08-09学年中国农业大学概率论期末考试题及答案

中国农业大学2008 ~2009 学年 概率论与数理统计

一、 填空题(每题3分, 共30分)

1、设A 、B 是两随机事件,且P(A)=0.6, P(B)=0.7,则在条件( ) 下P(AB)取到最大值( );在条件( )下, P(AB)取到 最小值( )。

2、 在15只同类型的产品中有2只次品，从中取3次,每次取一只作

不放回抽样，则恰好取到2只次品的概率为（ ）。 3、设随机变量X 服从参数3

1=θ的指数分布, 则F(1) =( ) 4、若随机变量X 与Y 相互独立同分布,都服从N(μ, σ2), Z 1= αX+βY , Z 2= αX- βY , 则Cov(Z 1, Z 2) = ( )。

5、设随机变量X 的密度函数 f(x) = π

π><≤≤x x x x ,0,

00,,

sin 2

1

则m=( ) 时, P(Xm)。

6、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 且E[(X-1)(X-2)]=1, 则 λ =( )。

7、设X 1,X 2,X 3相互独立,都服从b(1, 0.5), X=X 1+X 2+X 3, 则P(X >1) =( )。

8、已知X 1,X 2, ? ,X n 独立同分布,且)(~)2

(221n x n

i i χ∑=,则X 1 ~ ( )。

9、设总体X~ N(0,1) , X 1,X 2, ? ,X n 为X 的一个简单随机样本,则

24

23

21x

x x x +- ~ ( )。

10、设X 1,X 2, ? ,X n 是来自参数为λ的泊讼分布总体的一个样本，则 （X 1,X 2, ? ,X n ）的分布率为（ ）。

二、判断题 (每题2分共10分,正确的打“∨”,错误的打“?”)

1、如果)(~),(~22221221n n χχχχ，则)(~2122

221n n ++χχχ。 （ ）

2、设X 1,X 2, ? ,X n 为X 的一个简单随机样本,那麽样本二阶

中心矩B 2=21

)(1X X n n

i i -∑=不是总体方差D(X)的无偏估计。 （ ）

3、在假设检验中,犯第一类错误的概率α与犯第二类错误的

概率β之和一定等于1。 ( ) 4、D(X) = 0的充分必要条件是 X = C 。 ( ) 5、两随机变量X 与Y 的相关系数ρxy = 0时, X 与Y 不一定

相互独立。 ( )

三、假设某地区位于甲、乙两河流汇合处,当任一河流泛滥时,该地区就

遭遇水灾。设某时期甲河流泛滥的概率为0.1, 乙河流泛滥的概率为 0.2, 当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3, 求: (1) 某时期内该地区遭受水灾的概率;

(2) 乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。 （10分）

四、设随机变量X 的概率密度为 f(x) =

,

00

,

≤>-x x e x λ 求: (1) λ值 ; (2) D(2X- 1) ; (3) Y=X 2 的概率密度。 (10分)

五、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为

,)(2

1

)(y x e y x +-+ x>0, y>0 f(x,y) =

0, 其它

(1) 问X 与Y 是否相互独立；

(2) 求 F X (x) 。 （10分）

六、设总体X 的概率密度为 10,

)1(<<+x x a a

f(x) =

0, 其它

求：(1) 参数 a 的矩估计量；

(2) 参数 a 的最大似然估计量。 (15分)

七、要求一种元件平均使用寿命不得低于1000小时，生产者从一批这种元件中随

机抽取25件，侧得其平均寿命值为950小时。已知该种元件寿命服从标准差为σ=100小时的正态分布, 求: （1）μ的置信水平为0.95的置信区间；

（2）在显著性水平 α = 0.05 下确定这批元件是否合格?

即检验假设 H 0：μ ≥1000； H 1：μ <1000

参考数据：t 0.05(24)=1.7109, t 0.05(25)=1.7081, t 0.025(24)=2.0639 t 0.025(25)=2.0595 , z 0.025 =1.96, z 0.05=1.645

（10分）

八、设X 1,X 2, ? ,X n 是来自总体X 的一个样本，E(X)=μ , D(X)= σ2 ,

2

1

2

)(11X X n S n i i

--=∑=, 试证明: 221)(S n X - 是μ2 的无偏估计。(5分)

2008~2009学年秋季概率统计C 试卷A 参考答案

一、1. B ?A, 0.6, A ?B=S, 0.3 ； 2.

35

1

； 3、1-e -3 ；

9. t(2) ; 10.

!

1

1

i n

i n x x e n

i i

=-∏∑=λ

λ

.

二、 ? ∨ ? ? ∨

三、设A ：“甲河泛滥”, B:“乙河泛滥”, C: “该地区遭受水灾”, A 、B 相容不独立.

(1) P(C) = P(A ?B) = P(A)+P(B)- P(A)P(B/A)

= 0.1+0.2 - 0.1?0.3 = 0.27 ---------------------5分 (2)P(A/B) =15.02

.03

.01.0)()/()(=?=B P A B P A P , -----------------10分

四、解：(1) 因X 服从指数分布, 故λ =1 ------------------2分

(2) D(2X-1) = 4D(X) = 4 ------------------5分

(3) Y=X 2 在( 0, +∞ ) 单调, y

x y x y 21,='=

y> 0, f Y (y) = y

e y

-

21 ; y ≤ 0 , f Y (y)=0 -----------10分

五、(1) ?

?

?∞

+--∞

+--+-∞

++

=+=>0

)(0

2

2

2)(,0dy ye e dy e xe dy e y x x f x y x

y

x

y x X

x

x x e x e xe ---+=Γ+Γ=2

1)2(2)1(2 x ≤ 0 , f X (x) = 0 ----------------4分 类似有

y > 0, 0)(,0,2

1)(=≤+=

-y f y e y y f Y y

Y

因x>0, y>0 时, f(x,y) ≠f X (x)f Y (y) , 所以X 与Y 不独立。---------8分 (2) x ≤ 0 , F X (x) = 0 ,

-------------12分 六、（1）因21

0121)1()(++++=

+=?a a x a a dx x a X E ?2

1

10++=a a 又 ,)(?X x E = X a

a

=++?

2?1? , 所以 X

X a

--=11

2? ---------------6分 （2）0

i n a i

n

i x a x a a L )()1()1()(1

1

==∏+=+∏=

)ln()1ln()(ln 1

i n

i x a a n a L =∏++= -------------10分

)1ln (?,0)ln(1

)(ln 1

1+-=?=∏++=∑==n

i i

i n i x

n

a

x a n

da a L d . --------13分

七、(1) 所求置信区间为: 39295025

100096.1950025

.0±=?

±=±n

z X σ

=（558 , 1342） -------------5分 (2) 用Z 检验法，因 645.15.225

/1001000950-<-=-=

z ，

故拒绝H 0, 认为这批元件不合格。 ---------------10分

八、证: 因 )(1)(]1)[(2222S E n

X E S n X E -=- ----------------2分

=222

22

)(1)()(μσμσ=-+=

-+n

n X D n X E X D 1