第一篇 集合与常用逻辑用语：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件
1．考查四种命题的意义及相互关系．
2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．
3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】
复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判
定．
基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题表述形式
原命题若p，则q
逆命题若q，则p
否命题若綈p，则綈q
逆否命题若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．
两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假．
三种方法
充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．
解析①由2＞－3?/ 22＞(－3)2知，该命题为假；
②a2＞b2?|a|2＞|b|2?|a|＞|b|，该命题为真；
③a＞b?a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c?a＞b；
∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．
答案②③
2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．
答案 D
3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.
答案 B
4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.
答案 D
5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.
答案若a≤b，则有2a≤2b－1
考向一命题正误的判断
【例1】?(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：
①A?B?对任意x∈A都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．
[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．
解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A?B但2∈A且2∈B.
②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A?B而A∩B＝{2}．
③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A?B但B?A.
④正确．
答案④
正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
【训练1】给出如下三个命题：
①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
②设a，b∈R，且ab≠0，若a
b＜1，则
b
a＞1；
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中不正确命题的序号是()．
A．①②③B．①②
C．②③D．①③
解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，
可举反例：如a、b异号，虽然a
b＜1，但
b
a＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，
显然为偶函数，故选B.
答案 B
考向二四种命题的真假判断
【例2】?已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．
A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真
命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．
解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D
判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，
如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2
e x，g(x)＝e
x都不是奇函数，故逆命题不正确，
故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．
答案 C
考向三充要条件的判断
【例3】?指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；
(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，
q：(x－1)(y－2)＝0.
[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．
解(1)在△ABC中，∠A＝∠B?sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．
(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q?綈p，但綈p?/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．
(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．
(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，
所以p?q但q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．
【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．
答案：C
难点突破2——高考中充要条件的求解
从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判
断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．
一、充要条件与不等式的解题策略
【示例】?(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、充要条件与方程结合的解题策略
【示例】?(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略
【示例】?(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略
【示例】?(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
【示例】? (2010·上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的(
)． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
集合与常用逻辑用语重要知识点
集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便)
2021版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件教案
第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 一、知识梳理 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件p?q且q?/p p是q的必要不充分条件p?/q且q?p p是q的充要条件p?q p是q的既不充分也不必要条件p?/q且q?/p 才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题． 常用结论 1．充要条件的两个结论 (1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．
2．一些常见词语及其否定 词语 是 都是 都不是 等于 大于 否定 不是 不都是 至少一个是 不等于 不大于 1．(选修1-1P8A 组T2改编)命题“若x 2 >y 2 ，则x >y ”的逆否命题是( ) A ．“若x
集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
命题及其关系
命题及其关系 知识点： 1. 命题： 1.1 概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 1.2 分类： 真命题 假命题 1.3 关系： 原命题 逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则 这两个命题称为互逆命题。 若原命题为“若p ，则q”，它的逆命题为“若q ，则p” 否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结 论的否定，则这两个命题称为互否命题 若原命题为“若p ，则q”，则它的否命题为“若 p ，则 q” 逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和 条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题 若原命题为“若 ，则 ”，则它的逆否命题为“若 ，则 ” 1,4 四种命题的真假性：（有且仅有一下四种情况） 规律： 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 2. 充分必要条件： 2.1 概念： 若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 全称量词：“?” 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词 存在量词：“?” 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词 全称命题：含有全称量词的命题 “对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ” 特称命题：含有特称量词的命题
“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 2.2 命题之间关系： 1）“且” p q ∧ 当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题； 当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 2）“或” p q ∨ 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题； 当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题 3）“非” p ? 若p 是真命题，则p ?必是假命题 若p 是假命题，则p ?必是真命题 2.3 全称命题的否定 全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?． 全称命题的否定是特称命题． 练习： 1. 给出命题：若函数y =f (x )是幂函数，则函数y =f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 2. 设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是?( ) A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0 B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0 C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0 D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 3. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R,则“2-x≥0”是“|x -1|≤1”的?( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
复合命题及其形式练习题
复合命题及其形式练习题 一、下列命题各属何种复合命题用适当的符号写出它们的命题形式。 1.倘能生存，我当然仍要学习。 2.工人、农民、解放军他都当过。 3.除非有效地治理各种人为的污染，否则不能保护环境。 4.当且仅当A和B两公式的逻辑值完全相同，它们才有等值关系。 5.并非强权就是公理。 6.只有什么事都不干的人，才不会犯错误。 7.如果某化合物具有很强的毒性，那么就要严格限制它的生产。 8.要么在沉默中死亡，要么在沉默中爆发。 9.某甲和某乙至少有一个人是案犯。 10.所有可靠的论证都是有效的，并且它们有真前提。 11.不实事求是，就不能做好工作。 12.你明天或者去看电影，或者去看球赛，二者不可兼得。 13.天下雨，路又滑。 14.人生不是一种享受，而是一桩十分沉重的工作。 15.某甲和某乙或者都是案犯，或者都不是案犯。 16.有则改之，无则加勉。 17.人要是没有自知之明，就会做蠢事。
18.这件事情的结局，不会有利于被告，只会有利于原告。 二、分析下列多重复合命题的形式。 1.行为在客观上虽然造成了损害结果，但是不是出于故意或者过失，而是由于不能抗拒或者不能预见的原因所引起的，不是犯罪。 2.明知自己的行为会发生危害社会的结果，并且希望或者放任这种结果发生，因而构成犯罪的，是故意犯罪，应当负刑事责任。 3.因不可抗力不能履行合同或者造成他人损害的，不承担民事责任，法律另有规定的除外。
参考答案一、 1.假言命题p→q 2.联言命题p∧q∧r 3.必要条件假言命题﹁p→﹁q 4.等值命题p←→q 5.负命题﹁p 6.必要条件假言命题﹁p→﹁q 7.假言命题p→q 8.排斥选言命题﹁(p←→q) 9.选言命题p∨q 10.联言命题p∧q 11.必要条件假言命题﹁p→﹁q 12.排斥选言命题﹁(p←→q) 13.联言命题p∧q 14. 联言命题p∧q 15.等值命题p←→q 16.联言命题(p→q)∧(﹁p→r) 17.假言命题p→q 18.联言命题p∧q 二、
知识点集合与常用逻辑用语
知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
