初二(上)数学竞赛辅导
八年级数学竞赛辅导材料（上）
17、奇数偶数
18、式的整除
19、因式分解
20、代数恒等式的证明
21、比较大小
22、分式
23、递推公式
24、连续正整数的性质
25、十进制的记数
26、法选择题解法（一）
27、识图
28、三角形的边角性质
初中数学竞赛辅导资料（17）
奇数 偶数
一、内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数
是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n 是偶数，2n －1或2n+1是奇数。如果n 是正整数，那么2n 是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
整数ì?
?í???奇数偶数
或 整数集合 就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。 二、例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数 证明：设k 为整数，那么2k －1是任意奇数， （2k －1）2－1＝4k 2－4k ＋1－1＝4k(k －1)
∵k(k －1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k －1)是8的倍数 即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n 个整数它们的积等于n ，和等于0
求证：n 是4的倍数
证明：设n 个整数为x 1,x 2,x 3,…x n 根据题意得
1231
230n n x x x x n x x x x ì=??í?++++=?? ①② 如果n 为正奇数，由方程（1）可知x 1,x 2,x 3,…x n 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适
合方程（2）右边的0，所以n 一定是偶数；
当n 为正偶数时，方程（1）左边的x 1,x 2,x 3,…x n 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n 是4的倍数。
例3己知：a,b,c 都是奇数
求证：方程ax 2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x ，若它是奇数，这时方程左边的ax 2，bx ，c 都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x 是偶数，那么ax 2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。 既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax 2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例4求方程x 2－y 2＝60的正整数解 解：(x+y)(x －y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x －y)至少有一个是偶数
因此x, y 必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组
???=-=+230y x y x ??
?=-=+610
y x y x 解得???==1416y x ?
??==28y x
∴方程x 2－y 2＝60的正整数解是??
?==1416y x ???==2
8
y x
三、练习17 1． 选择题
①设n 是正整数，那么n 2+n-1的值是（ ）
（A ）偶数（B ）奇数（C ）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x －324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） （A ）??
?==15y x （B ）???==86329y x （C ）???==171
653y x （D ）???==256978
y x
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿
③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤
位
n 01100能被11整除，那么n 是正奇数或正偶数？答＿＿ 3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？ 4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由 5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除 6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数 7． 求方程（2x －y －2）2＋（x+y+2）2=5的整数解 8． 方程19x+78y=8637的解是( ) (A)??
?==9178y x (B)???==9284y x (C)???==93
88y x (D)???==9181
y x
9. 十进制中，六位数8719ab 能被33整除，求a,b 的值
练习17
1.①B ，②D
2.①210，②45，945 ③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数
3.整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数
4.∵左边2，10、都是偶数，x.y 不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立
5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n
6.任意两个奇数可设为2m-1,2n-1
7.∵两个整数的平方和5为，只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5
可得四个方程组???--=++--=--1,2,1,222,1,2,122y x y x ，解得?
??----=--=2,3,2,11
,.1,.1,.1..y x
8. (D) 9. a=9， b=2；a=2， b=6；a=5 ，b=9。
初中数学竞赛辅导资料（18）
式的整除
一、内容提要
1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一
个整式整除。
2． 根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x 的整式， 那么 式的整除的意义可以表示为：
若f(x)＝p(x)×q(x)， 则称f(x)能被 p(x)和q(x)整除 例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,
∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。 显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0， 3． 一般地，若整式f(x)含有x –a 的因式，则f(a)=0 反过来也成立，若f(a)=0,则x －a 能整除f(x)。 4． 在二次三项式中
若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。 二、例题
例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。 x －3 解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m
由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x 解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m ∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+6 22－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6
解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数)
那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a 根据左右两边同类项的系数相等，得
???=--=-m a a 252 解得??
?=-=6
3
m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除 求：m 、n 的值及商式
解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）
∴商式可设为x 2+ax+b
得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）
＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b
根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得
???????==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得???????=-==-=4
113n m n b a ∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4
例3 m 取什么值时，x 3+y 3+z 3+mxyz (xyz ≠0)能被x+y+z 整除? 解：当 x 3+y 3+z 3+mxyz 能被x+y+z 整除时，它含有x+y+z 因式 令x+y+z ＝0，得x=－（y+z ），代入原式其值必为0 即［－（y+z ）］3+y 3+z 3－myz(y+z)=0 把左边因式分解，得 －yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz ≠0, ∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y （或y,z 或x,z ）互为相反数时，m 可取任何值 ， 当m=－3时，x,y,z 不论取什么值，原式都能被x+y+z 整除。 例4 分解因式x 3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x ＋2，（以下可仿例1） 解：x 3－x+6＝（x ＋2）（x 2－2x+3） 三、练习18
1． 若x 3+2x 2+mx+10=x 3+nx 2－4x+10, 则m=___, n=___ 2． x 3－4x 2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x 4－x 2+1除以x 2－x －2的余式是＿＿＿ 3． 己知x 3+mx+4能被x+1整除，求m
4． 己知x 4+ax 3+bx －16含有两个因式x －1和x –2,求a 和b 的值 5． 己知13x 3+mx 2+11x+n 能被13x 2－6x+5整除,求m 、n 及商式 6． 己知ab ≠0,m 取什么值时，a 3－6a 2b+mab 2-8b 3有因式a －2b. 7． 分解因式：①x 3-7x+6, ②x 3-3x 2+4, ③x 3-10x-3 8.选择题
① x 2y-y 2z+z 2x-x 2z+y 2x+z 2y-2xyz 因式分解的结果是（ ） (A)(x+y)(y-z)(x-z) (B) (x+y)(y+z)(x-z) (c) (x-y)(y-z)(x+z) (D) (x-y)(y+z)(x+z)
②n 3+p 能被n+q 整除(n,p,q 都是正整数)，对于下列各组的p,q 值能使n 的值为最大的是（ ） （A ） p=100,q=10 (B) p=5000,q=20 (C) p=50,q=12, (D) p=300,q=15.
