解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标
§1.3 数量乘矢量
4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→
→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382
∴→
AB 与→
BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．
6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,
CN 可 以构成一个三角形.
证明： )(21
AC AB AL +=
Θ )(21
BC BA BM +=
)(2
1
CB CA CN +=
0)(2
1
=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL
7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON .
[证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC +=
)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。
8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA +OB +OC +OD ＝4OM .
[证明]：因为OM ＝
21
(OA +OC ), OM ＝2
1
(OB +OD ), 所以 2OM ＝2
1
(OA +OB +OC +OD ) 所以
OA +OB +OC +OD ＝4OM .
10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．
图1-5
证明 已知梯形ABCD ，两腰中点分别为M 、N ，连接AN 、BN ． →
→
→
→
→
→
++=+=DN AD MA AN MA MN ，
→
→
→
→
→
→
++=+=CN BC MB BN MB MN ，∴ →
→
→
+=BC AD MN ，即
§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
3.、设一直线上三点A , B , P 满足AP ＝λPB (λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：
OP ＝λ
λ++1OB
OA
[证明]：如图1-7，因为
AP ＝OP －OA ,
PB ＝OB －OP ,
所以 OP －OA ＝λ (OB －OP ),
(1+λ)OP ＝OA +λOB ,
从而 OP ＝λ
λ++1OB
OA .
4.、在ABC ?中,设,1e AB =2e AC =.
(1) 设E D 、是边BC 三等分点,将矢量AE AD ,分解为21,e e 的线性组合; （2）设AT 是角A 的平分线(它与BC 交于T 点),将AT 分解为21,e e 的线性组合 解：（1）()
12123
1
31,e e BC BD e e AB AC BC -==-=-=Θ， 2111231323131e e e e e BD AB AD +=-+=+=，同理123
1
32e e AE +=
（2）因为
||||TC BT ＝|
|||11e e , 且 BT 与TC 方向相同， 所以 BT ＝
|
||
|21e e TC . 由上题结论有
AT ＝
|
|||1|
||
|21
2
211e e e e e e ++
＝||||||||212112e e e e e e ++. 5．在四面体OABC 中，设点G 是ABC ?的重心（三中线之交点），求矢量OG 对于矢量
OC OB OA ,,,的分解式。
图1-7
解：G Θ是ABC ?的重心。∴连接AG 并延长与BC 交于P
()
(
)()
AC AB AC AB AP AG AC AB AP +=+?==+=
31
213232,21Θ 同理()(
)
CB CA CG BC BA BG +=+=3
1
,31 C O
()BC AB OA AG OA OG ++=+=∴31
（1） G P
()BC BA OB BG OB OG ++=+=3
1
（2） A B
()
CB CA OC CG OC OG ++=+=31
（3） （图1）
由（1）（2）（3）得
()()
CB CA BC BA AC AB OC OB OA OG ++++++
++=3
131
3 OC OB OA ++=
6．用矢量法证明以下各题
（1）三角形三中线共点
证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。AL 与BM 交于1P ，AL 于CN 交于2P BM 于CN 交于3P ，取空间任一点O ，则 A
()
BC BA OB BM OB BP OB OP ++=+
=+=3
1
3211 ()()
OC OB OA OB OC OB OA OB ++=-+-+=31
31 A
同理()
OC OB OA OP ++=31
2 N M
()
OC OB OA OP ++=31
3 B L C
321,,P P P ∴三点重合 O ∴三角形三中线共点 （图2） 即()
OC OB OA OG ++=
3
1
§1.5 标架与坐标
9. 已知线段AB 被点C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,试求这个线段两端点A 与B 的坐标. 答 A(-1,2,4),B(8,-4,2).
10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍. 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来.
[证明]：设四面体A 1A 2A 3A 4,A i 对面重心为G i , 欲证A i G i 交于一点(i ＝1, 2, 3, 4).
在A i G i 上取一点P i ，使i i P A ＝3i i G P , 从而i OP ＝
3
13++i
i OG OA ，
设A i (x i , y i , z i )(i ＝1, 2, 3, 4)，则
G 1???
?
?++++++3,3,34324
324
32
z z z y y y x x x , G 2???
?
?++++++3,3,
34314
31431z z z y y y x
x x , G 3???
??++++++3,3,34214
214
21
z z z y y y x x x , G 4??
?
?
?++++++3,3
,33213
213
21
z z z y y y x x x , 所以
P 1(
31334321+++?
