高考物理：模型案例集锦之人船模型之一
物理：模型案例集锦
人船模型之一
“人船模型”，不仅是动量守恒问题中典型的物理模型，也是最重要的力学综合模型之一．对“人船模型”及其典型变形的研究，将直接影响着力学过程的发生，发展和变化，在将直接影响着力学过程的分析思路，通过类比和等效方法，可以使许多动量守恒问题的分析思路和解答步骤变得极为简捷。
1、“人船模型”质量为M的船停在静止的水面上，船长为L，一质量为m的人，由船头走到船尾，若不计水的阻力，则整个过程人和船相对于水面
移动的距离？
分析：“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该
系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所
受到的合外力为零；即人和船组成的系统在运动过程中总
动量守恒。
解答：设人在运动过程中，人和船相对于水面的速度分别为ν和u，则由动量守恒定律得：
m v=Mu
由于人在走动过程中任意时刻人和船的速度ν和u均满足上述关系，所以运动过程中，人和船平均速度大小u
ν和也应满足相似的关系，即
mν=M u
而x t
ν=，
y
u
t
=，所以上式可以转化为：
mx=My
又有，x+y=L,得：
M
x L
m M
=
+
m
y L
m M
=
+
M
L
m
M
L
x
y
以上就是典型的“人船模型”，说明人和船相对于水面的位移只与人和船的质量有关，与运动情况无关。该模型适用的条件：一个原来处于静止状态的系统，且在系统发生相对运动的过程中，至少有一个方向(如水平方向或者竖直方向)动量守恒。
2、“人船模型”的变形
变形1：质量为M的气球下挂着长为L的绳梯，一质量为m的人站在绳梯的下端，人和气球静止在空中，现人从绳梯的下端往上爬到顶端时，人和气球相对于地面移动的距离？
分析：由于开始人和气球组成的系统静止在空中，
竖直方向系统所受外力之和为零，即系统竖直方
向系统总动量守恒。得：
mx=My
x+y=L
这与“人船模型”的结果一样。
变形2：如图所示，质量为M的1
4
圆弧轨道静止于光滑水平面上，轨道半径为R，今把质
量为m的小球自轨道左测最高处静止释放，小球滑至最低点时，求小球和轨道相对于地面各自滑行的距离？https://www.360docs.net/doc/1214556476.html,
分析：设小球和轨道相对于地面各自滑行的距离为x和y，将小球和轨道看成系统，该系
统在水平方向总动量守恒，由动量守恒定律得：
mx=My
x+y=L 这又是一个“人船模型”。
3、“人船模型”的应用
m
M
x
y
m1m2
L
①“等效思想”
如图所示，长为L 质量为M 的小船停在静水中，船头船尾分
别站立质量为m 1、m 2（m 1>m 2）的两个人，那么，当两个
人互换位置后，船在水平方向移动了多少？
分析：将两人和船看成系统，系统水平方向总动量守恒。
本题可以理解为是人先后移动，但本题又可等效成质量为12()m m m m ??=-的人在质量为2'2M M m =+的船上走，这样就又变成标准的“人船模型”。
解答：人和船在水平方向移动的距离为x 和y ，由动量守恒定律可得：
'mx M y ?=
x y L +=
这样就可将原本很复杂的问题变得简化。
②“人船模型”和机械能守恒的结合
如图所示，质量为M 的物体静止于光滑水平面上，其上有一个
半径为R 的光滑半圆形轨道，现把质量为m 的小球自轨道左测
最高点静止释放，试计算：
1．摆球运动到最低点时，小球与轨道的速度是多少?
2．轨道的振幅是多大? 分析：设小球球到达最低点时，小球与轨道的速度分别为v 1和v 2，根据系统在水平方向动量守恒，得：12mv Mv =
又由系统机械能守恒得：22121122
mgR mv Mv =+ 解得：12MgR v m M =+，22m MgR v M m M
=+ M
'M m ? x y M m
m ? 'M
当小球滑到右侧最高点时，轨道左移的距离最大，即振幅A 。 由“人船模型”得：
mx My =
2x y R += 解得：2M x R m M =+，2m y R m M
=+ 即振幅A 为：2m A R m M =+