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练习18
1. –4，2
2. 2；4x+5
3. 3
4. ???=-=205b a
5.?
??--=519n m 商式x-1
6. 12
7.①(x-1)(x-2)(x+3), ②(x-2)2(x+1) , ③(x+3)(x 2-3x-1)
8. ① (A) ② (D)
初中数学竞赛辅导资料（19）
因式分解
一、内容提要 和例题
我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法
1． 添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x 4+x 2+1 ②a 3+b 3+c 3－3abc ①分析：x 4+1若添上2x 2可配成完全平方公式
解：x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1－x 2=(x 2+1)2－x 2=(x 2+1+x)(x 2+1－x) ②分析：a 3+b 3要配成（a+b ）3应添上两项3a 2b+3ab 2
解：a 3+b 3+c 3－3abc ＝a 3+3a 2b+3ab 2＋b 3+c 3－3abc －3a 2b －3ab 2 ＝（a+b ）3+c 3－3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c 2］－3 ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2－ab －ac －bc) 例2因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1
① 分析：把中项－11x 拆成－16x+5x 分别与x 5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平
方数）
② 解：x 3－11x+20＝x 3－16x+5x+20＝x （x 2－16）+5(x+4)
=x(x+4)(x －4)+5(x+4) =(x+4)(x 2－4x+5)
③ 分析：添上－a 2 和a 2两项，分别与a 5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a 5+a+1＝a 5－a 2+a 2+a+1=a 2(a 3－1)+ a 2+a+1
=a 2(a －1)( a 2+a+1)+ a 2+a+1= (a 2+a+1)(a 3－a 2+1)
2． 运用因式定理和待定系数法
定理：⑴若x=a 时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x －a
⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3
①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除
法或待定系数法，求另一个因式。
解：∵x=2时，x 3－5x 2+9x －6＝0，∴原式有一次因式x －2， ∴x 3－5x 2+9x －6＝（x －2）（x 2－3x+3,）
②分析：用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数 ±1，±3得商±1，±2，±21，±2
3
，再分别以这些商代入原式求值， 可知只有当x=2
1
时，原式值为0。故可知有因式2x-1 解：∵x=
2
1
时，2x 3－13x 2+3＝0，∴原式有一次因式2x －1， 设2x 3－13x 2+3＝（2x －1）（x 2+ax －3）， （a 是待定系数） 比较右边和左边x 2的系数得 2a －1＝－13， a=－6 ∴2x 3－13x+3＝（2x －1）（x 2－6x －3）。
例4因式分解2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20
解：∵2x 2+3xy －9y 2＝（2x －3y ）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y ＋a ）（x+3y ＋b ），a,b 是待定的系数， 比较右边和左边的x 和y 两项 的系数，得
?
??-=-=+33314
2b a b a 解得54==b a
∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5)
又解：原式＝2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20) 这是关于x 的二次三项式 常数项可分解为－（3y －4）（3y+5）,用待定系数法，可设 2x 2+(3y+14)x －(9y 2+3y －20)＝［mx －（3y －4）］［nx+（3y+5）］ 比较左、右两边的x 2和x 项的系数，得m=2, n=1 ∴2x 2+3xy －9y 2+14x －3y+20＝（2x －3y+4）(x+3y+5) 三、练习19
1．
分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 4 2. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30
③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －70
3. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3
②x 3－3x 2+3x+7
③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3
④x 3+6x 2+11x+6 ⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+2
4. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21
③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+1
5. 分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8 ②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－91
6．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3
③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4
⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3）
7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数
8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5 且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式
求：当x=1时，f(x)的值
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练习19
1. 添项，配成完全平方式(仿例3)
2.拆中项，仿例1
3. 拆项，配成两数和的立方
①原式=(x+y)3+y 3……③原式=(x-3a)3+a 3 ⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3
4. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6
④x=
2
1
时，原式=0，有因式2x －1 5. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7
④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)=…… 6. 分组配方
③原式=(x 2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开，合并，再分解 ⑤以a=－b 代入原式＝0，故有因式a+b 7. 可分解为两个非1的正整数的积
8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式， 3g(x)-p(x)=14(x 2-2x-5)与f(x)比较系数……，f(1)=4
初中数学竞赛辅导资料（20）
代数恒等式的证明
一、内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
二、例题
例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）
证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）
＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)
＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边
又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1
＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n
∴左边＝右边
例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）
两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知a=－b－c 代入左边,得
（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc
例3 己知a+a
c c b b 1
11+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1
证明：由己知a-b=
bc c b b c -=-11 ∴bc=b
a c
b --
b-c=ca a c c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=a
c b a --
∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c
b a
c --＝1 即a 2b 2c 2=1
例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数
那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2
根据恒等式的性质 得??
