文献综述

本科学生毕业论文

文献综述报告

题目浅谈线性方程组的解法

姓名

学号

院、系数学学院

专业数学与应用数学

指导教师代龙（副教授）

2011年11 月23 日

云南师范大学教务处制

本文主要是关于线性方程组求解的文献综述，我通过认真的阅读相关的文献，从而对求解线性方程组的参考文献，给出文献综述报告如下.

首先，在北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编，王萼芳，石生明修订的高等代数（第三版），本书分三个部分，即多项式理论，线性代数及群、环、域的概念介绍.

针对这次的论文写作，我参阅了第二章的行列式，主要讲解了n行列式及性质，行列式在计算，并给出了求解系数矩阵的行列式不为零，线性方程组的克拉默（Cramer）法则；第三章的线性方程组，主要讲解了求解线性方程组的消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理以及线性方程组解的结构；第四章的矩阵，主要讲解了矩阵的概念的一些背景，矩阵的运算，矩阵的乘积的行列式与秩，矩阵的分块，初等矩阵以及分块乘法的初等变换及应用举例。参阅了这些文献，并整理归纳，使其为我的论文做材料.

孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初编的计算方法与实习，计算数学是数学与计算机科学的交叉学科，它兼有这两门学科的基本特征，即既有数学的抽象性与严密性，又有计算机科学的实践性与技术性.

我主要参阅了第三章线性方程组数值解法，主要讲解了求解线性方程组的消元法：三角方程组的解法，高斯（Grauss）消去法，追赶法，列主元高斯消去法；矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用：矩阵分解的紧凑格式，改进平方根法，列主元三角分解法；向量范数和矩阵范数；迭代法：迭代法及其收敛性，雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）迭代法，高斯—赛德尔（Ｇａｕｓｓ—ｓｅｉｄｅｌ）迭代法；第5章曲线拟合，主要讲解了最小二乘原理，超定方程组的最小二乘解，应用实例：价格、广告与赢利；

张晓丹主编的应用计算方法教程，全书共分11章，内容包括：计算方法概论，数值计算理论基础，非线性方程求根，线性与非线性方程组的数值解法，矩阵特征值与特征向量的计算，插值与逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题与边值问题的数值解法.

针对这次的论文写作，我主要参阅了第四章线性方程组的直接解法，高斯消元法：回代法，高斯顺序消元法，选主元消元法，计算量与稳定性；矩阵分解与应用：矩阵的直接LU分解，追赶法，平方根法；误差分析：方程组的误差估计，矩阵的条件数与迭代求精法；应用实例。第五章方程组的迭代解法，线性方程组的迭代解法：常用迭代法，迭代法收敛性分析；应用实例。第八章函数逼近与曲线拟合，曲线拟合的最小二乘法：问题描述与求解，基于正交函数的最小二乘法；应用实例：函数逼近，数据拟合.

林成森编的数值分析，本书系统地介绍了基本常用的数值计算方法和一些现代数值

方法及有关理论分析.主要内容有解线性方程组的直接法和迭代法，插值法，函数逼近，数据的最小拟合，数值积分，解非线性方程和方程组的数值方法，常微分方程初值问题和边值问题的数值解法，求线性方程组的最小二乘解的数值方法，矩阵特征值问题.

针对这次的论文写作，我主要阅读了第2章解线性方程组的直接方法：解线性方程组的高斯消去法，直接三角分解法，行列式和逆矩阵的计算，向量和矩阵的范数，误差分析；第3章解线性方程组的迭代法：雅可比（Ｊａｃｏｂｉ）迭代法，高斯—赛德尔（Ｇａｕｓｓ—ｓｅｉｄｅｌ）迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR方法）；第6章数据的最小二乘拟合：线性最小二乘拟合问题.

王雪，孙自行，“五猴分桃问题”的线性方程组新解法，阜阳师范学院学报（自然科学版），给出了求解线性方程组的二对角法，主要是一次中国科学院教授李政道先生在中国科学技术大学讲课时提到的，很多人没有给出解法，最后巧妙的利用了线性方程组的求解，二对角的线性方程组，变量转换很巧妙的得到结果.

刘雄，魏庆平，改进的求解线性方程组的升阶法，湛江师范学院学报，给出了求解线性方程组的升阶法.

高培旺，雷勇军编的计算方法典型例题与解法，数值计算的内容非常丰富，包罗万象。该课程主要介绍最基本数学问题的数值方法和理论，主要内容有：数值计算的误差分析，函数插值，函数逼近与曲线拟合，数值积分与数值微分，常微分方程数值解法，非线性方程求根，线性方程组的直接方法，线性方程组的迭代法，矩阵特征值与特征向量的计算.

针对我的这次论文写作，我主要参阅了第七章解线性方程组的直接方法，第八章解线性方程组的迭代法，第九章矩阵的特征值与特征向量的计算，第三章函数逼近与曲线拟合，这几章的相关习题和主要内容.

（美）杰拉尔德（Gerald，C，F），（美）惠特莱（Wheatley，P.O.）（著），应用数值分析，本书包括：误差概念，非线性方程和方程组的解法，线性代数组的解法，插值和曲线拟合，函数逼近，数值微分和数值积分，常微分方程的数值解法，优化方法，偏微分方程，有限元方法.

针对我的这次写作，我重点阅读了第二章求解线性方程组：矩阵和向量，消去法，矩阵的逆和病态矩阵，病态方程组，迭代法，并行处理；第三章插值与曲线拟合：插值多项式，差商法，样条曲线，贝塞尔曲线和B-样条曲线，曲面的插值逼近，最小二乘逼近。我认真的阅读，为论文的写作准备文献资料.

以上就是我的这次论文写作的相关参考文献，同时随着计算机的发展，科学计算已经与理论研究及科学实验并列成为当今世界科学活动的三种主要方式。在现代科学与工程计算领域中，线性方程组的求解是科学与工程计算的重要方法之一。许多有效的数值方法如有限元法、差分法，最终都涉及到线性方程组的求解.

所以，线性方程组的求解是很重要的，我们有必要对它进行深入的研究，各种解法的对比学习，发现它们的共同点和不同点，以及各种的解法的适用范围，对比的学习

加深了我们对线性方程组的认识，有利于实际问题的解决.

我的这个选题，就是把解线性方程组的各种解法，分类归纳，比较各种解法的优缺点，以及适用什么类型的线性方程组。读者可以通过本论文，更加深刻的理解线性方程组，更好的处理实际问题中的线性方程组求解.

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.王萼芳、石生明（修订）.高等代

数[M]（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.

[2]孙志忠,吴宏伟,袁慰平,闻振初.计算方法与实习[M]（第4版）.南京：东南大学出

版社，2005.

[3]张晓丹.应用计算方法教程[M].北京：机械工业出版社，2008.

[4]林成森.数值分析[M].北京：科学出版社，2007.

[5]余长安.线性代数[M].武汉：武汉大学出版社，2010.

[6]高培旺，雷勇军.计算方法典型例题与解法[M].长沙：国防科技大学出版社，2003.

[7]刘雄，魏庆平.改进的求解线性方程组的升阶法[J].湛江师范学院学报，2006,6.

[8]王雪，孙自行.“五猴分桃问题”的线性方程组新解法[J].阜阳师范学院学报（自然

科学版），2007,1.

[9] ( the United States ) Gerald ( Gerald, C, F ). ( USA) Huitelai ( Wheatley, P.O. ) (a) applied numerical analysis [ M]. Beijing: Machinery Industry Press,2006.

[10]余航.关于解线性方程组的新方法[J].桂林师范高等专科学校学报，2010, 1.