+x x x x ,31334321+++?+y y y y ,3
1334
32
1+++?+z z z z ) ≡P 1(
44321x x x x +++,44321y y y y +++,4
4
321z z z z +++).
同理得P 2≡P 3≡P 4≡P 1，所以A i G i 交于一点P ，且这点到顶点距离等于这点到对面重心距离的
三倍.
§1.7 两矢量的数性积 3. 计算下列各题.
（1）已知等边△ABC 的边长为1,且BC a =u u u r r ,CA b =u u u r r ,,AB C =u u u r u r
求ab bc ca ++r r r r r r ；
(2)已知,,a b c r r r 两两垂直,且1,a =r 2,b =r 3,c =r 求r a b c =++r r r r 的长和它与,,a b c
r r r
的夹角.
(3)已知3a b +r r 与75a b -r r 垂直，求,a b r r
的夹角. (4)已知2,a =r 5,b =r 2
(,),3
a b π∠=r r 3,p a b =-u r r r 17.q a b λ=+r r r 问系数λ取何值
时p u r 与q r
垂直？
解
(1)∵
1,a b c ===r r r ∴0
cos120ab bc ca a b ++=??r r r r r r r r
0cos120b c +??r r
c a +??r r 0cos12032
=-
(2)∵,a b c ⊥⊥r r r
且1,a =r 2,b =r 3c =r .
设r a b c =++r r r r 23i j k =++r r r ∴222
123r =++r 14=
设r r 与,,a b c r r r
的夹角分别为 ,,.αβγ
∴114cos ,1414α=
= 214cos ,714β== 3314cos .
1414
γ==
∴arccos
α=1414，14arccos 7β=，314
arccos
.14
γ= (3)(3)(75)a b a b +?-r r r r
0=，即22716150a ab a +-=r r r r (1)
(4)a b -?r r (72)a b -r r
0=，即2273080a ab b -+=r r r r (2)
(1)-(2)得：22a b b ?=u u r r r (1)8(2)5?+?得：2
2a b a ?=u u r r r
∴a b =r r ∴cos (,)a b ∠r u u r a b a b ?=?u u r r r r 2212b b
=r r 12= ∴cos (,)a b ∠=r r 3π
(4)a b ?u u r r =a b ?r r cos (,)a b ∠=r r 1
25()2??-5=-
p q ?=u u r r (3)17a b a b λ-?+r r r r
（）2235117a ab a b b λλ=+-?-r r r r r r 680170λ=-+= ∴40λ=
4. 用矢量法证明以下各题：
(1) 三角形的余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ;
(2) 三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
证明：（1）如图1-21，△ABC 中，设AC ＝b ρ
,AB ＝c ,BC ＝a ，
且|a ρ
|＝a ，|b ρ|＝b ,|c |＝c . 则a ＝b ρ－c ,
a 2＝(
b ρ－
c ρ)2＝b ρ2+c 2－2b ρ?c ＝b ρ2+c 2－2|b ρ||c |cos A . 此即 a 2＝b 2+c 2－2bc cos A.
(2) 如图1-22，设AB , BC 边的垂直平分线PD , PE 相交于P ,
D, E, F 为AB, BC, CA 的中点, 设PA ＝a , PB ＝b ρ, PC ＝c , 则AB ＝b ρ－a , BC ＝c －b ρ,
CA ＝a －c , PD ＝2
1
(a +b ρ),
PE ＝2
1(c ρ＋b ρ).
因为 PD ⊥AB , PE ⊥BC ,
所以 21(a +b ρ)(b ρ－a )＝2
1(b ρ2
－a 2)＝0,
21(b ρ+c )(c －b ρ)＝2
1(c 2－b ρ2
)＝0, 从而有 a 2＝b ρ2＝c 2, 即 |a |2＝|b ρ|2＝|c |2, 所以 21(c ρ＋a ρ)(a ρ－c ρ)＝2
1(a ρ2－c ρ
2)＝0,
所以 PF ⊥CA , 且 |a |＝|b ρ
|＝|c |.
故三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距.