?
??===222n c m n b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0
三、练习20
1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1) 2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b 3.己知：a+b+c=0
求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 2 4.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+3
5.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz
6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c
7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c
b b a 1
111-=- 9．己知：
a
c z
c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+
d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc
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练习20
1. ④左边＝5 n (5 2-1)+3 n －
1(33-3)= 24(5 n +3 n-1) 注意右边有3
n-1
2. 左边－右边＝（a-b ）2
3. ②左边－右边＝（a 2+b 2-c 2）2-4a 2b 2=……
4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入
5. 用z=x+2y 代入右边
6.
用已知的（左－右）×2
7.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式
8.在已知的等式两边都除以abc
9.设三个比的比值为k,
10.(2x2-x-2)2 11. 用待定系数法
初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
一、内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a －b ＞0时，a ＞b ； 当a －b ＝0时，a=b ； 当a －b ＜0时a ＜b 。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。 3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a 是实数，则a 2≥0，
由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a －b)2≥0， a 2+1＞0， a 2+a+1=(a+
21)2+4
3
＞0 －a 2≤0， －（a 2+a+2）＜0 当a ≠b 时，－（a －b ）2＜0
二、例题
例1 试比较a 3与a 的大小
解：a 3－a=a(a+1)(a －1)
a 3－a=0,即a 3=a 以－1，0，1三个零点把全体
实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：
当a ＜－1时，a+1＜0,a ＜0,a －1＜0（3个负因数）∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当－1＜a ＜0时 a ＜0,a －1＜0（2个负因数） ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 当0＜a ＜1时， a －1＜0（1个负因数） ∴a 3－a ＜0 即a 3＜a 当a ＞1时，没有负因数， ∴a 3－a ＞0 即a 3＞a 综上所述当a=0,－1，1时， a 3=a
当a ＜－1或0＜a ＜1时，a 3＜a
当－1＜a ＜0或a ＞1时，a 3＞a 。 （试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？ 解：设这个数为x ，则当并且只当x －
x
1
＞0时，x 比它的倒数大， x －x 1＝x
x x x x )
1)(1(12-+=- －1 0 1
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知
当x ＞1或－1＜x ＜0时，x 比它的倒数大。
例3 己知步行的速度是骑车速度的一半，自行车速度是汽车速度的一半，甲、乙两人同时从A 去B ，甲乘汽车到中点，后一半用歩行，乙全程骑自行车，问誰先到达？
解：设从A 到B 有x 千米，步行速度每小时y 千米，那么甲、乙走完全程所用时间分别是t 甲＝y
x
y x
y x 85242=+，
t 乙＝
y
x 4 t 甲－t 乙＝
y
x y x y x 83485=- ∵x ＞0，y ＞0 ∴t 甲－t 乙＞0
答：乙先到达B 地
例4己知a ≠b ≠c ，求证：a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca 证明：a 2+b 2+c 2－ab+bc+ca ＝
21
×2（a 2+b 2+c 2－ab+bc+ca ） ＝21
（2a 2+2b 2+2c 2－2ab+2bc+2ca ） ＝2
1［（a-b ）2+(b-c)2+(c-a)2］ ∵a ≠b ≠c ，（a-b ）2＞0，(b-c)2＞0，(c-a)2＞0 ∴a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca
又证：∵a ≠b ，∴（a-b ）2＞0 a 2+b 2＞2ab(1) 同理b 2+c 2＞2bc(2) c 2+a 2>2ca(3)
(1)+(2)+( 3)得2a 2+2b 2+2c 2＞2ab+2bc+2ca 即a 2+b 2+c 2＞ab+bc+ca 例5 比较 3（1＋a 2+a 4）与(1+a+a 2)2的大小 解：3（1＋a 2+a 4）－(1+a+a 2)2＝3［（1＋a+a 2）2-2a-2a 2-2a 3］－(1+a+a 2)2 ＝2(1+a+a 2)2－6a(1＋a+a 2)
=2(1＋a+a 2)( 1＋a+a 2-3a)=2(1＋a+a 2)(1-a)2 ∵1＋a+a 2＝（
4
3
)212++a ＞0， (1-a)2≥0 ∴当a=1时，3（1＋a 2+a 4）＝(1+a+a 2)2
当a ≠1时，3（1＋a 2+a 4）＞(1+a+a 2)2
例6 解方程 4212=-++x x 解：以－0.5,和2两个零点分为3个区间
当x<-0.5时，－(2x+1)－(x-2)=4, 解得x=－1 当－0.5≤x<2时，（2x+1）－（x-2）=4, 解得x=1 当x ≥2时，（2x+1）+(x －2)＝4 解得x=
3
5
, ∴在x ≥2范围无解 综上所述原方程有两个解x=－1, x=1 三、练习21
1． 己知a>0,b<0,且a+b<0. 试把a,b,0及其相反数记在数轴上。
并用“＜”号把它们连接。
2． 比较下列各组中的两个数值的大小：
①a 4与a 2 ②
1+a a 与2
1+-a a 3． 什么数的平方与立方相等？什么数的平方比立方大？
4． 甲乙两人同时从A 去B ，甲一半路程用时速a 千米，另一半路程用时速b 千米；乙占总时间的一半用
时速a 千米,另一半时间用时速b 千米,问两人誰先到达？ 5． 己知 a>b>c>d>0且a ∶b=c ∶d ， 试比较a+c 与b+d 的大小 6． 己知a 求证：①ax+by+cz>az+bx+cy ②ax+by+cz>az+bx+cy (提示：可应用第6题的结论) 8． 己知a ① b a 11> ②ab<1 ③1 a ④a －2b<0 9.若a,b,c 都是大于－1的负数，（即－1＜a,b,c<0下列不等式哪些不能成立？试各举一个反例。 ①a+b －c>0 ②(abc)2>1 ③a 2-b 2-c 2<0 ④abc>-1 10.水池装有编号为①②③④⑤的5条水-管，其中有的是进水管，有的是出水管，同时开放其中的两条水管，注满水池所用的时间列表如下 问单独开放哪条水管能最快注満水池？答：＿＿＿ （1989年全国初中数学联赛题） 返回目录 参考答案 练习21 1. b<-a<0 2. ① 用求差法：a 4-a 2=a 2(a+1)(a-1)…。 ②) 2)(1(1 2+++a a a …… 3. a 2-a 3=a 2(1-a)…… 4. t 甲－t 乙＝) (2)(2b a ab s b a +- a=b 时同时到达，a ≠b 时，乙先到 5. 由已知c= b ad (a+d)-((b+c)=b d b b a ))((-- >0…… 6. (ax+by)-(ay+bx)=…… 7. 运用上一题的结论 8. 只有①成立，②③④都可以a=－2,b=-－3 作为反例 9. 只有④成立 10.（4） 初中数学竞赛辅导资料（22） 分式 一、内容提要 1． 除式含有字母的代数式叫做分式。分式的值是由分子、分母中的字母的取值确定的。 (1)分式 B A 中，当B ≠0时有意义；当A 、B 同号时值为正，异号时值为负，反过来也成立。分子、分母都化为积的形式时，分式的符号由它们中的负因数的个数来确定。 (2)若A 、B 及 B A 都是整数，那么A 是B 的倍数，B 是A 的约数。 (3)一切有理数可用B A 来表示，其中A 是整数，B 是正整数，且A 、B 互质。 2． 分式的运算及恒等变形有一些特殊题型，要用特殊方法解答方便。 二、例题 例1．x 取什么值时，分式x x x x 23 22 2+--的值是零？是正数？是负数？ 解： x x x x 2322 2+--＝)2()3)(1+-+x x x x （ 以零点－2，－1，0，3把全体实数分为五个区间，标在数轴上（如上图） 当x=－1,x=3时分子是0，分母不等于0，这时分式的值是零； 当x<－2, －1 例2．m 取什么值时，分式 1 7 2-+m m 的值是正整数？ 解：1 72-+m m ＝19 22-+-m m ＝2＋19-m 当例3．计算14++x x ＋32--x x －12-+x x －3 4 ++x x 1 9 -m ＞－2且m －1是9的约数时，分式的值是正整数 即m －1＝1，3，9，－9 解得m=2,4,10,－8。 答：（略） 解：用带余除法得，原式＝1＋ 13+x ＋1＋3 1-x －1－13-x －1－31 +x ＝ )1)(1()1(3)1(3-++--x x x x ＋)3)(3() 3()3(+---+x x x x ＝ 162-x －＋962-x ＝) 9)(1(48 2 2--x x 4．已知（a+b ）∶(b+c)∶(c+a)=3∶4∶5 求①a ∶b ∶c ②bc c ab a +-22 3 解：设a+b=3k,则b+c=4k,c+a=5k,全部相加 得2（a+b+c ）=12k, 即a+b+c=6k, 分别减上列各式 得a=2k, b=k, c=3k ∴①a ∶b ∶c =2∶1∶3 ②bc c ab a +-22＝k k k k k k 3)3(2)2(2 2??-＋＝61 例5．一个两位数除以它的两个数位上的数字和，要使商为最小值，求这个两位数；如果要使商为最大值 呢？ 解：设这个两位数为10x+y ，那么0＜x ≤9, 0≤y ≤9 y x y x ++10＝1＋y x x +9 当x 取最小值1，y 取最大值9时，分式 y x x +9的值最小；当x 取最大值9，y 取最小值0时，分式y x x +9的值最大。 答：商为最小值时的两位数是19，商为最大值时的两位数是90。 三、练习22 1． a=___时，分式 6 22-+-a a a 的值是0 2． 已知? ??=++=--02022z y x z y x 则分式2 222 22z y x z y x ++--＝＿＿＿＿ 3． 若x 和分式 1 2 3-+x x 都是整数，那么x=_______________ 4． 直接写出结果: ① x 2 12 x ＋ =(x+ x 1)2-______ ②(x 2+21 x +2)÷（x+)1x =____ ③ （x 2- 2 1x ）÷（x+x 1）=__＿＿ ④（1＋)1x （1－)1 12x x +＝＿＿＿＿ 5．化简繁分式，并指出字母x 取什么值时它没有意义。 ＋＋＋x 11 11 11 6．x 取什么值时分式9 2 22---x x x 的值是零？是正数？是负数？ 7．计算：① 14++x x ＋321432++------x x x x x x ②4 214 121111x x x x ++++++- ③410 2124 832 762222 2 -++--++-++++x x x x x x x x x x 8．解方程： 675691089++-++=++-++x x x x x x x x 124 29 12232 3-=++-++-+x x x x x x x ⑶ 3=--+--+--b a c x a c b x c b a x （其中)01 11≠++c b a 9．已知xy ∶yz ∶z x=∶2∶1, 求①x ∶y ∶z ② yz x ∶zx y 10．已知a ≠b ≠c 且 z b a y a c x c b -= -=- 求证：ax+by+cz=0 11.已知： y x z x z y z y x += +=+ 求：（x+y ）∶z 的值 12．由三个非零且相异的数字组成的三位数，除以这三个数字和，其商的最小值是多少？ 13．在保证分母不等于0的前提下，分式5 3 ++bx ax 中的x 不论取什么值分式的值都不变，问a 和b 之间的关糸应满足什么条件？ 14. 已知 p c n b m a == 求证： （a 2+b 2+c 2）(m 2+n 2+p 2)=(am+bn+cp)2 返回目录 参考答案 上一页 下一页 练习22 1. －2 2. －1 3. 2，0，6，－4 4. ①1＋ 3 1x ② x+x 1 ③－2 ④－3（x+x 1） ⑤1＋211x x + ⑥－（x+x 1） 5. x=－1，－2，－1.5时没有意义 6. 仿例1，四个零点－3，－1，2，3把实数分为五个区间 7. ①) 9)(1(5682 23---x x x x ②818x - ③23+-x x 8. ①x=－7 ②x ＝－1 9.①3∶6∶2 ②0.25 10.设各比的比值为k 11. 2或－1 12. 10.5（x=1,y=8,z=9） 13. 5a=3b 14. 设比的比值为k,分别证明左，右两边都等于k 2(m 2+n 2+p 2)2 初中数学竞赛辅导资料(23) 递推公式 一、内容提要 1． 先看一例：a 1=b,a 2= 1 2a ,a 3=22a …… a n+1= n a 2 这 a 1,a 2,a 3……a n ,a n+1是对应于正整数1，2，3…… n,n+1 的有序的一列数（右下标的数字表示第几项），这一列数只要给出某一项数值，就可以推出其他各项数值。 例如: 若 a 1=10, 则a 2= 102=5 1 ,a 3=10,a 4=51,a 5=10…… 2. 为了计算的方便，通常把递推公式写成以a 1和n 表示a n 的形式，这可用经验归纳法。 例如：把递推公式 a n+1=a n +5改为用a 1 和n 来表示 ∵a 2=a 1+5, ∴a 3=a 2+5=(a 1+5)+5=a 1+2×5， a 4=a 3+5=(a 1+2×5)+5=a 1+3×5 …… ∴a n =a 1+(n-1)5 如果 已知a 1=10, 求a 20,显然代入这一公式方便。A 20=10+19×5=105 3.有一类问题它与正整数的顺序有关，可寻找递推公式求解，这叫递推法。 二、例题 例1.已知：a 1=2, a n =a n-1+2(n-1) (n ≥2) 求：a 100的值 解：a 100=a 99+2×99 =a 98+2×98+2×99 =…… =a 1+2×1+2×2+2×3+……+2×98+2×99 =2+2× 2 99 )991(?+=9902 又解：a 2=a 1+2×1 a 3=a 2+2 ×2=(a 1+2×1)+2×2 a 4=a 3+2×3=(a 1+2×1+2×2)+2×3 …… a 100=a 1+2×1+2×2+2×3+……+2×99 =2+2(1+2+3+……+99)=9902 例2.已知：x 1=97, 对于自然数n>1, x n = 1 -n x n 求：x 1x 2x 3·……·x 8的值 解：由递推公式x n = 1 -n x n 可知 x 1x 2=x 1 1 2x =2 x 3x 4=x 334x =4 x 5x 6=x 5 56x =6 x 7x 8=x 77 8 x =8 ∴x 1x 2x 3·……·x 8=2×4×6 ×8=384 例3.已知：100个自然数a 1,a 2,a 3……a 100满足等式 (n-2)a n －（n －1）a n-1+1=0 (2≤n ≤100)并且a 100=199 求：a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 100 分析：已知等式是一个递推公式，用后项表示前项：a n-1= 1 1 )2(-+-n a n n 可由a 100求a 99,a 98…… 解：a 99= 99 1)2100(100+-a =991 19998+?=197 a 98= 98 1)299(99+-a =981 19797+?=195 用同样方法求得a 97=193, a 96=191,……a 1=1 ∴a 1＋a 2＋a 3＋……＋a 100＝1＋3＋5＋……＋195＋197＋199 ＝ 2 100 )1991(?+＝104 三、练习23 1. 已知 a 1=1, a 2=1, 且a n+2=a n+1+a n 那么 a 3=___,a 4=____,a 5=_____,a 6=_____,a 7=_____ 2. 若a 1=2m, a n = 1 2-n a 则a 2=__,a 3=__,a 4=__,a 5=__,a 1989×a 1990=___ 3. n 为正整数，有递推公式a n+1=a n －3，试用a 1,n 表示第n 项a n 4. 已知 a 1=10, a n+1=2a n 求a 10 5. 已知 f(2)=1, f(n+1)=f(n)+n, 求 f(10) 6. 设x+y=a 1, x 2+y 2=a 2, …… x n +y n =a n, xy=6, 则a 2=a 12－2b, 有递推公式a n+1=a 1a n －ba n-1, 试按本公式求出：用a,b 表示a 3, a 4, a 5, a 6 根据下列数据的特点，写出递推公式： ① a 1=1, a 2=4, a 3=7, a 4=10……a n =＿＿＿＿,a n+1＿＿＿＿＿＿＿＿ ② a 1=1, a 2=3, a 3=6, a 4=10……a n =＿＿＿＿＿＿,a n+1＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7. n 名象棋选手进行单循环比赛（每人对其他各人各赛一场）试用递推公式表示比赛的场数。 8. 