数理方程与特殊函数(10-11-2A)参考答案

10---11-2 数学物理方程与特殊函数（A 卷）参考答案

一．填空题

1，自由项，齐次方程，非齐次方程，初值条件，（第三类）边界条件，初边值（混合）问题； 2，函数()t z y x u u ,,,= 1），具有二阶连续偏导函数；2），满足方程； 3，()xt t x w =,；4，)cos(t x π-；5，[]1,1-，t x t ≤≤-；

6，4122≤+

2<+y x ； 7，()x x 35213

-；()

323

31481-x dx

d ；无界的； 8，???

??=+≠;,1

22,

,0n m n n m ()()().,2,1,021211 =+?-n dx x P x f n n 二．解：相应方程的特征方程为：0)(2)(322=-+dt dxdt dx ，即：

31=dt dx ，1-=dt

dx

。 由此得积分曲线：13C t x =-，2C t x =+。作特征变换：t x -=3ξ，t x +=η，则：

ηξ??+??-=??u u t u ，ηξ??+??=??u u x u 3；2222

2222ηηξξ

??+???-??=??u u u t u ， 22222223ηηξξ??+???+??-=???u u u x t u ，222222239ηηξξ

??+

???+??=??u

u u x u 。 代入原方程，整理得：02=???η

ξu

，则通解为：()()ηξ21f f u +=，其中21,f f 是任意两个

连续二次可微函数。

因此原方程通解为： ()()()t x f t x f t x u ++-=213,。

由初值条件有： ()()22133x x f x f =+，()()0321='+'-x f x f 。 由微分方程有：()()C x f x f =-2133 因此 ()4

49321C

x x f +=，()44121C x x f +=，()44322C x x f -=。

代入通解得到所求解为：

()()()222234

3341

,t x t x t x t x u +=++-=

。

三．解：设函数()()t x u ,1()()t x u ,2分别是下列两个定解问题的解：

（Ⅰ）()()()()()()()???????=====--====.0,sin ,0,0,020*********t t t x x t xx tt u x u u u u u u π （Ⅱ）()()()()()()()???

?

???=====--====.0,0,0,0,sin 620202202222t t t x x t t xx tt u u u u x e u u u π

则根据线性方程解的叠加原理，原定解问题的解()()()()t x u t x u t x u ,,),(21+=。 现求解问题（Ⅰ）：设此问题的非平凡解()()()()t T x X t x u ?=,1，代入方程有

()()()()()()02='?-?''-''?t T x X t T x X t T x X ，则有：

()()()()()

x X x X t T t T t T ''='-''2。 上式左右两边分别是t 和x 的函数，只能等于同一常数λ-时才能成立，因此有

()()()02=+'-''t T t T t T λ，()()0=+''x X x X λ。

代入边界条件，注意到要求解的非平凡性，有()0)(0==πX X 。

由此有特征值问题：()()()()???===+'',

00,0πλX X x X x X 其特征方程是：02

=+λq ；

① 当0<λ时，特征根λ-±=q ，方程通解()x

x

Be Ae

x X ?--

?-+=λλ，由定解条件有

,0=+B A 0=+?--

?-π

λπ

λBe Ae

，则0==B A ，此时()0≡x X 是平凡解；

② 当0=λ时，特征重根0=q ，方程通解()B Ax x X +=，由定解条件有0==B A ， 此时()0≡x X 也是平凡解； ③ 当0>λ时，特征根i q ?±=λ，方程通解()x B x A x X λλsin cos +=。由定解条

件有,0=A 0sin

=πλB 。为了得到非平凡解，需0≠B ，则只能0sin =πλ，由此有

ππλn =，则特征值2n n =λ，特征函数()nx x X n sin =，() ,3,2,1=n ；

把2n n

=λ代入)(t T 的微分方程，得到()()()022=+'-''t T n t T t T ，其特征方程为

0222=+-n p p ，当1=n 时，特征重根1=p ，方程通解t e B t A t T )()(111+=；当2≥n 时，

特征根i n p

?-±=112，方程通解)1sin 1cos ()(22t n B t n A e t T n n t n ?-+?-=；

则满足问题（Ⅰ）中方程和边界条件的特解

()()()x e B t A t x u t sin ,1111?+?=,

()

()nx e t n B t n A t x u t n n n

sin )1sin 1cos (,221?-+?-=，2≥n , 由此得到级数解

()

()()nx t n B t n A e x e

B t A t x u

n n n t t

sin )1sin 1cos (sin ,222

111?-+?-++?=∑∞

=.

由初值条件()

x u

t sin 0

1==有x nx A x B n n sin sin sin 2

1=+∑∞

=. 根据特征函数系

{} ,3,2,1,sin =n nx 的正交性，有常数11=B ，0=n A , 2≥n . 因此

()

()()nx t n B e x e

t A t x u

n n t t

sin 1sin sin 1,22

11?-++?=∑∞

=，

关于t 求导得

()

()nx t n n t n e B x e A t A t x u t n n t

t sin )1cos 11(sin sin )1(,2222

111--+-+++=∑∞

=.

由初值条件()

00

1==t t

u 有0sin 1sin )1(2

2

1=-++∑∞

=nx B n x A n n .

同样根据特征函数系的正交性，有常数11-=A ，0=n B ,2≥n . 因此，问题（Ⅰ）的解

()()()x e t t x u t sin 1,1-=.