四种命题及其关系
第2讲 四种命题及其关系 【学习目标】 1．了解命题、真命题、假命题的概念，能够指出一个命题的条件和结论； 2．了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系，能判断四种命题的真假； 3．能熟练判断命题的真假性. 【要点梳理】 要点一、命题的概念 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题. 要点诠释： 1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“2x >”，“2不一定大于3”. 2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题.祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“π是有理数吗？”、“今天天气真好！”等. 3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键.一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可.命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性. 要点二、命题的结构 命题可以改写成“若p ，则q ”的形式，或“如果p ，那么q ”的形式.其中p 是命题的条件，q 是命题的结论. 要点诠释： 1. 一般地，命题“若p 则q ”中的p 为命题的条件q 为命题的结论. 2. 有些问题中需要明确指出条件p 和q 各是什么，因此需要将命题改写为“若p 则q ”的形式. 要点三、四种命题 原命题：“若p ，则q ”； 逆命题：“若q ，则p ”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置； 否命题：“若非p ，则非q ”，或“若p ?，则q ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定； 逆否命题：“若非q ，则非p ”，或“若q ?，则p ?”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定. 要点诠释： 对于一般的数学命题，要先将其改写为“若p ，则q ”的形式，然后才方便写出其他形式的命题. 要点四、四种命题之间的关系 四种命题之间的构成关系
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y =
常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数
【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。
二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ）
2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)
2013届高考数学(理) 集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件(人教A版)
2013届高考数学（理）一轮复习教案：第一篇集合与 常用逻辑用语 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【2013年高考会这样考】 1．考查四种命题的意义及相互关系． 2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解． 3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】 复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判 定． 基础梳理 1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题 命题表述形式 原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若綈p，则綈q 逆否命题若綈q，则綈p (2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件． 一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 两条规律 (1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件． (2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
复合命题及其推理答案
第四章复合命题及其复合命题推理答案 一、填空题 1.复合命题的逻辑性质是由联结词的逻辑性质决定的，复合命题的真假是由支命题的真假决定的。 2.只有在前件真而后件假时，充分条件假言命题才假。 3.“老赵、老李、老孙三人中至少有一个人是火车司机”这一复合命题的逻辑形式是 p∨q∨r 。 4.当q真时，p→q 真，p∨q 真；当?p∨q为真且q为假时，p的取值为假。 5.若p→q取值为假，则?p∨q 假，p∧?q 真。 6.已知p真且q假，则p∧q 假；p∨q 真； p→q 假； p←q 真；p←→q 假。 二、单项选择题 1.两个假言命题的逻辑形式相同，是指（ D ）相同。 A.前件和后件 B.前件和联结词 C.后件和联结词 D.联结词 2.“要么甲，要么乙”这个命题的逻辑含义是（ D ） A.甲和乙必有一真，并可同真 B.甲和乙至少一真，也可同假 C.甲和乙必有一假，也可同假 D.甲真或乙真，但不可同真 3.下列推理形式中，正确的是（ C ） A.（p←→q）∧?p→q B.（p→?q）∧p→q C.（?p∧q）→（q∧?p） D.（p∨?q∨r）∧?q→（p∨r） 4.要使（?p（）q）∧p→?q成为有效式，括号里应填入联结词（ D ） A.∨ B.∧ C.→ D.← 5.“如果某人未犯法，那么某人未犯罪；某人犯罪，所以，某人犯法。”这个推理属于充分条件假言推理的（D） A.肯定前件式 B.肯定后件式 C.否定前件式 D.否定后件式 6.“如果患了肺炎，就会发烧；此人发烧，所以，他患了肺炎。”这个推理属于（ B ） A.有效的充分条件假言推理 B. 非有效的充分条件假言推理 C.有效的必要条件假言推理 D. 非有效的必要条件假言推理 7.“一个推理结论不必然正确，或者是由于前提虚假，或者是由于推理形式不正确；这个推理结论不必然正确是由于前提虚假；所以，整个推理结论不必然正确不是由于推理形式不正确。”这个推理是（ C ） A.正确的相容选言推理 B. 正确的不相容选言推理 C.错误的相容选言推理 D. 错误的不相容选言推理 8.若p、q都为假，则与“p或者q”等值的命题是（ C ） A.如果p，那么q B.只有p，才q 并且q 当且仅当q 9.与“只有非p，才非q”等值的命题是（ B ） A.如果非p，则非q B.如果非q，则非p C.如果p，则非q 并且非p 三、双项选择题 1.下列推理形式中，有效式是（ AB ） A.（p∧q∧r）→（p∧r ） B.（?p→?q）∧q→p C.（p∨q）∧p→?q D.（?p←q )∧?p→q E.（p→?q）∧?p→q 2.下列推理形式中，无效式是（AC）
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C.
