2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

考点6 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

【考点分类】

热点一 指数函数、对数函数

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ） (A) ·log log log a c c b a b = (B) c ·log log log a a b a b = (C) ()log og g l lo a a a b c bc =

(D) ()log g og o l l a a a b b c

c +=+

2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】已知y x ,为正实数，则（ ） A.y x y

x lg lg lg lg 222

+=+ B. lg()lg lg 222x y x y += C.y x y

x lg lg lg lg 222

+=? D. lg()lg lg 222xy x y =

3.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ）

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

4.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】设a =log 36,b=log 510,c=log 714,则（ ） （A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c 【答案】D

5.

（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12

x

y e =

上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为（ ） A ．1ln 2- B

ln 2)-

C ．1ln 2+

D

ln 2)+

6.【2013

年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】

____________.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】函数1

2log ,1

()2,

1

x

x x f x x ≥??=??

______.

8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理】方程

1313313

x x -+=-的实数解为________.

9.（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.

10.（2012年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,

22()()f a f b +=_________.

11.（2012年高考（上海理））已知函数

||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是

_________ .

12.（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f .

(1)若1)()21(0<--

(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.

【方法总结】

1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．

2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．

(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．

5．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．

热点二幂函数、二次函数

13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】已知,,a b c R ∈，函数2()f x ax bx c =++，若

(0)(4)(1)f f f =>，则（ ）

A 、0,40a a b >+=

B 、0,40a a b <+=

C 、0,20a a b >+=

D 、0,20a a b <+= 【答案】A

【解析】此题利用二次函数图像即可求解，体现数形结合思想的应用. 如图3所示由(0)(4)f f =知，函数的对称轴是2402b

x b a a

=-

=∴+=，由(0)(1)f f >知函数在对称轴的左边递减，所以开口向上.所以选A.

14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】已知函数

()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设

()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示

,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=

（ ）

（A ）16 （B ） 16-

（C ）2216a a -- （D ）2

216a a +-

【答案】B

【解析】由()=()f x g x 得()()2

2

2

2

22228.x a x a x a x a -++=-+--+整理得：2

2(-)=8x a

15.【2013年普通高等学校统一考试天津卷理科】已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ??

-?????

, 则实数a 的取值范围是（ ）

(A) ?????

(B) ?

????

(C) ?? ?????

??

(D) ?- ?

?∞

16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】函数()2ln f x x =的图像与函数()2

45g x x x =-+的图

像的交点个数为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

17.【2013年全国高考新课标（I ）理科】若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______. 【答案】16

18.（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式2

20x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的

取值范围是_________.

19.（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x

g x =-.若,()0x R f x ?∈< 或()0g x <,则m 的取值范围是________.

20.（2012年高考（山东理））设函数21

(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x

=

=+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ）

A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>

B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<

C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<

D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>

21.（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ?-?=??-?a b

a b

≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,

且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.

可得0,21),41,0(132<=

+∈x x x m ，且↑↑→||,,4

1

132x x x m

【方法总结】

1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；

2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．

3.幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查

(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一 象限的图象下降，反之也成立．

(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

【考点剖析】

一．明确要求

1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.

2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.

4.结合函数y ＝x ，y ＝x 2

，y ＝x 3

，y ＝x 12

，y ＝1

x 的图象，了解它们的变化情况．

二．命题方向

1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．

2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．

3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．

4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．

5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．

6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.

三．规律总结

1.指数规律总结 一个关系

分数指数幂与根式的关系

根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范

(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．

(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点

画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，? ?

???－1，1a .

2.对数函数规律总结 一种思想

对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明． 两个防范

解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． 三个关键点

画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，? ????

1a ，－1.

四种方法

对数值的大小比较方法

(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结 五个代表

函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3

，y ＝x 1

2，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2

2对称．

(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

【考点模拟】

一．扎实基础

1. 【山东省烟台市2013届高三第一次模拟诊断性测试】已知幂函数y=f （x ）的图象过点（1,22

），

则log 2f （2）的值为（ ）

A ．

1

2

B ．-

1

2

C ．2

D ．-2

2. 【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】若函数y ＝()f x 是函数y ＝x a (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其

图象经过点(a ，a )，则()f x （ ） A ．2log x B ．12

log x C .

12

x D ．2

x

3. 【广东省惠州市2013届四月高三第一次模拟考试】生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月

生产某种商品x 万件时的生产成本为21()2202

C x x x =++(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业

一个月应生产该商品数量为( )

A ．36万件

B ．18万件

C ．22万件

D ．9万件

4. 【江西师大附中、鹰潭一中2013届四月高三数学】函数1222

)2

1()(--+-=m mx x x f 的单调增区间与值域相同，则

实数m 的取值为( ) A ．2-

B ．2

C ．1-

D ．1

5. 【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则

A.b a c <<

B.c b a <<

C. b c a <<

D.c a b <<

6. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】设2lg ,(lg ),a e b e c ===则（ ）

A. a b c >>

B. c a b >>

C. a c b >>

D. c b a >>

7. 【安徽省2013届高三开年第一考文】已知函数2()f x ax bx c =++，且()0f x >的解集为(2,1)-，则函数

()y f x =-的图像是（ ）

8. 【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】 已知13

2log a =，06

2b =.，43c =log ，则,,a b c

的大小关系为 ．

9. 【四川省成都高新区高2013届第4学月统一检测】=-??

?

??++-02

3

2335214log 3log .