图
1-11
图1-12
6 已知△ABC 的三顶点(0,0,3),A (4,0,0),B (0,8,3)C -
试
求：(1)△三边长 (2)△三内角
(3)三中线长 (4)角A 的角平分线矢量AD u u u r
（中点
在BC 边上），并求AD u u u r
的方向余弦和单位矢量
解： (1) (4,0,3),AB =-u u u r
(0,8,6)AC =-u u u r ，(4,8,3)BC =-u u u r
∴5,AB =u u u r 10,AC =u u u r 89BC =u u u r
(2)cos AB BC A AB BC ?∠=?u u u r u u u r u u u r u u u r 9=25
∴A ∠=9
arccos 25
cos AC BC C AC BC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r 4189
=
445
∴arccos
C ∠=4189445
7cos BA BC B BC BC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r 89
=
445 ∴7arccos B ∠=89445
(3)11AD AB BD =+u u u u r u u u r u u u u r )9
=(2,4,-2
∴1AD =u u u u r 1612 2BD u u u u r 2BA AD =+u u u r u u u u r
)=(-4,4,0 ∴2BD u u u u r 42=
33CD CA AD =+u u u u r u u u r u u u u r 9
(2,8,)2
=- ∴33532CD =u u u u r
(4)cos AB AD AC AD AB AD AC AD
θ??==??u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ∴AD u u u r =﹛88
,,433-﹜
∴2cos 17α=
，2cos 17β=，3
cos 17
γ-=
设它的单位矢量为﹛,,a b c ﹜，且2
2
2
1a b c ++=
MB V ==----22
2
134
2
1
03∴﹛,,a b c ﹜=﹛223
,,171717
-﹜ §1.8 两矢量的失性
4. 已知: {}2,3,1a =-r ,{}1,2,3,b =-r
求与a r ,b r 都垂直,且满足下列条件的矢量c r :
(1)c r 为单位矢量 (2)10c d ?=r u r ,其中d =u r
{}2,1,7-.
解: (1)设{},,c x y z =r
.∵,,c a c b ⊥⊥r r r r 23c b x y z ?=-+r r =0 (1)
∴23c a x y z ?=-+r r =0 (2) 222x y z ++=1 (3) 由(1),(2),(3):
7333,,15315c ??
??=??
????
r (2)设{},,c x y z =r
.∵10c d ?=r u r ∴27x y z +-=10 (4) 由(1),(2), (4)得: 35255,,666c ??=????
r .
5.在直角坐标系内已知三点(5,1,1),A -(0,4,3),B -(1,3,7)C -,试求: (1)三角形ABC 的面积 (2)三角形ABC 的三条高的长.
解: (1) (5,5,4AB =--u u u r ）, (4,4,8AC =--u u u r
）, (1,1,4BC =u u u r
）
cos AB AC A AB AC
?∠=?u u u r u u u r
u u u r u u u r =
116, 5
sin 6A =. 1sin 1222ABC S AB AC A =??=V u u u
r u u u r .
(2)66AB =u u u r , 96AC =u u u r , 18BC =u u u r . ∴1833
11
h =, 223h =, 38h =. 7. 用矢量方法证明： （1）三角形的正弦定理
A a sin ＝
B b sin ＝C
c
sin . （2）三角形面积的海伦(Heron)公式，即三斜求积公式：
?2＝p (p －a )(p －b )(p －c ).
式中p ＝
2
1
(a +b +c )是三角形的半周长，?为三角形的面积. [证明]： (1) 如图1-13，在△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ρ
，AB ＝c ，
且|a |＝a ，|b ρ|＝b , |c |＝c , 则 a +b ρ+c ＝0ρ
,
从而有 b ρ?c ＝c ?a ＝a ?b ρ
,
所以 |b ρ?c |＝|c ?a |＝|a ?b ρ
|,
bc sin A ＝ca sin B ＝ab sin C ,
于是
A a sin ＝
B b sin ＝C
c
sin . (2) 同上题图，△ABC 的面积为
?＝2
1
|a ?b ρ|,
所以 ?2＝
41
(a ?b ρ)2.
因为 (a ?b ρ)2+(a ?b ρ)2＝a 2b ρ
2,
所以 ?2
＝41[a 2b ρ2－(a ?b ρ)2].
由于 a +b ρ+c ＝0ρ
,
从而 a +b ρ＝－c ，(a ＋b ρ
)2＝c 2,
所以 a b ρ＝21(c ρ2－a 2
－b ρ2)＝21(c 2－a 2－b 2),
故有 ?2＝41[a 2b 2－41
(c 2－a 2－b 2)2]
＝161
[2ab －(c 2－a 2－b 2)][2ab +(c 2－a 2－b 2)] ＝161[(a +b )2－c 2][c ρ
2－(a －b )2] ＝161
(a +b +c )(a +b －c )(c +a －b )(c －a ＋b ) ＝161
?2p ?(2p －2c )(2p －2b )(2p －2a ). 所以 ?2=p (p -a )(p -b )(p -c ),
或 ?=))()((c p b p a p p ---.
