向量正交化

Gram-Schmidt 正交化方法 正射影

设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令

;11αβ=

11

11

22,,ββββααβ-=; (1)

22

2231111333,,,,ββββ

αββββααβ--

=; (11)

11

22221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .

则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1

i i

i ββγ= s i ,.2,1 =

则},,,{21s γγγ 为规范正交组.

将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k

k k

i ik t βββα,,=

,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k

{},

,,2,1,s j i ∈?

有

∑∑-=-=++=

1

1

1

1

,,j k j

k jk i k i k ik

j i t t

ββββαα()????

?

??

?

??

??? ?????????

?

?

=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令???????

?

?

?=---10

001001011,2,2,11,1,121

s s s s s s t t t t t t T

则

T T s

s s s s s s s s s s s s s ???????

?

??=?????

?

??

?

?-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0

00

0,0000,0

000,,,,,,,,,,,,,1

12211/2

1

1211122

21

212111

上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵，记为：()s G ααα,,,21 ，上式右端中

间

的

对

角

阵

是

s

βββ,,,21 的Gram 矩阵.即

有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 =

因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 ==

注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram 矩阵（或者事先给出定义）.

例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量，则

（1）()?≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; （2）()?=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证（2）

)?设s ααα,,,21 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性

表示:

s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到

第1行，s i ,,3,2 =得

(

)s

s s s s

s

i s

i i s s

i i i s

i i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 21

22

21

22

12

2

212

1

1121

∑∑∑===---=

0=

)?法一：由上页证明推理过程立即得证。

法二：当()0,,,det 21=s G ααα 时，()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ，使

1

,0,1,2,,s

i

i j i k

j s αα===∑ .

即

1,0,1,2,,s

i i

j

i k j s αα

===∑ .

故

1

1

,0s

s

i i

i

i

i i k k αα

===∑∑，即有1

0s

i i i k α==∑.

即有12,,,s ααα 线性相关.

注：当12,,,s ααα 线性无关时，12det (,,,)0s G ααα≠ ，且

12det (,,,)0s G ααα> .

推论1 设12,,,s ααα 是欧氏空间V 中任意向量，则 (ⅰ) 12(,,,)s G ααα 是半正定矩阵；

(ⅱ) 12(,,,)s G ααα 是正定阵?12,,,s ααα 线性无关. 证明(ⅰ)对任意121k i i i s ≤<<<≤ ，主子式

12121212

det[(,,,)]det (,,,)k k s i i i k i i i G G i i i αααααα??

= ??? 总大于或等于零.

因此12(,,,)s G ααα 是半正定矩阵.

(ⅱ)（?）当12,,,s ααα 线性无关时，对任意121k i i i s ≤<<<≤ ，主子

式12121212

det[(,,,)]det (,,,)k k s i i i k i i i G G i i i αααααα??

= ??? 总大于零（因为

1

2

,,,k

i i i ααα 线性无关）.故12(,,,)s G ααα 是正定阵.

（?）由例1，这是显然的.

推论2 (ⅰ)设欧氏空间V 中向量12,,,s ααα 线性无关，则

121det (,,,),s

s i i i G αααα=≤∏ ，且上式取等号?12,,,s ααα 两两正交.

(ⅱ)设12,,,s V ααα∈ （欧）

，则121

det (,,,),s

s i i i G αααα=≤∏ .

(ⅲ)设()n A M ∈ ，12(,,,),n n i A αααα=∈ ，则12(,,,)s G A A ααα'= ，故2

211det()(det )n

n

ji

j i A A A a =='=≤∑∏. 当A 可逆时，上式取等号?,{1,2,,},i k n i k ?∈≠ ，有1

0n

ji jk j a a ==∑.

例2 设12(),(),,()s f x f x f x 是欧氏空间[,]C a b 中的向量，且它们线性无关.

证明2

1max ()()(),;,1,2,,b

b

i j k a a

i s

f x dx f x f x dx j k j k s ≤≤≥

≠=??

.

证明 令()ij n n B b ?=

，其中(),()()()b ij i j i j a

b f x f x f x f x dx ==?. 则B 是线性无关向量组12,,,s f f f 的Gram 矩阵，故B 正定.

假如B 的元素中，绝对值最大者不在主对角线，设

max{,1,2,,}kl ij b b i j s == ，k l ≠.则0kl kk b b >>，0kl ll b b >>.

故2kl kk ll b b b >.这样B 的二阶主子式

2

0kk kl kk ll kl lk kk ll kl lk

ll

b b b b b b b b b b b =-=-<.这

与B 是正定阵相矛盾.因此B 的元素中，绝对值最大者必是主对角元，结论得证.

注：从例2的证明中，可以看出这样一个结论：任意m 阶（实对称）正定阵的元素中，绝对值最大者必在主对角线上.

设12{,,,}n ααα 是(0)n >维欧氏空间V 的规范正交基，,V ξη?∈，

1

n i i i a ξα==∑，1

n

i i i b ηα==∑，则

1）,,1,2,,i i a i n ξα== . 2）1,n

i i i a b ξη==∑.

3

）2

,ξξξξ=?=

4

）(,)d ξηξη=-=

设W 是欧氏空间V 的有限维子空间，则V W W ⊥

=⊕.

,,,V W W ξξηζηζ⊥?∈=+∈∈，表示法唯一.

称η为ξ在W 上的正射影.当12,,,t γγγ 为W 的规范正交基时，ξ在W 上的正射影为1122,,,n n ηγγγγγγ=+++ .

例3 证明，3 中向量000(,,)x y z 到平面3{(,,)|0}W x y z ax by cz =∈++=

证明 000(,,)x y z ξ=

，,,)a b c γ=

，ξ在L （γ）的正射影的

长度即为所求：,ξγ=

=

例4 设12{,,,}m ααα 是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明，对于任意

V ξ∈，以下不等式成立：

2

2

,1

i m

i ξαξ≤∑=.

证明：令W =L 12(,,,)m ααα ，则V W W ⊥

=⊕，,V ξξηζ?∈=+，

,W W ηζ⊥

∈∈.简单的计算表明222

ξηζ=+.故22

ηξ≤.

而ξ在W 上的正射影,1

i i m i ηξαα=∑=.因此由22

ηξ≤

知

2

2

,1

i m

i ξαξ≤∑=.

注：设12,,,m ααα 与12,,,m γγγ 均是V 的规范正交基，且

L 12(,,,)m ααα = L 12(,,,)m γγγ

，则2

2

,,1

1

i

i m

m

i i ξαξγ=∑∑== .