10. 【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】若函数()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠ 有两

个零点，则实数a 的取值范围是 ．

二．能力拔高

11. 【湖南师大附中2013届高三第六次月考】设函数x x a a k x f --?=)(（0>a 且1≠a ）在),(+∞-∞上既是奇

函数又是增函数，则)(log )(k x x g a +=的图象是（ ）

12. 【北京市丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）】已知偶函数()()f x x R ∈，当[2,0]x ∈-时，

()(2)f x x x =+，当[2,)x ∈+∞时， ()(2)(),f x x a x a R =--∈.

关于偶函数()()f x x R ∈的图象G 和直线:()l y m m R =∈的3个命题如下：

①当4a =时，存在直线l 与图象G 恰有5个公共点；

②若对于[0,1]m ?∈，直线l 与图象G 的公共点不超过4个，则a ≤2；

③(1,),(4,),m a ?∈+∞?∈+∞使得直线l 与图象G 交于4个点，且相邻点之间的距离相等. 其中正确命题的序号是（ ）

(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③

13. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】函数()()130,1x f x a a a -=+>≠且的图象过一个定点P ，且

点P 在直线()100,0mx ny m n +-=>>上，则14

m n

+的最小值是（ ） A.12

B.13

C.24

D.25

14. 【上海市虹口2013届高三一模】

定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2

)()0(≠a 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）

.A 0042>>-a ac b 且 .B 042>-ac b .C 02>-a b .D 02<-a b

15. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】

已知函数()lg()x x f x x a b =+-中，常数101a b a b a b >>>=+、满足，且，那么()1f x >的解集为（ ） A ．(01)， B ．(1)+∞， C ．(110)， D ．(10)+∞，

013年度高三第二次诊断考试】函数()log (1)x a f x a x =++在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值是（ ）

A ．2

B ．

1

2

C ．4

D ．

14

17. 【天津市新华中学2011-2012学年度第一学期第二次月考】设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，满足条件

)1(+=x f y 是偶函数，且当1≥x 时，1)21()(-=x x f ，则)32(f ，)23(f ，)3

1

(f 的大小关系是（ ）

A. )31()23()32(f f f >>

B. )23()31()32(f f f >>

C. )31()32()23(f f f >>

D. )3

2()23()31(f f >>

18. 5.【2012-2013学年江西省南昌市调研考试】已知函数()ln ,01,f x x a b =<<<则

()(),f a f b a b

，()

f c c 的大

小关系是 .

19. 【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】对于定义在R 上的函数()f x ，若实数0

x 满足00()f x x =

，则称0x 是函数()f x 的一个不动点，若二次函数22()2f x x ax a =++没有不动点，则实数ａ

的取值范围是 .

【答案】1(,)4

+∞

20. 【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】已知函数1()2x f x -=的反函数为

111(),()()4,y f x f a f b ab ---=+==若则 .

三．提升自我

21. 【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】对于函数()f x ，如果存在锐角θ使得()f x 的图像绕坐标原点

逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数()f x 具备角θ的旋转性，下列函数具有角4

π

的旋转性的是（ ）

（A ）y = （B ）ln y x = （C ）1

()2

x y = （D ）2y x =

22. 【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】已知函数()()()122

2,log ,log x

f x x

g x x x

h x x =+=-=的零点分别为123,,x x x ，则123,,x x x 的大小关系是（ ）

A.123x x x >>

B.213x x x >>

C.132x x x >>

D.321x x x >>

2log ,y x y =110x -<<，201x <<，31x >，所以321x x x >>，选

D.

23. 【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】已知函数f(x)=2ax bx c ++,且,0a b c a b c >>++=，集合

A={m|f(m)<0}，则（ ）

(A) ,m A ?∈都有(3)0f m +> (B) ,m A ?∈都有(3)0f m +< (C) 0,m A ?∈使得f(m 0+3)=0 (D) 0,m A ?∈使得f(m 0

+3)<0

24. 【惠州市2013届高三第三次调研考试】．已知函数()21

212

1x x a x f x a a x ?+-?=??->?≤，

，，．若()f x 在()0+∞，

上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．

25. 【江苏省南通市2013届高三第三次调研测试】已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ?--?

=?++

数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB BC =，则实数t 的值为 ．

【考点预测】

1.设函数)01)(lg()(>>>-=b a b a x f x

x

，若)(x f 取正值的充要条件是),1[+∞∈x ，则a ，b 满足

（ ）

A ．1>ab

B ．1>-b a

C ．10>ab

D ．10>-b a

2.设n N +∈，111(1),(1)n n

x y n n

+=+=+，则（ ）

A ．y x x y =

B ．y x x y >

C ．y x x y <

D ．随n 变化，以上都有可能 【答案】A

【解析】由题意可得11(1)n n n x n +++=，(1)n n

n y n

+=，取对数可得：ln ln x y y x =，所以y x

x y =，故选A. 3.已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是（ ）

A ．),10(+∞

B ．)10,10

1

(

C ．)10,0(

D ．),10()10

1

,

0(+∞

4. 设m 、n ∈R ，定义在区间[m , n ]上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是[0, 2]，若关于t 的方程

()01||2

1=++m t (t ∈R )有实数解，则m +n 的取值范围是

. 5. 【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函 数1

y x -=,1

2

y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若

函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数23

3,2,

()log (1),2,x x f x x x -?≤=?->?则方程

1

()2

f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4