§1.9 三矢量的混合积
4.已知直角坐标系内矢量,,a b c r r r
的分量,判别这些矢量是否共面?如果不共面,求出以它们为三
邻边作成的平行六面体体积. (1){}3,4,5a =r , {}1,2,2b =r , {}9,14,16c =r
.
(2)
{}
3,0,1a =-r
,
{}
2,4,3b =-r
,
{}
1,2,2c =--r
.
解: (1)共面 ∵(,,)a b c r r r
=016
14922
1
5
43
= ∴向量,,a b c r r r
共面
(2)不共面 ∵(,,)a b c r r r
=22
2
134
2
103
=---- ∴向量,,a b c r r r
不共面 以其为
邻边作成的平行六面体体积2=V
5. 已知直角坐标系内D C ,,,B A 四点坐标,判别它们是否共面?如果不共面,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点D 所引出的高的长. ⑴()()()()17,14,10,3,2,2,6,4,4,1,0,1D C B A ; ⑵()()()()8,4,5,7,3,6,2,1,4,1,3,2--D C B A . 解: ⑴共面.
⑵5827
1
7
604
322,,?=---=??
? ?
?→
→→AD AC AB Θ3
58
=∴V
又{}28,8,24,12=?∴--=?→
→→→AC AB AC AB ,
7
2928116=
=
∴h ∴顶点D 所引出的四面体高为729
. 第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程
1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？
解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2
1
=。设M 的坐标),(y x 有
2222)6(2
1
)3(y x y x ++=
+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2
2
=+-y x 此轨迹为椭圆
2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，
是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22
x y M .在Rt AOB V 中有
222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:
222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a +=
3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2
m ,求此动点的轨迹.
解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM V 中 2
22
()a x y AM ++=(1)
在Rt BNM V 中2
22
()a x y BM -+=.(2)
由(1)(2)两式得: 2
22
2
2
2
4
4
()2()x y a x y m a +--=-.
§2.2 曲面的方程
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
222222)()(),,(z y a x m z y a x C z y x M +++=++-?
∈
亦即])[()(2
2
2
2
2
2
2
z y a x m z y a x +++=++-
经同解变形得：0)1()1(2))(1(2
2
2
2
2
2
2
=-++-++-a m x m a z y x m 上式即为所要求的动点的轨迹方程。
（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C
z y x M 2)()(),,(222222=++++++-?
∈
亦即222222)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-
两边平方且整理后，得：)()(2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c a a z a y a x c a -=++- （1）
222c a b c a -=∴>令Θ
从而（1）为2
2
2
2
2
2
2
2
b a z a y a x b =++ 即：2
2
2
2
2
2
2
2
b a z a y a x b =++
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C
z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-?
∈
类似于（2），上式经同解变形为：1222222=--c
z b y a x
其中 )(2
2
2
a c a
c b >-= （*）
（*）即为所求的轨迹的方程。
（4）取定平面为xoy 面，并让定点在z 轴上，从而定点的坐标为),0,0(c ，再令距离之比为
m 。
设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
z m z y x C z y x M =++?
∈222),,(
将上述方程经同解化简为：02)1(2
2222=+--++c cz z m y x （*） （*）即为所要求的轨迹方程。
第三章 平面与空间直线
§ 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解：（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为：
??
?
??+-=+=--=v u z u
y v
u x 235145 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面
∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB
均与π'平行，所以π'的参数式方程为：
??
?
??+-=++=+-=v u z v u y v u x 35145 一般方程为：0232=--+z y x . 5. 求下列平面的一般方程.
⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; ⑶与平面0325=+-+z y x 垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点()()1,2,4,2,1,321--M -M ,求通过1M 且垂直于21,M M 的平面; ⑸原点O 在所求平面上的正射影为()6,9,2-P ;
⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面.
解:平行于x 轴的平面方程为
00
1
011112
=--+-z y x .即01=-z .
同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为
132=+-+-c
z y x ,把点()4,2,3-M 代入得1924-=c
故一般方程为02419812=+++z y x .
⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点,
{}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量,
∴点法式方程为
00
1
215000
=----z y x ∴一般方程为02=+z y .
