微分方程例题选解
微分方程例题选解
1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2
x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为
x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+?
?=-]1[ln 1ln 1C dx e x
e y dx x x dx x x
?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11
ln ln 2
y x x =
+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2
u u u x u -='+，
分离变量得 dx x u
du 1
2
=-， 积分得
C x u
+=ln 1
， 原方程的通解为 ln x
y x C
=
+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03
2
2
3
=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3
2
2
3
---
42222441
)(2141dy dy x dx y dx -+-=
)2(41
4224y y x x d --=， 得 0)2(4
224=--y y x x d ，
原方程的通解为 C y y x x =--4
2
2
4
2。 注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为
21p dx
dp
+=， 分离变量得
dx p dp
=+2
1，积分得 1arctan C x p +=，
于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
解：特征方程为 0222
=--r r ，特征根为 i r ±=1，
通解为12(cos sin )x
y e C x C x =+。
6. 求解微分方程2'''(21)x y y x e -=+。
解：对应齐次方程的特征方程为02
=-r r ，特征根为01=r ，12=r ， 齐次通解为 x e C C Y 21+=。
可设待定特解 x e b ax y 2)(*+=，代入原方程得 12)(23+=++x b ax a ，
比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x y 2)1(*-=， 原方程的通解为 212(1)x x y C C e x e =++-。
7. 求解微分方程''4x y y xe -=。
解：对应齐次方程的特征方程为012
=-r ，特征根为11=r ，12-=r ， 齐次通解为 x x e C e C Y -+=21。
可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得 x b ax a 4)2(22=++，
比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=， 原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-。
8. 求解微分方程3''6'9(62)x y y y e x -+=+。
解：对应齐次方程的特征方程为0962=+-r r ，特征根为321==r r ， 齐次通解为 x e x C C Y 321)(+=。
可设待定特解 x e b ax x y 32)(*+=，代入原方程得 2626+=+x b ax ，
比较系数得 1=a ，1=b ，从而x
e x x y 323)(*+=，
原方程的通解为 332312()()x x
y C C x e x x e =+++。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos ()sin (=++++dy y x dx y y xy 。 解： 由 dy y x dx y y xy )cos ()sin (++++
ydy xdy ydx ydx xydx cos sin ++++=
y d xdy ydx ydx xydx sin )(sin ++++=
)sin ()sin (y xy d dx y xy +++=，
原方程化为
dx y
xy y xy d -=++sin )
sin (， 积分得 C x y xy ln )sin ln(+-=+，
从而通解为 x
Ce y xy -=+sin 。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x y x y y x tan )1(2
2-+='+。
解：设22y x u +=
，则u
y y x u '
+=
'，原方程化为 x u u u tan )1(-='， 分离变量得 xdx du u tan )1
1
1(=-+
， 积分得 C x u u +-=-+c o s
ln )1ln(，
原方程的通解为C x y x y x =+-+++cos ln )1ln(2
222。
11. 利用代换x
u
y cos =
将方程x e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 化简，并求出原方程的通解。 解：由x y u cos =，得
x y x y u sin cos -'='，
x y x y x y u cos sin 2cos -'-''=''。
原方程化为 x
e u u =+''4，
其通解为 5
2sin 2cos 21x
e x C x C u ++=，
原方程的通解为 x
e x C x x C y x
cos 5sin 2cos 2cos 21++=。
12. 设二阶常系数线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解为x
x e x e y )1(2++=。试确
定常数c b a ,,，并求该方程的通解。
解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为
0)2)(1(=--r r ，即0232=+-r r ，
于是 3-=a ，2=b 。 将x xe y =1代入方程，得
x x x x ce xe e x e x =++-+2)1(3)2(， 1-=c 。
原方程的通解为 x x x xe e C e C y ++=221。
13. 已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数非齐次线
性微分方程的三个解，求此微分方程。
解：由题设特解知原方程的通解为x x x xe e C e C y ++=-221，特征根为1-和2， 所以特征方程为
0)2)(1(=-+r r ，即022=--r r ，
故可设此微分方程为
)(2x f y y y =-'-''，
将x xe y =代入方程，得x e x x f )21()(-=， 故所求方程为y y y 2-'-''x e x )21(-=。
14. 设)(r f u =满足方程42222=??+??y
u x u ，其中2
2y x r +=，求)(r f 。
解：
)(r f r x x u '=??，)()(322222r f r y r f r x x u '+''=??，)()(32
2222r f r
x r f r y y u '+''=??， 4)(1
)(2
222='+''=??+??r f r r f y
u x u ， ]4[)(11
1
C dr e
e
r f dr
r dr
r +??='?-
)2(1
12C r r
+=
， ?+=dr C r r
r f )2(1
)(12212ln C r C r ++=。
15. 设函数)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程 ?
