2016届江西省南昌市十所省重点中学命制高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(七)
2016届江西省南昌市十所省重点中学命制 高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数满足(34)|43|i z i -?=+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ）
A.4-
B.
45 C.4 D. 45
- 2. 设集合{||1|3}P x x =+≤，1
{|(),(2,1)}3
x Q y y x ==∈-，则P Q = （ ）
A. 1(4,)9-
B. 1(,2]9
C. 1(,2]3
D. 1
(,2)3
3．已知命题p ：?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则?p 是（ ） A 、?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B 、?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C 、 ?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0
D 、?x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0
4.若）
，（ππα2∈，)4sin(2cos 3απ
α-=，则α2sin 的值为（ ） A ． 1817- B ． 1817 C ． 181- D ．
181
5.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x 的取值范围是（ ）
A ．(4, 10]
B ．(2，+∞)C．(2， 4] D ．(4，+∞)
6. 有关以下命题：
①用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好；
②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79,P ξ≤=则(2)0.21P ξ≤-=； ③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为（ ）
A.2+
B.16+
C.8+
D.88.设,x y 满足约束条件30020x y a x y x y --≤??
-≥??+≥?,若目标函数z x y =+的最大
值为2,则实数a 的值为（ ）
A.2
B.
C.1-
D.2-
9．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则
3
16
2++n n a S 的最小值为（ ）
A ．4
B ．3 C
．2- D ．2
10. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b
y x a
=-的垂线,垂足为
A ,交双曲线的左支于
B 点,若2FB FA =
,则该双曲线的离心率为（ ）
11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数
值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b
a
和
d c (,,,)a b c d N *∈ ，则
b d
a c
++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值。我们知道 3.14159π=???，若令31491015π<<，则第一次用“调日法”后得16
5
是π
的更为精确
的过剩近似值，即
3116
105
π<<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）
A. 227
B. 6320
C. 7825
D.10935
12.已知函数()2f x x
π
=-
，()cos sin g x x x x =?-，当[]3,3x ππ∈-时，方程
()()f x g x =根的个数是（ ）
A 、8
B 、6
C 、4
D 、2
第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请将答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知6
1x ax ?
?+ ??
?展开式的常数项是540，则由曲线2y x =和a y x =围成的封闭图形
的面积为________.
14．ABC ?的三个内角为,,A B C
7tan 12
π
??
=-
???
，则2cos sin 2B C +的最大值为________.
15. 在平行四边形ABCD 中，0AC CB ?= , 22
240BC AC +-= ,若将其沿AC 折成直二面角D AC B --,则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为________.
16．设函数32,,
ln ,x x x e y a x x e ?-+<=?≥?的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ?是以O 为直角
顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5个题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．数列{}n a 的前n 项和为,n S 且21,n n S a =-设
22(log 1)n n b a =+， *n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n n b a ?的前n 项和n T ；
18．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ?=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．
19．某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟试验，准备用A 、B 、C 三种人工降雨方式分别
对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下
方式
实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验总次
数
A 甲 4次 6次 2次 12次
B 乙 3次 6次 3次 12次 C
丙
2次
2次
8次
12次
假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟试验的统 计数据
(I)求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；
(Ⅱ)考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．
20．已知椭圆Γ：122
22=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M
到其两焦点12,F F
的距离之和为 （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B
，且AB =0(,2)P x 满足=
PA PB ，求0x 的值．
21．已知R a ∈，函数|1|)()(--=x a x x f 。 （Ⅰ）若3=a ，求)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）函数)(x f 在],12[b a +-上的值域为]1,1[-，求b a ，需要满足的条件。
请考生在第22、23、24题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲 如图，AB 是圆O 的直径，弦AB CD ⊥于点M ，E 是CD 延长线上一点，,43,8,10OM ED CD AB ===EF 切圆O 于F ，BF 交CD 于G ． （1）求证：EFG ?为等腰三角形； （2）求线段MG 的长．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6,3(π
C ，半径3=r .
