球形译码方案

下面首先介绍两种针对实数普通球形译码方法。

1 Babak Hassibi and Haris Vikalo 方法（深度优先算法） 2

2x H s d

-≤ （1） 其中y 为接收符号，x 为发送符号，H 为冲激响应矩阵，d 为搜索半径，d 其实为允许的误差范围，如果d 太大就增加了搜索范围，从而增加复杂度。

对冲激矩阵H 进行QR 分解，矩阵大小为n 行m 列，其中n m ≥，m 为发送天线，n 为接收天线。

()0n m m R H Q -???=????

（2） 其中R 是m m ?上三角矩阵，并且12[]Q Q Q =是一个n n ?正交矩阵，矩阵1Q 和2Q 分

别代表矩阵Q 的前m 列和n m -列，因此公式1可以变化为：

[]2

2

2

2

211

212200R R Q d x Q Q s

x s

Q x Rs

Q x Q ***

*????

??≥-=-=-+????????

????

（3）

其中()*

?为厄密矩阵变换。公式3可以变化为：22

22

1d Q x Q x Rs *

*-≥- （4） 令1y Q x *=,2

'222

d d Q x *

=-,所以公式4 可以写为： 2

'2,1m

i i j j i j i d y r s ==??

≥- ???

∑∑ （5）

其中,i j r 是矩阵R 的元素。R 是上三角矩阵。公式5可以展开 ()()2

2

'2,11,1,1....m m m m m m m m m m i m d y r s y r s r s -----≥-+--+ （6）

由公式6可知，第一项只有m s 未知，而第二项中1{,}m m s s -未知。由必要条件可知

()2

'2,m m m m d y r s ≥- （7）

公式7展开变换为：'',,m m m m m m m d y d y s r r ????-++≤≤??????????

（8）

已知公式8不是充分条件，当选中满足条件的m s 时，计算下一个值1m s -，这时需要更新

半径。()2

'2'2

1,m m m m m d d

y r s -=--，并且1|11,m m m m m m y y r s ---=-，根据公式6可知， ''

11|11|11,11,1m m m m m m

m m m m m d y d y s r r ---------????-++≤≤??????????

，再确定一个1m s -，继续计算下一个值2m s -

下面列出算法流程：

输入参数：Q,R,x, 1y Q x *=,'d

1 设置k=m,'2

2

22

m d d Q x *

=-,|1m m m y y += 2 计算k s 的界限，设置上界()()

'|1

,k k k k k k UB s d y r +??=+?

?，()',1k m k k s d y r ??=-+-??

3 1k k s s =+.判断如果()k k s UB s ≤，那么跳至步骤5，否则跳至4。

4 k=k+1,如果k=m+1，终止计算，否则，跳至步骤3。

5 如果k=1,跳至6；否则 k=k-1,|1,1

m

k k k k j j j k y y r s +=+=-∑

，()2

'2'211|21,11k k k k k k k d d y r s ++++++=--

跳至步骤2。

6 找到结果，将数组s ，以及Hs 与接收信号y 的差距()2

'2

'2111,11m d d y r s -+-，并且跳至步骤

3。

说明：搜索根据深度优先原则，首先从K=M 开始，如果选定的k s 没有超出规定范围，那么更新半径，进行下一个维的搜索，每次k s 的选择遵从从小到大的原则，如果新半径小于0，那么跳至上一维，重新选下一个范围内的点，重新更新半径，如果都满足半径要求，直至到一维时，需要将1k k s s =+，然后保存向量S ,然后如果超过范围，那么跳至上一维，进行1k k s s =+，然后再继续向下一维计算，循环下去，直至最后退到m 维的范围中最后一个值，

然后跳至m+1

维，程序结束。

K=4

K=3

K=2K=1

实施例：

本图为4维数组搜索，当k=4时，第一次设置半径'd ，满足4s 的有三个点，从左边最小的点开始，向k=3，进行搜索，这时更新半径，得到'1m d -，满足3s 的有三个点，同样从左边最小的点开始，当k=2时，更新半径，满足2s 的有一个点，但是当k=1时，更新过半径，半径小于0，然后退回到k=3的下一点，更新半径小于0，然后2s 再跳转到下个点，继续向下遍历，当k=1时，保存向量S .然后跳转到k=2的另一个点，由于更新半径小于0，那么返回到k=3，一直进行遍历，最终当k=4内第三个点遍历过，跳至k=5，程序结束。