平面内n 条的直线两两相交，最多有几个交点？试用递推公式表示。 返回目录 参考答案 上一页 下一页 练习23 1. 2，3，5，8，13 2. m 1，2m, m 1，2m, 2 3. a n =a 1-3((n-1) 4. a 10=29×10＝5120 5 f(10)=1+2+3+……＋9＝45 6. a 3=a 13-3a 1b, ……a 6=a 16-6a 14b+9a 12b 2-2b 3 7. ①a n =a n-1+3, a n+1=a 1+3 ②a n =a n-1+n , a n-1=a n +(n+1) 8. f(n+1)=f(n)+n, 9. 同上， f(1)=0,f(2)=1,f(3)=f(2)+2,f(4)=f(3)+3,……f(n)=f(n-1)+n-1 初中数学竞赛辅导资料（24） 连续正整数的性质 一、内容提要 一.两个连续正整数 1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。 2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。 3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。 4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40， 111＝55＋56。 二.计算连续正整数的个数 例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是 99999－10000＋1＝90000（个） 1. n 位数的个数一般可表示为 9×10n-1(n 为正整数，100＝1) 例如一位正整数从1到9共9个（9×100）， 二位数从10到99共90个 （9×101） 三位数从100到999共900个（9×102）…… 2.连续正整数从n 到m 的个 数是 m －n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的连续数的个数的计算，举例如下： 3. 从13到49的连续奇数的个数是213 49－＋1＝19 从13到49的连续偶数的个数是2 14 48－＋1＝18 4. 从13到49能被3整除的正整数的个数是315 48－＋1＝12 从13到49的正整数中除以3余1的个数是3 13 49－＋1＝13 你能从中找到计算规律吗？ 三.计算连续正整数的和 1. 1＋2＋3＋……＋n ＝（1＋n ） 2 n （n 是正整数） 连续正整数从a 到b 的和 记作(a+b)2 1 +-a b 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m 有同余数的和，举例如下： 2. 11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×2 23＝759 （∵从11到55有奇数211 55－＋1＝23个） 3. 11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）× 215＝480 （∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共3 11 53－＋1＝15） 四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和 1. 123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5） ＝9×5＝45 2. 1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98）， 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 初二数学竞赛辅导资料(共12讲) 目录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容 本次培训具体计划如下以供参考 第一讲实数一 第二讲实数二 第三讲平面直角坐标系函数 第四讲一次函数一 第五讲一次函数二 第六讲全等三角形 第七讲直角三角形与勾股定理 第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发 第九讲竞赛中整数性质的运用 第十讲不定方程与应用 第十一讲因式分解的方法 第十二讲因式分解的应用 第十三讲考试未装订在内另发 第十四讲试卷讲评 第1讲实数一 知识梳理 一非负数正数和零统称为非负数 1几种常见的非负数 1实数的绝对值是非负数即a≥0 在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则 绝对值的性质 ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b ③对任意实数a则a≥a a≥－a ④a·b＝ab b≠0 ⑤a－b≤a±b≤a＋b 2实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥0 3算术平方根是非负数即≥0其中a≥0 算术平方根的性质 a≥0 ＝ 2非负数的性质 1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数 2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零 3若非负数不大于零则此非负数必为零 3对于形如的式子被开方数必须为非负数 4推广到的化简 5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方 例题精讲 ◆专题一利用非负数的性质解题 例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根 巩固 1已知则的值为______________ 2若 的值 拓展 设abc是实数若求abc的值 ◆专题二对于的应用 例2已知xy是实数且 例3 已知适合关系式求的值 巩固 1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根 2已知则 初中数学竞赛辅导资料（12） 用交集解题 甲内容提要 1． 某种对象的全体组成一个集合．组成集合的各个对象叫这个集合的元素．例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个． 2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集 例如6的正约数集合A ＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B ＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C ＝｛1，2｝，集合C 是集合A 和集合B 的交集． 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示， 右图中左边的椭圆表示正数集合， 右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集． 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集． 例如 不等式组? ??<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是（ ） 不等式（1）的解集x >3和不等式（2）的解集x ＞2的交集，x >3． 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答．把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案． 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案．（如例2） 乙例题 例1． 一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值． 解：除以3余2的自然数集合A ＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝ 除以5余3的自然数集B ＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C ＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数． 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数． 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝； 其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组． 同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组 故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组． 例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人，订阅B 种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订B 种的各几人？