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且|OQ |∶|QP |＝2:3，求动点P 的轨迹方程．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x x R =-∈ （Ⅰ）解不等式()1f x x <+；
（Ⅱ）若对于,x y R ∈，有11
1,2136
x y y --≤+≤．求证：()1f x <．
江西参考答案
1-12 B C C A A D D A A C A B
13. 5/12 14．3/2 15. 4π 16． ]1
1,
0(+e 17.试题解析：（1）21n n S a =- ①
1121n n S a --=- ②
由①－②得 12n n a a -= 由于1121S a =- 11a = 12,(*)n n a n N -∴=∈（6分）
（2）22(log 1)2n a n b n =+= ……………………7分
由题意得：012122426222n n T n -=?+?+?+?… ③
12122242(22)222n n n T n n -=?+?++-?+?… ④
③-④得 12122(222)22n n n T n --=+++-?…(22)22n n =-?- …………10分
(22)22n n T n ∴=-?+=1(1).22n n +-+ …………………………12分
18．（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．
因为 四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点． 又FA=FC ，所以 AC FO ⊥． 因为 FO BD O = ， 所以 AC ⊥平面BDEF ． （ 4分） （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
所以AD//BC ，DE//BF ， 所以 平面FBC//平面EAD ．
又FC ?平面FBC ，所以FC// 平面EAD ． （8分） （Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=?，所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．
由OA,OB,OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ． （9分）
设AB=2．因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=?，则BD=2，所以OB=1，
OA OF ==．所以
(0,0,0),(0,1,0),(O A B C F ．
所以
CF =
，CB =
．
设平面BFC 的法向量为=()n x,y,z ，则有0,
0.
n CF n CB ??=???=??
所以
0,
0y +=+=??．
取x=1
，得(1,1)n =- ．
易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)v =
． （11分）
由二面角A-FC-B 是锐角，得
cos ,u v n v u v ???== ．
所以二面角A-FC-B
（12
分）
20.（Ⅰ）14
122
2=+y x ；
（Ⅱ）－3或－1 试题解析：
（Ⅰ）由已知2=a
得=a
，又=c ∴2224=-=b a c ．
∴椭圆Γ的方程为14
122
2=+y x ． （5分）
（Ⅱ）由???
??=+
+=,14
12,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ①
∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，
∴△0)123(163622>--=m m ，得216 则2321m x x -=+， 2123124-?=m x x ． =． 又由AB =，得23 1294 -+=m ，解之2m =±． （9分） 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x - =+= ，4 00m m x y =+=， 当2m =时，31 (,)22 E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13 ()22 y x - =-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-． （10分） 当2m =-时，31 (,)22 E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13 ()22 y x + =--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-． 综上所述，0x 的值为3-或1-． （12分） 21.解析：（Ⅰ）因为3=a ，?????<-+-≥+-=, 13 4,13 4)(2 2x x x x x x x f ，如图。 (3) 分 所以)(x f 的单调递增区间为)1,(-∞，),2(+∞。... 5分 （Ⅱ）因为)(x f 在],12[b a +-上的值域为]1,1[-，所以 1)12(1≤+-≤-a f ，即1221+≤≤-a 。......7分 ?????<-++-≥++-=, 1)1(,1)1()(2 2x a x a x x a x a x x f （i ）当11≤≤-a 时，12 1 0≤+≤ a ，所以 a x ≥时，0)(≥x f ，又a a <+-12， 所以1)12()(min -=+-=a f x f 得1-=a ，此时02 1 =+a ，而1)0(=f ， 所 以 ?? ?≤≥, 1)(,0b f b 得20≤≤b ，所以 ?? ?≤≤-=, 20, 1b a ......9分 (ii) 当1221+≤ 1 1+≤+ ① 当122122+≤≤-a 时，122 1 +-≤+a a ，所以 1)12()(min -=+-=a f x f ，得122+=a ，321++=b ......10分