高中数学 第2讲 命题及其关系、充要条件
第2讲命题及其关系、充要条件 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________． 解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”． 答案若q，则p 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题． 答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行” 的________条件． 解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1. 答案充分不必要 4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”． 答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数 5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B” 是“x∈C”的________条件． 解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件． 答案充分必要 6．(·盐城调研)“m<1 4”是“一元二次方程x 2＋x＋m＝0有实数解”的________ 条件．
解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14. 答案 充分不必要 7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、 否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________． 解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确． 答案 2 8．(·扬州模拟)下列四个说法： ①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真； ②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件； ④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________． 解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真 命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0 或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命 题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确． 答案 ①② 二、解答题 9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0. 判断如下： ∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0. ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题． 10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要
第二讲 原子命题符号化及复合命题真假判断
原子命题符号化及复合命题真假判断 原子命题符号化： 所谓原子命题，就是上一讲所提到的没有联结词的简单命题。 比如复合命题：“我是学生并且他是学生”。在该命题中，“我是学生”就是一个原子命题，同样，“他是学生”也是一个原子命题。 用符号表示： p: 我是学生 q: 他是学生 p∧q:我是学生并且他是学生 同样 p∨q:我是学生或者他是学生 p→q:如果我是学生，那么他是学生 当然，也可以由多个连接词构成复杂的复合命题。 为了使表达式的意义明确，需要规定优先级，优先顺序如下： （），￢，∧，∨，→，? 下面举个例子 比如（（￢p）∧q）∨（p∧（￢q））表示我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（更清晰地表述是我和他之间有且仅有一个学生）。 由优先级顺序知，括号是完全可以省掉的：￢p∧q∨p∧￢q 以上各个符号及表达式都称为命题公式。 复合命题真假判断 复合命题的真假是通过原子命题（在复合命题中称为命题变项或命题变元）的真假来判断的首先由第一讲已经得出了￢ p, p∧p ,p ∨p, p→q, p?q 这五种命题公式的真值判断。在其基础上，我们可以进行更复杂的真值判断。 比如￢p∧q∨p∧￢q，首先给定p为真，q为假。 那么￢p是假，由此￢p∧q是假。￢q为真，由此p∧￢q为真。此时，我们知道了∨两边是一真一假，因此整个表达式为真。 也可以用真值表来判断，在命题公式不太复杂的情况下，用真值表来判断是一种非常清楚的方法，但是在很多原子命题或者命题公式的组成十分复杂时，真
翻译就是在自然语言和命题公式之间进行转换。 上面提到的命题公式： ￢p∧q∨p∧￢q 和自然语言： 我不是学生且他是学生或者我是学生他不是学生（或者表述为：我和他之间有且仅有一个学生） 就是一种翻译。 这个比较容易理解。举几个例子说明下吧： 例子一： p:天下雨 q:我有伞 r:我出去游玩 ￢p∨p∧q→r 翻译为：天不下雨或者天下雨我有伞，那么我出去游玩。 例子二： 如果老师上课无趣，或者该课的习题很难，那么学生不喜欢这门课 先将原子命题符号化 p: 师上课有趣 q: 该课的习题难 r: 学生喜欢这门课 翻译为￢p∨q→￢r
集合与常用逻辑用语知识点汇总
集合与常用逻辑用语知识点汇总 知识点一集合的概念与运算 （一）、集合的基本概念 1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和?. 3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z； 自然数集记作N；正整数集记作*N或 N . + A B （四）、集合关系与运算的重要结论 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个. n 2n2
2.传递性：A ?B ，B ?C ，则A ?C . 3.A ∪B ＝A ?B ?A ； A ∩B ＝A ?A ?B . 4.?U (A ∪B )＝(?U A )∩(?U B )；?U (A ∩B )＝(?U A )∪(?U B ) . 知识点二 命题及其关系、充分条件与必要条件 （一）、命题的定义 可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 （二）、四种命题及其相互关系 1.四种命题间的关系 2.四种命题的真假关系 （1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性无关. （三）、充分条件、必要条件与充要条件的定义 1.若p q ；则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 2.若p q 且q p,则p 是q 的充要条件。 3.若有p q ，无q p ,则称p 是q 的充分不必要条件。 4.若有q p , 无p q ,则称p 是q 的必要不充分条件。 5.若无p q 且无q p,则p 是q 的非充分非必要条件。 （四）、充分、必要、充要条件的判断方法 1.定义法 根据p q ，q p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题。 2.转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断、定义的命题转化为其逆否命题再进行判断， 适用于条件和结论带有否定词语的命 ???????????