2 Fincke and Pohst 算法

首先通过LS 估计得到?1*1?ls s

H x R Q x -==，或者使用MMSE 得到()1

2?_H H s MMSE H H I H y σ-=+，同时2

2

2

*

2?Q x

x

Hs

=-，因此公式4可以变化为： ()2

222??d x Hs

R s s -+≥-，令2

2

'22?d d x Hs =-+，因此不等式变化为： ()

()2

2

1,'22

2

,,1111,1???....m m

m m m m m a m m m m m m m r d r s s r s s s s r -------??≥-+?-+-+ ? ???

'',,?m m m m m m m d d s s s r r ????-≤≤+??????????，''

111|11|1,11,1??m m m m m m m m m m m d d s s s r r ---------????-≤≤+??????????

其中，()()1|11,1,1???m m m m m m m m m s

s r r s s -----=--。因此算法如下描述： 输入参数：?,,,R x s

d . 步骤和方法1相似，具体参考[1]. 3 复数的球型译码

复数球形译码是将复值符号分为实部和虚部考虑，具体参考[2]. ()()Re Im Y y Y ????=???? ,()()()()Re Im Im Re H H H H H ??-??=????

,()()Re Im s s s ??=???? 通过上式可以看出，该实数模型比复数模型的维数增加了一倍。

球形译码优化

球形译码优化分两部分，第一个是搜索半径，第二个是搜索方式。 半径优化

1 22r n ασ=，其中2σ为噪声方差，n 为两倍的发射天线数目，12

n

11k

2n e d n αλλ

λ--=-

??Γ ???

?

，k 为符号数/发射天线数。Γ为gamma 函数，11k decoding time

the total ξ=

=，从而得到译码正确率1ξ-，根据 1ξ-查表得到参数α。1ξ-与α的对应关系参考文献[3]中表1。 2 基于接收信号最小均方差解

首先计算接收信号的最小均方差解()1

2?_H H x MMSE H H I H y σ-=+，其中，y 为接收信号，

H 为信道矩阵，I 为单位矩阵，2σ为噪声方差；对?x

进行硬判决得到相应的网格点，并利用信道H 进行重构得到?y

；计算初始半径?d y y =-。 3 可选择半径的方法

在专利[]中提出一种基于信噪比和信道条件数的选择半径方法，根据权值公式计算出当前条件对应的权值()1**CN SNR ψββ=--+

然后根据调制方式，确定目标误比特率对应要求的信噪比'SNR ，然后计算阈值：

'12*Threshold SNR ψλλ=-,其中，11 1.8λ<<，234λ<<。判断所述权值ψ是否大于所述阈值 Threshold ψ，若大于选用方法1，否则选用方法2。通过这种方法能够保证初始半径球内至少有

一个网格点，能够保持性能的前提下，并且降低复杂度。 搜索方式优化

已知上下边带为()

'|1

,()1k k k k k k LB s d y r +??=-+-?

?,()()'|1,k k k k k k UB s d y r +??=+??

原始的搜索顺序为(),()1,...,().k k k LB s LB s UB s + 而在Schnorr –Euchner 版本中，搜索从中间点开始搜索

[]|1,?k k k k k y s r +??

=?????

?，[][][]???,1,1,....k k k s

s s -+。更多有关这个版本参考文献[4]. 另外参考文献[5]中给出了另一种方法，将星座点产分为多个分量，例如将16QAM 拆分为两级QPSK 星座点计算，对于64QAM 调制可以拆分为三个QPSK 星座点。

参考上图，译码装置可以拆为两级QPSK 译码，一级确定位于哪个象限，二级确定位于更精确点。具体想法在更新中。

参考文献：

1 On the Sphere-Decoding Algorithm I

2 A New Reduced-Complexity Sphere Decoder 3减小球形译码初始化半径的方法 4 On the Sphere-Decoding Algorithm I I

5一种球形译码半径计算方法及装置