同理经过y 轴,z 轴的平面的一般方程分别为05,052=-=+y x z x . ⑷{}2121.3,1,1M M --=M M →
垂直于平面π,
∴该平面的法向量{
}3,1,1--=→
n ,平面?通过点()2,1,31-M , 因此平面π的点位式方程为()()()02313=--+--z y x . 化简得023=+--z y x .
(5) {}
.6,9,2-=→
op .1136814=++=
=→
op p
()().6,9,2cos ,cos ,cos 110-=?=?=→
γβn p op
∴ .11
6
cos ,119cos ,112cos -===
?γβ 则该平面的法式方程为:.01111
6
119112=--+
z y x 既 .0121692=--+z y x
（6）平面0138=-+-z y x 的法向量为{}3,8,1-=→
n ，{}1,6,121=M M ，点从()2,1,4
写出平面的点位式方程为
01
6
1
381214
=----z y x ，则,261
6
38-=-=
A
74282426,141
131,21
113-=++?-===
==
D C B ，
则一般方程,0=+++D Cz By Ax 即：.037713=---z y x
8．已知三角形顶点()()()0,7,0,2,1,1,2,2,2.A B C --求平行于ABC V 所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。
解：设,.AB a AC b ==u u u r r u u u r r
点()0,7,0.A -则{}{}2,6,1,2,9,2a b ==r r 写出平面的点位式方程
726102
9
2
x y z += 设一般方程0. 3.2,6,140.Ax By Cz D A B C D +++=∴====-< 则1
. 2.7
p D λλ=
=-= 相距为2个单位。则当4p =时28.D =-当0p =时0.D =
∴所求平面为326280.x y z -+-=和3260.x y z -+=
9．求与原点距离为6个单位，且在三坐标轴,ox oy 与oz 上的截距之比为::1:3:2a b c =-的平面。
解：设,3,2.0.a x b x c x abc =-==≠∴Q 设平面的截距方程为 1.x y z
a b c
++= 即.bcx acy abz abc ++= 又Q 原点到此平面的距离 6.
d =()22
22
22
21
6.abc
b c
a c a
b x
-=++
11132,,,.7777
x a b c ∴=∴=-==
∴所求方程为7.32
y z
x -++=
10．平面1x y z
a b c
++=分别与三个坐标轴交于点,,.A B C 求ABC V 的面积。
解
(,0,0)A a ,
(0,,0)B b ,(0,0,)C c {},,0AB a b =-u u u r ,{},0,AC a c =-u u u r
.
{},,AB AC bc ca ab ?=u u u r u u u r ;222222
AB AC b c c a a b ?=++u u u r u u u r .
∴S ABC V =
2222
2212
b c c a a b ++ § 3.2 平面与点的相关位置
3.已知四面体的四个顶点为)4,1,1(),5,11,2(),3,5,3(),4,6,0(---C B A S ，计算从顶点S 向底面ABC 所引的高。
解：地面ABC 的方程为：
0522=+--z y x
所以，高33
5
426=+?--=h 。
4.求中心在)2,5,3(-C 且与平面01132=+--z y x 相切的球面方程。 解：球面的半径为C 到平面π：01132=+--z y x 的距离，它为：
14214
2814
11
6532==
+++?=
R ，
所以，要求的球面的方程为：
56)2()5()3(222=++++-z y x .
即：01841062
2
2
=-++-++z y x z y x .
5．求通过x 轴其与点()5,4,13M 相距8个单位的平面方程。
解：设通过x 轴的平面为0.By Cz +=它与点()5,4,13M 相距8个单位，从而
2222
4138.481041050.B C B BC C B C +=∴--=+因此()()1235430.B C B C -+=
从而得12350B C -=或430.B C +=于是有:35:12B C =或():3:4.B C =-
∴所求平面为35120y z +=或340.y z -=
6. 求与下列各对平面距离相等的点的轨迹. ⑴053407263=--=--+y x z y x 和; ⑵062901429=++-=-+-z y x z y x 和.
解: ⑴
()072637
1
:
1=--+z y x π ()053451
:
2=--y x π 令()()5345
1
726371--=--+y x z y x 化简整理可得:0105113=+-z y x 与07010943=--+z y x .
⑵对应项系数相同,可求42
6
14221'
-=+-=+=D D D ,从而直接写出所求的方程:0429=-+-z y x .
3.3 两平面的相关位置
2.分别在下列条件下确定n m l ,,的值：
（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；
（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：
16
8
339133-=
--=-+=+-l n n m m l 即：
??
?