?????++=≤+222
2
4224)21()(t
y x t dxdy y x f e
t f π 求)(t f 。
解：由于 ??????+≤+222
422)21(t
y x dxdy y x f ??????=π
θ2020)21(t
rdr r f d ???=t dr r rf 20)21(2π 所以 dr r rf e
t f t
t )2
1(2)(2042
???+=ππ，
求导得 )(88)(2
4t f t te t f t πππ+='， ]8[)(8482C dt e e t e t f tdt
t tdt
+??
=-?ππππ)4(242C t e t +=ππ，
由1)0(=f ，得1=C ，因此2
42)14()(t e t t f ππ+=。
16. 设)(x f 连续可微，1)0(=f ，确定)(x f ，使曲线积分
?+-L
dy x f ydx x f x )()]([
与路径无关，并计算?
+-=
)
1,1()
0,0()()]([dy x f ydx x f x I 。
解：由曲线积分与路径无关，得 )()(x f x x f -='，
)()(C dx xe e x f dx
dx +??=?
-x Ce x -+-=)1(，
由1)0(=f ，得2=C ，从而 =)(x f x
e x -+-21，
于是 ?
--+-+-=
)
1,1()
0,0()21()21(dy e x ydx e I x
x
e
dy e 221
1=
=?-。
17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温
为c 0
20时，一物体由c 0
100冷却到c 0
60须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的c 0
100降低到c 0
30。 解：设在时刻t 物体的温度为)(t T ，则有
)20(--=T k dt
dT
，且100)0(=T ，60)20(=T 分离变量得
k d t T dT
-=-20
， 积分得 C kt T ln )20ln(+-=-，
即 kt
Ce
T -+=20，
由100)0(=T 得 80=C ，kt
e T -+=8020，
再由60)20(=T 得 kt
e -+=802060， 20
2
ln =
k ， 故t e
T 20
2
ln 8020-+=，
令30)(=t T ，得 t e 20
2
ln 802030-+=，60=t 。
共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的c 0
100降低到c 0
30。
18. 设物体A 从点)1,0(出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动。物体B 从点)0,1(-与
A 同时出发，其速度大小为v 2，方向始终指向A 。试建立物体
B 的运动轨迹所满足的
微分方程，并写出初始条件。 解：设在时刻t ，B 位于点),(y x 处，则
x
y vt dx dy --+=)1(， 两边对x 求导，得 dx dt
v dx y d x -=22， （1）
由于 dt dx dx dy dt ds v ???? ??+==2
12， 2
121??
?
??+=dx dy v dx dt ， 代入（1）式得所求微分方程为 0)(12
12
22=++dx dy dx y d x ，
其初始条件为 1|,0|11='=-=-=x x y y 。
19. 在xOy 面的第一象限内有一曲线过点)1,1(，曲线上任一点P 处的切线与x 轴及线段
OP 所围三角形的面积为常数k ，求此曲线的方程。
解：设),(y x P 处的切线方程为)(x X dx dy y Y -=-，在x 轴上的截距为 dy
ydx x a -=， 由题设知k y dy ydx x 2)(=-，化为 221y
k x y dy dx -=-， 其通解为 ?+?-?=-])2([1
21C dy e y
k e x dy
y dy
y Cy y k +=，
由1=x ，1=y ，得k C -=1，所求曲线方程为 y k y
k x )1(-+=，即k y k xy =-+2
)1(。
20. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以
增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为kg 9000
的飞机，着陆时的水平速度为h km /700。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6
100.6?=k ）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
解：由题设，飞机的质量kg m 9000
=，着陆时的水平速度h km v /7000=。从飞机触地时开始计时，设t 时刻飞机的滑行距离为)(t x ，速度为)(t v 。 根据牛顿第二定律，得kv dt dv m -=，由于dt dx dx dv dt dv ?=dx
dv v =，因此有 dv k m
dx -
=， 积分得 C t v k m t x +-=)()(，由0)0(v v =，0)0(=x ，得0v k m
C =，从而
)]([)(0t v v k
m
t x -=，
当0)(→t v 时，)(05.110
0.6700
9000)(6
0km v k m t x =??=→。 所以，飞机滑行的最长距离是km 05.1。
小学解方程经典50题
小学解方程（经典50题） 35 3141=+ x x 2、45 9 4=- x ）（ 3、 18 5 1=+ x x 4、8 516 5=+ x 5、15 84 3 = ÷x 6、185 1=+x x 7、2753=x 8、 14 17 2= - x x 9、 9 88 9= ÷ x 10、33 211 3=-x 11、 0.4x=0.72 12、 3212 5=-x 13、283 11(=+x ） 14、 40 )7 21(=- x 15、 365 2=- x x 16、5574=+ x x 17、 16 5 4=÷ x 18、 6 53 2= x
19、10 495 13 2= - x x 20 5)4 18 3( =- x 21、 4 92 14 3= + x x 22、8 35 4= -x x 23、 9 55 68= ÷ x 24、 16 510 9=- x x 25、3 216 34 12 1? = - x x 26、 10 95 14 1= + x x 27、 6 53 510 15 3= ? + x 28、40 7)4 13 1(= + ?x 29、 10 1489 1÷ =- x x 30、 18 59 5= x 31、5 412=x 32、 156 5=x 33、 3 28 3= ÷ x
