33211+??

? ??+x x 的展开式中，常数项为( ) (A)36 (B)48 (C)63 (D)72

(9)已知圆422=+y x O ：，直线062=-+y x l ：，则圆O 上任意一点A 到直线l 的距离小于3的 概率为( ) (A)6

π (B)31 (C)12π （D)61 (10)已知实数x ，y 满足可行域??

???≥≥+-≤-+00623042y y x y x D ：，曲线0=-+a y x C ：

恰好平分可行域D 的面积，则a 的值为( )

(A)2 (B)

223 (C) 26 (D)4

63 (11)如图，21F F 为椭圆13

42

2=+y x C ：的左、右焦点，点P 为椭圆C 上一点，延长1PF ，2PF 分 别交椭圆C 于A ，B ．若A F PF 112=，B F PF 22λ=，则

=λ ( ) (A)1 (B)2 (C)

3

4 (D)4

5 (12)设函数()x f '是函数()()R x x f ∈的导函数，()10=f ，且()()3'3-=x f x f ，则()()x f x f '4＞ 的解集为( )

(A) ??? ??∞+，34ln (B) ??? ??∞+，32ln (C) ???? ??∞+，23 (D)

???

? ??∞+，2e

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上．

(13)已知随机变量ξ服从正态分布()()02

＞，μσμN ，且()802．＜=μξp ，则()=μξμ2＜＜p ． (14)若向量a 与b 满足2=a ，2=b ，()

a b a ⊥-，则向量a 与b 的夹角的余弦值为 ． (15)用4种不同的颜色对图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点进行染色，要求同一线段的两点(如：AC ，BD ，…)颜色不相同，而且相邻的两点(如：AB ，BC ，…)

颜色也不相同，则不同的染色方案种数为 (用数学作答)．

(16)用{}y x ，max 表示y x ，两个数中的最大数，若ABC ?的三个内角满足：A ≤B ≤C ，则

?

?????C B B A sin sin sin sin max ，的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分12分)

已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()

*∈-=N n a S n n 332．

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)若数列{}n b 满足：n n n a a b +=3log ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

(18)(本小题满分12分)

在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()A c b C a cos 2cos -=．

(Ⅰ)求A ∠的大小；

(Ⅱ)若a=3，求ABC ?面积S 的取值范围．

(19)(本小题满分l2分)

某小组为了研究中学生的视觉和空间能力是否与性别有关，从学校各年级中按分层抽样的方袒 抽取50名同学(男生30人，女生20人)．给每位同学难度一致的几何题和代数题各一道，让他们 自由选择一道题进行解答．50名同学选题情况如下表：

(Ⅰ)能否据此判断有97.5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

(Ⅱ)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙 两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)．

参考公式和数据：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2

2

(20)(本小题满分12分)

已知椭圆()012222＞＞：b a b

y a x C =+的离心率为23，右顶点A 是抛物线x y 82=的焦点．过 D(1，0)直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点．

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)若AQ AP AM +=，且点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求直线l 的方程．

(21)(本小题满分12分)

已知函数()()()R m x

m x x f ∈+++=2121ln ． (Ⅰ)若函数()x f 的图象在x 轴上方，求m 的取值范围；

(Ⅱ)若对任意的正整数n 都有221e n a n ≥??? ??+-成立，求a 的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

(22)(本小题满分10分)选修4—l ：几何证明选讲

如图，四边形ABDC 内接于圆，BD=CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点． (Ⅰ)求证：DCE EAC ∠=∠2；

(Ⅱ)若BD ⊥AB ，BC=BE ，AE=2，求AB 的长．

(23)(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建

立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为??? ??+=4cos 22πθρ，直线l 的参数方程为?

??+-==t y t x 221 (t 为 参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．

(Ⅰ)求圆C 及l 的直角坐标方程；

(Ⅱ)求PAB ?面积的最大值．

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设函数()()R x x x x f ∈++=12

1的最小值为a ． (Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)已知两个正数m ，n 满足a n m =+22，求n m 11+的最小值．