??=-+=-+=-+092072032n l m n l m 从而：9
7=
l ，913=m ，937=n 。
（2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：
6
3
62-=
-=m l 所以：4-=l ，3=m 。
（3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：
0327=+-l 所以： 7
1-=l 。
5. 求下列平面的方程:
(1) 通过点()1,0,01M 和()0,0,32M 且与坐标面xOy 成0
60角的平面;
(2) 过z 轴且与平面0752=--+z y x 成0
60角的平面.
解 ⑴ 设所求平面的方程为
.11
3=++z
b y x 又xoy 面的方程为z=0,所以2
11131101
03160cos 22
2
=
+??
? ??+??? ??+?+?=
b b ο
解得20
3±
=b ,∴所求平面的方程为
126
33
=+±
+z y
x , 即03326=-+±z y x
⑵设所求平面的方程为0=+By Ax ;则2
15
14260cos 22=
+++±+=
B A B
A ο
3
,038322B
A B AB A =
∴=-+或B A 3-= ∴所求平面的方程为03=+y x 或03=-y x .
§ 3.4空间直线的方程
1.求下列各直线的方程：
（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线； （2）通过点),,(0000z y x M 且平行于两相交平面i π：
0=+++i i i i D z C y B x A
)2,1(=i 的直线；
（3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成?
?
?
120,45,60的直线； （4）通过点)2,0,1(-M 且与两直线
11111-+==-z y x 和0
1
111+=--=z y x 垂直的直线； （5）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为：
15323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即0
1113-=
-=+z y x 。
（2）欲求直线的方向矢量为：
?
?????22
11
22
1
1
22
11,
,B A B A A C A C C B C B 所以，直线方程为：
2
2
110
2
2
1102
2
110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=
-=-。 （3）欲求的直线的方向矢量为：{
}?
?????-=?
?
?
21,22,
21
120
cos ,45cos ,60cos ， 故直线方程为：
13
2
511--=+=-z y x 。 （４）欲求直线的方向矢量为：{
}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-?-， 所以，直线方程为：
2
2
111+=
=-z y x 。 （５）欲求的直线的方向矢量为：{}5,3,6--， 所以直线方程为：
5
5
3362-+=
--=-z y x 。 ３.求下列各平面的方程：
（１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线3
2
121-=
-=+z y x 的平面； （２）通过直线
1
1
5312-+=
-+=-z y x 且与直线 ??
?=--+=---0
520
32z y x z y x 平行的平面； （３）通过直线
2
2
3221-=
-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面； （４）通过直线??
?=-+-=+-+0
1420
9385z y x z y x 向三坐标面所引的三个射影平面。
解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于矢量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：
03
3
31212=--+-z y x
即015=-++z y x 。
（２）已知直线的方向矢量为{}{}{}5,3,11,2,11,1,2-=-?-， ∴平面方程为：
05
3
1
151132=---++-z y x 即015211=-++z y x
（３）要求平面的法矢量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-?-，
∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，
即09138=+--z y x 。
（4）由已知方程??
?=-+-=+-+0
14209385z y x z y x
分别消去x ，y ，z 得到：
0231136=+-z y ，079=+-z x ，06411=+-y x
此即为三个射影平面的方程。
§ 3.5直线与平面的相关位置
2.试验证直线l ：2
1
111-=
-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角。
解： Θ 032111)1(2≠-=?-?+-?
∴ 直线与平面相交。
又直线的坐标式参数方程为： ??
?
??+=+=-=t z t y t
x 211
设交点处对应的参数为0t ，
∴03)21()1()(2000=-+-++-?t t t ∴10-=t ，
从而交点为（1，0，-1）。
又设直线l 与平面π的交角为θ，则：
2
16
62
111)1(2sin =
??-?+-?=
θ， ∴ 6
πθ=
。
3.确定m l ,的值，使： （1）直线
1
3241z
y x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线??
?
??-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直。
解：（1）欲使所给直线与平面平行，则须：
015334=?-?+l
即1=l 。
（2）欲使所给直线与平面垂直，则须：
3
642=-=m l 所以：8,4-==m l 。
§ 3.6空间直线与点的相关位置
2.求点)1,3,2(-p 到直线?
??=++-=++-0172230
322z y x z y x 的距离。
解：直线的标准方程为：
2
25
1211-+=
=-z y x 所以，p 到直线的距离为：
153
45
32025)2(121
23
922924212432
222
2
2
===
-++-+
--+-=
d 。 3.7空间直线的相关位置
7.求通过点()2,0,1-P 且与平面0123=-+-z y x 平行,又与直线1
2341z
y x =--=-相交的直线方程.