34、9 84 3= +x 35、 5 215 4= - x 36、 20 74 3= + x x 37、3 27 6= ÷x 38、 2 74 72 3= - x 39、 8 9 44 3÷= ÷ x 40、56 1=-x x 41、 214 3=+ x x 42、 12 )3 11(=+ x 43、15 5 25 1=+ x x 44、10 )4 18 3( =+ x 45、 24)7 11(=- x 46、4 36 1= ÷x 47、 5 215 7= ? x 49、 3 17 6= ÷ x 50、25 1852= x 51、6x+4(50-x)=260 52、 8x+6(10-x)=68 53、5x+2(20-x)=82 54、 4x+2(35-x)=94
第七章 微分方程经典例题
第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----
直线与方程(经典例题)
直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。 解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 x-104=33.5 x+118=11.9 26.4×x=40 62.2-x=70.7 x÷31=21.0 69.4+x=87.4 94.8+x=48.2 37.3x=84.1 91.1x=38.7 x÷13.3=14.5 31.4x=59.8 41.7x=69.9 105x=82.6 x×7.1=10.7 x+75.4=16 x÷63=42.2 x-8=32.8 64.2x=78 14÷x=21 59.9-x=40 9.8+x=99.3 44.2-x=86.1 x÷35.0=9.0 52.6-x=52.0 x×63.4=62.7 2.8-x=52 x÷41.0=139 9.6x=97.2 51x=42.9 x-48.8=95 x×6.8=25.4 118+x=35 56.6x=54.0 23x=145 x+50.3=28.1 54.6+x=96.2 x+89.2=59.1 45x=48 28.7x=83.5 17.3x=60.8 x+101=20.8 55.9x=75.2 59.7-x=23 x÷61.6=55.0 45.3÷x=79.5 x-48.2=85 x×43.6=62.6 5.9x=6.1 80.3x=11.7 104x=47.7 x×100.7=70 92.1x=27.3 56x=56 x÷16.8=88.3 95x=90.8 49.6x=125 2.1+x=73.4 16.7÷x=76.8 x+99=37.9 33÷x=56.6 48.5÷x=61.8 x÷3.6=96.5 68.0÷x=73 x×16.8=5.0 26.9x=88.0 45.5x=87 x×82=48.1 88.5+x=20.8 53.3x=21.3 95x=42.1 68÷x=139 x+34.7=135 x-63.1=43 19.5÷x=116 1.6x=5.7 2.3x=68.1 55.6+x=99.4 94.8÷x=28.9 100.3÷x=101 x+21.0=128 17-x=6.6 x-51=95.5 33.7×x=126 1.8x=111 48.4x=56 x×43.3=93.6 65.6x=100.9 6.8÷x=78.7 38.7-x=90.8 100x=143 64+x=31.9 x×122=28.7 x-55.1=95 17-x=92.8 x+20.8=53.1 90.9x=80.1 30.6x=58 43.9-x=37.2 6x=25.6 66.6x=113 x×21.0=65.6 x×30.6=51.1 58x=88.5 86.1x=89.5 x÷19.2=22.3 8.9×x=55 94.5+x=36.4 129x=86.3 直线与方程练习题 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（） A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（） A ．0≠m B ．2 3-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3-≠m ，0≠m 7．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 8．若1(2,3),(3,2),(,)2 A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．2 1- Ｃ．2- Ｄ．2 9．直线x a y b 22 1-=在y 轴上的截距是（） A ．b B ．2b - C ．b 2 D ．±b 4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 10．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 二、填空题 1．点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 3．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 4．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 三、解答题 1．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。 2．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5． 微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB (一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、 (二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确 简易方程 【知识分析】 大家在课堂上已经学了简单的解方程，现在我们学习比较复杂的解方程。首先，我们要对方程进行观察，将能够先计算的部分先计算或合并，使其化简，然后求出X的值。 【例题解读】 例1解方程：6X+9X-13=17 【分析】方程左边的6X与9X可以合并为15X，因此，可以将原方程转化成15X-13=17，从而顺利地求出方程的解。 解：6X+9X-13=17， 15X-13=17 15X=30 X=2。 例2解方程：10X-7=4.5X+20.5 【分析】方程的两边都有X,运用等式的性质,我们先将方程的两边同时减去4.5X,然后再在两边同时加上7,最后求出X. 解:10X-7-4.5X=4.5X+20.5-4.5X, 5.5X-7=20.5 5.5X-7+7=20.5+7 5.5X=27.5, X=5. 【经典题型练习】解方程:7.5X-4.1X+1.8=12 解方程:13X+4X-19.5=40 解方程:5X+0.7X-3X=10-1.9 解方程练习课【巩固练习】 1、解方程：7（2X-6）=84 2、解方程5（X-8）=3X 3、解方程4X+8=6X-4 4、解方程7．