数学兴趣小组共有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们 初二数学竞赛辅导资料勾股定理 内容提要 1．勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠a2＋b2=c2 2．勾股定理及逆定理的应用 1 作已知线段a的，，……倍 2 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 3 证明线段的平方关系等． 3．勾股数的定义：如果三个正整数a，b，c满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a，b，c 叫做一组勾股数. 4．勾股数的推算公式 4 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m和n(m>n，那么m2-n2，2mn，m2+n2是一组勾股数． 5 如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数． 6 如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数． 7 如果a，b，c是勾股数，那么na，nb，nc (n是正整数也是勾股数． 5．熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形．简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41． 例题 例1.已知线段a a a 2a 3a a 求作线段 a a 分析一：a＝＝2a ∴a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边． 分析二：a＝ ∴a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边．作图（略） 例2.四边形ABCD中∠DAB＝60，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC的长 解：延长BC和AD相交于E，则∠E＝30 ∴CE＝2CD＝4， 在Rt△ABE中 设AB为x，则AE＝2x 根据勾股定理x2+52=(2x2， x2= 在Rt△ABC中，AC＝＝＝例3.已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC 证明：作∠B的平分线交AC于D， 则∠A＝∠ABD， ∠BDC＝2∠A＝∠C ∴AD＝BD＝BC 作BM⊥AC于M，则CM＝DM AB2－BC2＝（BM2＋AM2）－（BM2＋CM2） ＝AM2－CM2＝（AM＋CM）（AM－CM） ＝AC×AD＝AB×BC 例4.如图已知△ABC中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 证明：设AB，AC，BD，CD分别为b，c，m，n 则c+n=b+m， c-b=m-n ∵AD⊥BC，根据勾股定理，得 AD2＝c2-m2=b2-n2 ∴c2-b2=m2-n2， (c+b(c-b=(m+n(m-n 初中数学竞赛辅导资料之因式分解 甲内容提要和例题 我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。下面再介紹两种方法 1．添项拆项。是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式 例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc ①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x) ②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2 解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2 ＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) 例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1 ①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里 16是完全平方数） ②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4) =x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5) ③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式 解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1 =a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1) 2．运用因式定理和待定系数法 定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a ⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。 例3因式分解：①x3－5x2+9x－6②2x3－13x2+3 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 ［知识点击］ 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 ［例题选讲］ 例1?化简x^4r^ +厂只+ 厂九 1 + 1— (x 2)(x 3) (x 3)(x 4)1 1,1 --- — ---------- ---- 十 x 1 x 2 x 2 1,1 1 ----- 十 ------ — ----- x 3 x 3 x 4 例2. 解：原式二 i (x 1)(x 2) x y kz(1) 解：易知：-一-= -―z= -一z = k 贝y x z ky(2) 亠z y x =2 或x+y+z=O y z kx(3) (1)+(2) +(3) 得: (k -2)(x+y+z)=0 k 若k =2贝9原式=k 3 = 8 若x + y + z =0,则原式二 k 3 =-1 例3.设 2 1， 求 x mx 1ft x 1 4 2 2 x m x 的值。 1 解：显然2 X 0,由已知x mx 1 “ =1 , x 贝y x +丄= x m + 1 4 2 2 .x m x 1 (2) x + 1) 2-2 x -m 2 2 ???原式二 一 2m 1 =(m +1) 2-2- m 2 = 2 m -1 例4.已知多项式3x3 +ax 2 +3x +1能被x2+1整除，求a的值 解: 1- a =0 二a =1 例5:设n为正整数，求证 1111 ++ …....+v 1 3 15(2n1)( 2 n 1) 2 证：左边=1(1 - 1 1-1 + ??…? +1-1 ) 23352n 12n 1 1(1-1) 22n1 1 全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集 第十讲整式的乘法与除法 中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法． 整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则： (1)a M· a n=a M+n； (2)(ab)n=a n b n； (3)(a M)n=a Mn； (4)a M÷a n=a M-n(a≠0，m＞n)； 常用的乘法公式： (1)(a+b)(a+b)=a2-b2； (2)(a±b)2=a2±2ab+b2； (4)(d±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3； (5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca． 例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数． 解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有 (1-x)3=1-3x+3x2-x3， 所以x2项的系数为3． 说明应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利． (x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2． 解原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1) =(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1) =13x-7=9-7=2． 说明注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8． 例3化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数． 解原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1 +x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n =1+(-x)n． 