解 设过点()2,0,1-P 的所求直线为
.2
1Z
z Y y X x +==- ∵ 它与已知平面0123=-+-z y x 平行,所以有023=+-z y x （1） 又∵ 直线与已知直线相交,那么必共面.
∴ 又有
0124200311=-+--Z
Y
X
即 7x+|8y-12z=0 (2) 由(1),(2)得 31:50:48
713:71232
:
12821::-=----=
Z Y X
而 ()1:2:431:50:4-≠- ∴ 所求直线的方程为
.31
2
5041+==--z y x 8. 求通过点()1,0,4-P 且与两直线?
?
?=-+=--???=--=++4423
,221z y x z y x z y x z y x 与都相交的直线方程.
解 设所求直线的方向矢量为{}z y x v ,,=→
,
则所求直线可写为
.1
4Z
z Y y X x +==- ∵ 直线1l 平行于矢量
{}{}{}3,3,01,1,21,1,121-=--?=?→
→n n
∴矢量{}3,3,0-=→
v 为直线1
l
的方向矢量.
由于
02
11
1
≠-因此令y=o 解方程组得
x=1,z=o
∴ 点(1,o,o) 为直线1l 上的一点. ∴ 直线1l 的标准方程为
6
2
155+=-=-z y x . ∵ (){}.3,3,01.0,0,1,1121-=→
v M l l l l 方向矢量为过点都相交且与
(){}.6,1,52,2,0,122-=-→
v M l 方向矢量
过点
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
解析几何专题含答案
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
解析几何第四版习题答案第四章
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
解析几何解答题专练
解析几何解答题专练
19．（本小题14分） 已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点)20 P ，和点 212Q ?-- ?? ，. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程； （Ⅱ）如图，以椭圆G 的长轴为直径作圆O ，过直线2-=x 上的动点T 作圆O 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆G 交于不同的两点C ，D ，求CD AB 的取值范围． 解：（Ⅰ）设椭圆G 的标准方程为22 221x y a b +=（0a b >>）， 将点)20 P ，和点21Q ? - ? ? ， 代入，得 22 2 2 11 12a a b ?=??+=??，解得 2221 a b ?=??=??. 故椭圆G 的标准方程为2 212 x y +=. （Ⅱ）圆2 C 的标准方程为2 22 x y +=， 设()1 1 ,A x y ，()2 2 ,B x y ， 则直线AT 的方程为1 1 2x x y y +=，直线BT 的方程为2 2 2x x y y +=， 再设直线2-=x 上的动点()2,T t -（t R ∈），由点()2,T t -在直线AT 和BT 上，得
设1s m =（1 04s <≤） ，则AB CD = 设()3 1632f s s s =+-，则()()2 269661160 f s s s '=-=-≥， 故()f s 在10,4 ?? ?? ? 上为增函数， 于是()f s 的值域为(]1,2，CD AB 的取值范围是(. 19．（本小题满分14分） 已知椭圆C : 22 22 1(0)x y a b a b +=>> 离心率2 e = ，短轴长为． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A ， 过原 点O 的直线（与坐标 轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别 与y 轴 交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过 定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．
解析几何第四版吕林根 期末复习 课后习题(重点)详解
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
解析几何课后答案按
第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？ （1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=-
（5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。
5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5
解析几何第四版吕林根课后习题答案第三章
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
高中数学解析几何解答题)
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点， 问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四 点外接圆的圆心 …………………1分 故该椭圆中,22c b a == 即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分 设H （x,y ）为椭圆上一点，则 b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分 若30<高考解析几何压轴题精选(含答案)
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.