现求解问题（Ⅱ）：由于问题（Ⅰ）中的特征函数系{} ,3,2,1,sin =n nx ，设定解问题（Ⅱ） 的级数解为：()

()()∑∞

=?=12sin ,n n nx t u t x u

。代入方程和初值条件可得：

x e nx u

n u u t

n n

n

n

sin 6sin )2(1

2=+'-''∑∞

=,

(),0sin 01

=∑∞=n n

nx u ()0s i n 01

='∑∞

=n n

nx u ；

由特征函数系的正交性，有⑴?????='==+'-''==0,62011111

t o t t

u u e u u u 和2≥n 时 ⑵

????

?='==+'-''==.

0,0202

t n o t n n n n

u u u n u u 对于问题⑴，对应齐次方程的特征方程为0122

=+-p p

，特征重根1=p ，则齐次方

程通解t

e D t C t u )()(111+=. 设非齐次方程特解t

e t C t u 21)(?=*

，代入方程有3=C ，所以

t e t t u 213)(=*, 则方程通解t e D t C t t u )3()(1121++=. 由初值条件有011==D C ，

故问题⑴的解为t

e t t u 213)(=.

对于问题⑵，方程的特征方程0222

=+-n p p

，当2≥n 时，特征根i n p ?-±=112,

方程通解)1sin 1cos ()(2

2

t n B t n A e t u n n t

n ?-+?-=. 由初值条件有0==n n B A , 因此,0)(≡t u n 2≥n . 由此可知问题（Ⅱ）的解 ()

()x e t t x u t sin 3,22=.

综上可得，原问题的解()x e t t t x u t

sin )13(,2

+-=

四．解：记函数()x t x u ?),,(的-F 变换

()?+∞∞

--=dx e t x u t U x i ωω,),(, (),)(?+∞

∞

--=Φdx e x x i ω?ω

对方程和初值条件作-F 变换，并利用其微分性质，有

()()()()()(),0,,,0,,0

2

2

2=Φ==+==t t dt t dU t U t U a dt t U d ωωωωωω，

方程的特征方程为()02

2

=+ωλa ，特征值i a ?±=ωλ，则方程通解为

ωωωat B at A t U sin cos ),(+=

由初值条件有常数(),0,=Φ=B A ω所以()ωωωat t U cos ),(Φ=，则

()[]()[]ωωωat F t U F t x u cos ,),(11Φ==--

根据-F 变换的卷积定理有 ()[][]()[]ω?ωωat F x at F F

t x u cos cos ),(111

---*=*Φ=

根据-F 逆变换的定义和-δ函数的性质有

[]?+∞∞--?=

?ωωπ

ωπω

d e at t F ix cos 21cos 1 ()?+∞∞

--+=ωπω

ωωd e e e ix iat iat 41 ()())(41??+∞∞--+∞∞

-++=ωωπωω

d e d e at x i at x i

()()[]at x at x -++=δδ2

1

根据卷积的定义，最终得到初值问题的解

()()()[]at x at x x t x u -++*=δδ?2

1

),(

()()()())(21??+∞∞-+∞

∞

---++-=ττδτ?ττδτ?d at x d at x

()()[]at x at x -++=??2

1

五．证明： 记()()20201

y y x x r r MM ++-=

=, ()r y x v ln ,=. 0>y 时，0>r ，则

r x x x r 0-=??，r y y y r 0

+=??， 201r x x x r r x v -=??=??，201r y y y r r y v +=??=??， 所以 420222)(2r x x r x v --=??，4

2

0222)(2r y y r y v +-=??，故 []

022)()(224

224202022222=-=++--=??+??r

r r r y y x x r y v x v ，即02

=?v ； 由于()()20200y y x x r MM -+-=，则在0=y 时，有()2

02001

y x x r r MM MM

+-=

=,

因此0

ln ===y MM y r v . 综上所述，函数()1ln MM r M v =满足该Dirichlet 问题。

六．解： 由物理意义，温度函数),(t r u 满足自然条件：

① 当0,10><≤t r 时，∞<),(t r u ；②当+∞→t 时，.0),(→t r u

令)()(),(t T r F t r u =，代入方程得()())(1)()(2t T r F r r F a t T r F ??

?

??

'+

''='. 由此有 ()()())

()(222r F r r F r r F r t T a t T '+''=

'，此式成立，只能等式两边等于同一常数λ-, 因此有 ⑴ ()()02=+'t T a t T λ， ⑵()0)()(22=+'+''r F r r F r r F r λ.

方程⑴的解为()t a e C t T 2

λ-?=，由条件②知，0>λ，令0,2

>=ββλ。

⑵是-0阶Bessel 方程，此时方程⑵的通解为())()(0201r Y C r J C r F ββ+=. 由于第二类Bessel 函数)(0r Y β的值在0=r 时是无穷，由条件①知，常数02=C ， 因此()r J C r F β01)(=。由问题的边界条件知，()00=βJ ，即β是第一类Bessel 函数

()x J 0的零点。若()

0n

μ是()x J 0的正零点，则()0n μβ= ,,3,2,1 =n 由此可以得到 ()()r J r F n

n 0

)(μ=, ()()t

a n

n

n e C

t T 20)(μ-?=,

从而可以得到满足方程和边界条件的特解()()()

()

.,00)(20r J e

C t r u n t a n n n

μμ-?=