说明本例可推广为一个一般的形式： (a-b)(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n． 例4 计算 (1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)； (2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)． 分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合． 原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2 =c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2． (2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但 初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： （共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==. 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。 求根公式a ac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=。 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值。 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值。 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x 。 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==。 全国初中数学竞赛辅导(八年级)教学案全集1 第二讲因式分解(二) 2 1．双十字相乘法 3 分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六4 项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式． 5 例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排6 列，并把y当作常数，于是上式可变形为 7 2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)， 8 可以看作是关于x的二次三项式． 9 对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘10 法，分解为 11 12 即 13 -22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)． 14 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解 15 16 所以 17 原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］ 18 =(x+2y-3)(2x-11y+1)． 19 上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步20 骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图： 21 22 它表示的是下面三个关系式： 23 (x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2； 24 (x-3)(2x+1)=2x2-5x-3； 25 (2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3． 26 这就是所谓的双十字相乘法． 27 用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步28 骤是： 29 (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两 30 列)； 31 (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列32 构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交33 叉之积的和等于原式中的dx． 34 初中数学竟赛辅导资料(1) 数的整除（一） 甲内容提要： 如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除. ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。 如 1001 100－2＝98（能被7整除） 又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 乙例题 例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。 求x,y 解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2己知五位数x 1234能被12整除， 求X 解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8 4能被4整除时，X＝0，4，8 当末两位X ∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 丙练习 1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296 987能被3整除，那么a=_______________ 2若四位数a 12X能被11整除，那么X＝__________- 3若五位数34 35m能被25整除 4当m=_________时，5 9610能被7整除 5当n=__________时，n 6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152， ⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？ 1234能被15整除，试求A的值。 11己知五位数A 12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题） 第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =a b ； 当a =0且b ≠0时，无解； 当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？ 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？ 例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？ 例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 第三部分典题精练 1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9， ④|x |=－3, ⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________ 3. 在方程a (a －3)x =a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7. 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？ 一、 选择题：（每题5分，计30分） 1．计算：19.95×199.5﹢199.5×89.94﹣1.995×989结果正确的是（ ） A.19850 B.19950 C.19840 D.19940 2．若多项式x 2 ﹢ax ﹣12可以分解为系数是整数的两个一次因式的乘积，则a 可能取值的个数是（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 3．长方形周长是16厘米，它的两边x 、y 是整数，且满足x ﹣y ﹣x 2﹢2xy ﹣y 2 ﹢2=0,则其面积是（ ） A.10 B.12 C.15 D.18 4．已知a ﹢b=5,那么a 3﹢15ab ﹢b 3 的值为（ ） A.5 B.25 C.75 D.125 5．代数式2x 2﹢3y 2 ﹣8x ﹢6y ﹢1的最小值是（ ） A.-10 B.1 C.-2 D.-12 6．整式2x 2y 2-2y 2+(xy-1)(x-1)2 因式分解后含有的因式有（ ） A.xy-1 B.x 2-1 C.x-1 D.(x-1)2 二、 填空题：（每题5分，计30分） 1．因式分解（1）a 5+a+1=____________ (2)x 3+y 3+z 3 -3xyz=____________ 2．若x+y+z=0，则分解因式x 3+y 3+z 3 =______________ 3．（22﹢1）（24﹢1）（28﹢1）（216 ﹢1）=_______________ 4．