解析几何大题带规范标准答案
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1 242 2=+y x 的顶点， 过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为 ) 22 ,1(- -，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过 坐标 原点，所以 .22122 =-- = k （2）直线PA 的方程2221, 42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得 ). 34 ,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是), 0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234 0=--=++ y x AB 的方程为故直线
. 32 21 1| 323432|,21=+--=d 因此 （3）解法一： 将直线PA 的方程kx y = 代入 221,42x y x μ+==解得记 则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是-- 故直线AB 的斜率为 ,20k k =++μμμ 其方程为 ,0)23(2)2(),(222222=+--+-= k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得 解得 223 2 2 2 (32) (32)( , ) 222k k k x x B k k k μμμμ++= =-+++或因此. 于是直线PB 的斜率 .1 ) 2(23) 2(2)23(22 2232 22 3 1k k k k k k k k k k k k -=+-++-= ++-+= μμμ 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二： 设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 ) () (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
高等代数与解析几何第七章习题7答案
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，
解析几何解答题点拨
解析几何解答题点拨 1．在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y ，则1212OA OB x x y y ?=+． 2．当,,A O B 不共线的时候，AOB ∠为直角?0OA OB ?=；AOB ∠为锐角?0OA OB ?>；AOB ∠为钝角? 0OA OB ?< 3．向量()11,OA x y =与()22,0OB x y =≠共线?存在λ∈R ，使得OA OB λ=，即12 12 x x y y λλ=??=?． 4．若直线过定点()00,P x y ，我们一般设直线方程为()00y y k x x -=-，特殊地，当直线过x 轴上的定点(),0a 时，我们一般设直线方程为x ty a =+，注意此时斜率为0的直线需单独讨论； 5．直线y kx b =+被圆锥曲线所截得的弦AB 的垂直平分线方程为121 2122y y x x y x k ++? ?-=-- ??? ，注意垂直平分线的两种关系：垂直，过中点； 6．点()00,P x y 在以AB 为直径的圆周上?90APB ∠=?0PA PB ??=， 以AB 为直径的圆与直线:l y kx b =+相切?AB 中点到直线的距离等于AB 长的一半． <教师备案> 圆锥曲线综合： 这一讲是圆锥曲线的大题综合．众所周知，圆锥曲线一直是高中数学里面的重难点和易错点．圆锥曲线的难点，在于两方面： ⑴ 计算准确性； ⑵ 转化的思路，尤其是关键条件的解读与核心条件的转化． 经典精讲 知识梳理
相对来说，后者可能更加重要：思路是第一位的，如果解题时没有良好清晰的思路，单纯的认为圆锥曲线只是算，那么很容易陷入盲目计算的误区． 下面我们就结合一些比较常见的问题类型来说明圆锥曲线问题中的关键条件解读与转化，这也是本讲的主旨． 解析几何的实质，是几何问题的代数化：用代数方法来解决几何问题．那么，拿到一个解析几何题目时候，既要明白题干中的几何条件，怎么转化成代数条件，也要明白代数条件，怎么转化成几何条件． 我们把一些常见的问题类型的通常转化方式列成了下表： 第一列是实际问题中的考查形式；第二列是牵涉到的平面度量转化；第三列是需要用到的代数运算．实际问题中的考查形式是很多变的，但是牵涉到的平面度量转化实际上非常有限，充其量就是长度、角度、距离三种；例如点P 在以AB 为直径的圆上，实际上就是说PA PB ⊥．考查形式千变万化，但只要抓住其涉及的平面度量，就能抓住问题的实质，明白如何去合理的转化．接下来，我们结合具体的例题来说明这些考查形式是如何进行典型转化的． 【备注】本讲难度与计算量偏大，如果班上学生程度较好，本讲可以讲一讲半的时间，下两讲《复数、 算法与推理证明》、《概率与统计》相对比较简单，可以压缩一下时间，作个均衡与调整． 尖子班学案1 【铺1】 已知直线:l y kx =2 2:14 x C y +=交于不同的两点A 和B ，O 为坐标原点，若90AOB ∠=?，则 k =________． 【解析】 考点：向量处理角度问题 【例1】 设A ，B 分别为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点1? ?? 在该椭圆上．
解析几何第四版吕林根课后习题答案
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
解析几何吕林根课后习题解答一到五.docx
第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：
解析几何大题带答案
解析几何大题带答案
三、解答题 26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中， M 、N 分别是椭圆 12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点 的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，), 2,0(),0,2(,2,2--= =N M b a 故所以线 段MN 中点的坐标为)2 2 ,1(- -，由于直线PA 平分 线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直 线PA 过坐标 原点，所以 .2 2122 =-- = k
解法二： 设) 0,(),,(,,0,0),,(),,(1112121 2 2 1 1 x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则. 设直线PB ，AB 的斜率分别为2 1 ,k k 因为C 在直线AB 上，所以 . 2 2)()(0111112k x y x x y k ==---= 从而 1 )() (212112*********+----?--? =+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222 1 222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11 PB PA k k ⊥-=所以 28. （北京理19） 已知椭圆 2 2:1 4 x G y +=.过点（m,0）作圆 221 x y +=的 切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以. 322--=b a c 所以椭圆G 的焦点坐标为) 0,3(),0,3(-