4X-3.9=4.8X+11.7 列方程解应用题 【知识分析】 大家在三四年级的时候一定学过“年龄问题”吧！记得那时候思考这样的问题挺麻烦的，现在可好啦！我们学习了列方程解应用题，就可以轻松地解决类似于这样的应用题。 【例题解读】 例题1 今年王老师的年龄是陈强的3倍，王老师6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等，陈强和王老师今年各是多少岁？ 【分析】要求陈强和王老师两个人的年龄，我们不妨设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，然后根据“王老师在6年前的年龄和陈强10年后的年龄相等”这个数量关系式，列出方程。解：设今年陈强的年龄是X岁，王老师的年龄是3X岁，可列方程：3X-6=X+10，2X=16，X=8 3X=3×8=24 答：陈强今年8岁，王老师今年24岁。 例题2 今年哥哥的年龄比弟弟年龄的3倍多1岁，弟弟5年后的年龄比3年前哥哥的年龄大1岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【分析】先表示出哥哥和弟弟今年的年龄，然后运用弟弟5年后，哥哥3年前的年龄作为等量关系。 解：设弟弟今年X，那么哥哥今年（3X+1）岁，可列方程 X+5=3X+1-3+1，X+5=3X-1，6=2X，X=3。 3X+1=3X3+1=10 答：哥哥今年10岁，弟弟今年3岁。 一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解. 解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析. 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 列方程解应用题及解析 例1甲乙两个数，甲数除以乙数商2余17．乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数． 分析：被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数．如 果设乙数为x，则根据甲数除以乙数商2余17，得甲数=2x＋17．又 根据乙数的10倍除以甲数商3余45得10x=3（2x＋17）＋45，列出 方程． 解：设乙数为x，则甲数为2x+17． 10x=3（2x＋17）+45 10x=6x＋51+45 4x=96 x＝24 2x+17=2×24+17=65． 答：甲数是65，乙数是24． 例2电扇厂计划20天生产电扇1600台．生产5天后，由于改进技术，效率提高25％，完成计划还要多少天 思路1： 分析依题意，看到工效（每天生产的台数）和时间（完成任务 需要的天数）是变量，而生产5天后剩下的台数是不变量（剩余工作 量）．原有的工效：1600÷20=80（台），提高后的工效：80×（1＋25 ％）=100（台）．时间有原计划的天数，又有提高效率后的天数，因 此列出方程的等量关系是：提高后的工效x 所需的天数=剩下台数． 解：设完成计划还需x天． 1600÷20×（1+25％）×x=1600-1600÷20×5 80×=1600-400 100x=1200 x=12． 答：完成计划还需12天．例4 中关村中学数学邀请赛中，中关村一、二、三小六年级大约有380～450人参赛．比赛结果全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分．求男、女生至少各有多少人参赛 分析若把男、女生人数分别设为x人和y 人．依题意全体学生 的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分，可以确 定等量关系：男生平均分数×男生人数+女生平均分数×女生人数= （男生人数+女生人数）×总平均分数．解方程后可以确定男、女生 人数的比，再根据总人数的取值范围确定参加比赛的最少人数，从而 使问题得解． 解：设参加数学邀请赛的男生有x人，女生有y人． 79x+71y＝（x+y）×76 79x+71y＝76x+76y 3x＝5y ∴x：y=5：3 总份数：5＋3=8． 在380～450之间能被8整除的最小三位数是384，所以参加邀 请赛学生至少有384人． 男生：384×=240（人） 5 8 女生：384×=144（人） 3 8 答：男生至少有240人参加，女生至少有144人参加． 例 5 瓶子里装有浓度为15％的酒精1000克．现在又分别倒入 100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14％．已 知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值 a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈， 第三章《直线与方程》单元检测 试题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A(1，3)，B(－1，33)，则直线AB的倾斜角是() A．60°B．30° C．120°D．150° [答案]C 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为() A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [答案]D 3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为() A．－3 B．－6 C．3 2D．2 3 [答案]B 4．直线x a2－ y b2＝1在y轴上的截距为() A．|b| B．－b2 C．b2D．±b [答案]B 5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是() A．0 B．－4 C．－8 D．4 [答案]C 6．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]D 7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是() A．－2 B．－7 C．3 D．1 [答案]C 8．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的 交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( ) 常微分方程基础练习题答案 求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe += 9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+常微分方程习题及答案
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