设N=24×25×26×27+1，则N 是__________的平方。 5．已知x+y-2是二元二次式x 2+axy+by 2 -5x+y+6的一个因式，则a=________,b=_______. 6．计算2000 1999199619941998 )339941997)(20031997(22????-+-=______________. 三、 解答题：（每题10分，计40分） 1．因式分解： （1） x 4-14x 2 +1 （2）(x+y)3 +2xy(1-x-y)-1 2．证明324 -1能被91整除。 3．已知x 2-x+1=0，求x 4+x 2 +3的值 4．求证：如果x=a b 时，多项式a n x n ﹢a n-1x n-1 ﹢…﹢a 1x ﹢a 0的值为零，则ax-b 为这个多项式的因式。 第二十四讲* 整数的整除性 整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的． 1．整除的基本概念与性质 所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下． 定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b a． 关于整数的整除，有如下一些基本性质： 性质1若b｜a，c｜b，则c｜a． 性质2若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)． 性质3若c｜a，c b，则c(a±b)． 性质4若b｜a，d｜c，则bd｜ac． 性质5若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c． 性质6若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)． 性质7若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b． 性质8若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(a n-b n)． 性质9若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(a n-b n)． 性质10若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(a n＋b n)． 2．证明整除的基本方法 证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法； (3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明． 例1证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除． 分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可． 初中数学竞赛辅导资料（33） 同一法 甲内容提要 1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。 2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。 互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省（真命题） 逆命题：中国的一个省是福建（假命题） 但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京（真命题） 逆命题：北京是中国的首都（真命题） 因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。 3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： ①作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） ②证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 乙例题 例1.求证三角形的三条中线相交于一点 已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线 求证：AD，BE，CF相交于同一点 分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB 于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B） 证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180 ∴AD和BE相交，设交点为G 连结并延长CG交AB于F， 连结DE交CF，于M ∵DE∥AB F, G A B C D E F 初中数学竞赛辅导资料（6） 数学符号 甲内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即 当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△ 表示园和三角形等。 2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4, 逻辑符号：略 5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除 以b 的商的整数部份记作Z （ b a ），而它的余数记作R （b a ）， 那么 Z （310）＝3，R （3 10）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，?? ????32＝0，[]3-＝－3。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深， 由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作 出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 乙例题 例1设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算： ①〔4.07〕＋〔－7 32 〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉＋〔234><〕。 解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔2 1〕＝2＋0＝2 例2①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N （x ）表示整数x 的个位数， ① N （19871988）＝N （74×497）＝N （74）＝1 ②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3） ＝N （71）－N （33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。 全国初中数学竟赛辅导讲义修订(2) 三角形的边角性质 内容提要 三角形边角性质主要的有： 1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线 段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其 他两边和。用式子表示如下： a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-??? ????????>+>+>+?＜ 推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和 2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个 内角和。 推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180 六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 180 3. 边与角的关系 ① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边； 大边对大角，大角对大边。 ② 在直角三角形中， △ABC 中∠C=Rt ∠2 22c b a =+?(勾股定理及逆定理) △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中?? ??=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 例题 例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。 (1988年泉州市初二数 学双基赛题) 解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ?????+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得?? ???<->>51135.1a a ∴1.5初中数学竞赛辅导资料
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