命题及其关系练习题
1.1 命题及其关系 校本作业 一、选择题： 1.（基础题）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（） A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 2.（基础题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cos A=， 则b=（） A. B. C. 2 D. 3 3.（中档题）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（） A. B. C. D. 4.（中档题）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（） A. B. C. D. 5.（提高题）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f（） 的x取值范围是（） A. B. C. D. 6.（提高题）已知是奇函数，当时，当时，等 于 A. B. C. D. 二、填空题： 7.（基础题）若命题“?t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 8.（中档题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=2x3+x2， 则f（2）=______． 9.（提高题）已知y=f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=16x-15，则f（x）的解析式 为______ ． 三、解答题： 10.（基础题）设p：实数x满足x2+2ax-3a2＜0（a＞0），q：实数x满足x2+2x-8＜0， 且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
11.（中档题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A） =c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 12.（提高题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方 形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°． （Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC； （Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．
高考数学一轮专题复习：第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
高考数学一轮专题复习：第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2018高二上·大庆期中) 命题“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（） A . 若，则或 B . 若，则 C . 若或，则 D . 若或，则 2. （2分）下列命题中，正确命题的个数是（） ①命题“?x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““?x∈R，都有x3+1＞0”． ②双曲线（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为． ③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列． ④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=． A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 3. （2分）(2020·上饶模拟) 已知直线平面，则“直线”是“ ”的（） A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件
C . 充要条件 D . 既不充分又不必要条件 4. （2分）已知则""是""成立的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2分）命题“若≠，则且”的逆否命题是（） A . 若≠，则≠且≠ B . 若≠，则≠或≠ C . 若且，则≠ D . 若≠或≠，≠ 6. （2分） (2019高一上·北京期中) 对于集合，给出如下三个结论：①如果 ，那么；②如果，那么；③如果，，那么 .其中正确结论的个数是（） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 7. （2分） (2016高二下·昆明期末) 有下列命题中，正确的是（） A . “若，则”的逆命题
复合命题及其推理详细讲解
第3讲复合命题及其推理 【复合命题，是指由简单命题通过联结词而构成的命题。由于联结词的不同，复合命题就有联言命题、选言命题、假言命题等不同的种类形式。】 3、1 联言命题及其推理 1、联言命题 联言命题就是断定事物的若干种情况同时存在的命题。 例如，“鲁迅是文学家并且是思想家”。 联言命题的一般公式是：p并且q；也可表示为 p∧q 。 其中，“并且”（现代逻辑上通常用符号“∧”表示，涵义为“合取”）为联结词，p、q称为联言肢（联言命题的肢命题）。 日常语言中的“…和…”、“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”等表示并列关系、递进关系、转折关系的语词都是“并且”的意思。 一个联言命题是真的，则其每一个肢命题都必须是真的。只要有一个肢命题假，则联言命题就是假的。 联言命题的真假特征可以表示如下： p q p∧q 真真真 真假假 假真假 假假假 2、联言推理 联言推理就是前提或结论为联言命题，并且根据联言命题的逻辑特征所进行的推理。一个联言命题是真的，当且仅当其所有肢命题是真的。联言推理的推理形式有分解式和组合式。 分解式就是由前提中一个联言命题为真推出其任一肢命题为真的联言推理。公式是： p并且q p并且q p 或者 q 组合式就是由前提中一些肢命题为真推出这些肢命题所组成的联言命题为真的联言推理。公式是： p q p并且q 应用例： 例题1-联言推理 ■李娜心中的白马王子是高个子、相貌英俊、博士。她认识王威、吴刚、李强、刘大伟四位男士，其中只有一位符合她所要求的全部条件。 (1)四位男士中，仅有三人是高个子，仅有两人是博士，仅有一人相貌英俊。 (2)王威和吴刚都是博士。 (3)刘大伟和李强身高相同。 (4)每位男士都至少符合一个条件。 (5)李强和王威并非都是高个子。 请问谁符合李娜要求的全部条件? A．刘大伟。B．李强。 C．吴刚。 D．王威。 例题2-联言推理 ■只有具备足够的资金投入和技术人才，一个企业的产品才能拥有高科技含量。而这种高科技含量，对于一个产品长期稳定地占领市场是必不可少的。