安徽农业大学06-07第二学期概率统计试卷及答案

安徽农业大学2006―2007学年第二学期

《概率论》试卷（A 卷）

一、填空题：（每小题3分，共30分） 1.设A 、B 是随机事件，()

0.7()0.5P A P A B =-=，，

则()P A B =_________。

2.袋中有8个黑球，12个白球，它们除了颜色不同外，其它方面没有区别。将球随机地一只只摸出来，则第10次摸出的球是黑球的概率是_______。

3.将3本英语书及3本数学书随意排列在书架上，则3本数学书恰好放在一起的概率为_________。

4.若10个签中有5个好签，甲、乙、丙三个人依次各抽一签，每人抽后都不放回，则三个人都抽到好签的概率是_________。

5.某大楼装有四个同类型的独立供水设备，在任一时刻，每个设备被使用的概率为0.5。则在某一时刻，恰有两个设备被使用的概率为_________。

6.在4次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为

81

80，则事件A 在一次试验中发生的概率为____________。

7.设X 的分布函数为：

2

(0)

()(02)1(2)

x F x A x

x x ?，则常数A ＝_________。

8.设随机变量X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，则(2)D X =

___________。

9.设随机变量

~(1,4)X N ，

若，X Y 21-= 则：()D Y =__________。

10.设随机变量X 与Y 的方差分别为：D(X)＝16，D(Y)＝25，X 与Y 的相关系数为0.5，则()D

X Y -=________。

二、（15分）盒中装有5只编号分别为1、2、3、4、5的球。现从这5只球中等可能地任取3个，用X 表示所取出的三个球的最小编号，求：（1）X 的分布列；（2）X 的分布函数；（3）()()E X D X 及。

三、（15分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为：

||

()()x f x A x e -=-∞<<+∞，求：（1）

常数A ；（2）

(01)P X <<；

（3）()()E X D X 及。 四、（15分）设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合 密度函数为2

3

(01,01)

(,)0

()

C x y

x y f x y ?

<<<<=??

其它，

（1）求常数C 。（2）求X 与Y 的边缘密度函数)(x f X 及)

(y f Y 。

（3）判断X 与Y 是否相互独立。 五、（15分）设电源电压

2

~(220,30)X N ，（单位：伏）123B B B 、

、分别表示电源电压不超过200伏、在

200伏至240伏之间、超过240伏，在这三种情况下，元件损坏 的概率分别为0.1, 0.01, 0.2。 (1)求

123()()()

P B P B P B 、、。 (2)设A 表示元件损坏，求P (A )。 (3)若元件

已经损坏了，求电源电压超过240伏的概率。

注：设

()x Φ表示标准正态分布的分布函数，本题需要用到(0.67)0.75Φ=。

六、（10分）设随机变量X 服从于区间[0,1]上的均匀分布，求X

Y e =

的概率密度函数

()

Y f y 。

答案

一、填空题：（每小题3分，共30分） 1.设A 、B 是随机事件，()

0.7()0.5P A P A B =-=，，

则()P A B = ( 0.8 )

2.袋中有8个黑球，12个白球，它们除了颜色不同外，其它方面没有区别。 将球随机地一只只摸出来，则第10次摸出的球是黑球的概率是( 0.4 )

3.将3本英语书及3本数学书随意排列在书架上，则3本数学书恰好放在 一起的概率为( 0.2 )

4.若10个签中有5个好签，甲、乙、丙三个人依次各抽一签，每人抽后都 不放回，则三个人都抽到好签的概率是( 1 / 12 )

5.某大楼装有四个同类型的独立供水设备，在任一时刻，每个设备被使用

的概率为0.5。则在某一时刻，恰有两个设备被使用的概率为( 3 / 8 )

6.在4次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为

81

80，则事件A

在一次试验中发生的概率为( 2 / 3 )

7.设X 的分布函数为：2

0(0)

()(02)1(2)

x F x A x x x ?

，则常数A ＝( 1 / 4 ) 8.设随机变量X 服从区间[,

]a b 上的均匀分布，则(2)D X =

(

2

()

3

b a - )

9.设随机变量

~(1,4)X N ，

若，X Y 21-= 则：()D Y = ( 16 )

10.设随机变量X 与Y 的方差分别为：D(X)＝16，D(Y)＝25，X 与Y 的 相关系数为0.5，则()D

X Y -= ( 21 )

二、（15分）盒中装有5只编号分别为1、2、3、4、5的球。现从这5只球中等可能地任取3个，用X 表示所取出的三个球的最小编号，求：

（1）X 的分布列；（2）X 的分布函数；（3）

()()E X D X 及。

(1)

???

? ?

?1.033.02

6

.01

~X （5分） (2)

?????

??≥<≤<≤<=)

3(1

)

32(9

.0)21(6.0)

1(0

)(x x x x x F （10分） 解：

(3)

5.11.033.02

6.01)(=?+?+?=X E ，

7

.21.093.046.01)(1.093

.046.01~2

2

=?+?+?=????

?

?

?X E X

，

∴

45

.025.27.2)()()(2

2

=-=-=X E X E X D 。 （15分）

三、（15分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为：

||

()()x f x A x e

-=-∞<<+∞，求：（1）

常数A ；（2）

(01)P X <<；

（3）()()E X D X 及。 ||

(1)1()22x x

f x dx A e

dx A e

dx A

+∞+∞+∞---∞

-∞

=

=

==?

?

?

解：，

1(5)

2

A ∴=。分

110

111(2)(01)()(1)(10)2

2

x

P X f x d x e

d x e

-<<=

=

=

-

?

?

。分

2

2

2

2

2||2||020

(3)()()0()()()

11()()222

(3)2!2(15)

x x x

E X x f x d x D X E X E X E X x f x dx x e d x x e d x

x e

d x +∞-∞

+∞+∞+∞

---∞

-∞

+∞-=

==-===

==

=Γ==?

?

?

??

，

。分

四、（15分）设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为

23(01,01)

(,)0

()C x y x y f x y ?<<<<=?

?其它，（1）求常数C 。（2）求X 与Y 的边缘密度函数

)

(x f X 及

)(y f Y 。（3）判断X 与Y 是否相互独立。

。

解：1212

4131),(1)1(1

3

1

2

1

0103

2

2

=?=??=?

==

=

??????<<<

dxdy

y

x

C

dxdy y x f y x R

??

???=<<≥≤==

??∞

+∞

-10232312)10(0)10(),()()2(。时；时或x dy y x x x x dy y x f x f X ??

???=<<≥≤==

??∞

+∞

-。时；时或10332412)10(0)10(),()(y dx y x y y y dx y x f y f Y (3)显然

)()(),(y f x f y x f Y X =，故X 与Y 相互独立。 （15分）

（5分）

（9分）

（13分）

五、（15分）设电源电压

2

~(220,30)X N ，

（单位：伏）123B B B 、、分别表示电源电压不超过200伏、在

200伏至240伏之间、超过240伏，在这三种情况下，元件损坏 的概率分别为0.1, 0.01, 0.2。 (1)求

123()()()

P B P B P B 、、。 (2)设A 表示元件损坏，求P (A )。 (3)若元件

已经损坏了，求电源电压超过240伏的概率。 注：设

()x Φ表示标准正态分布的分布函数，本题需要用到(0.67)0.75Φ=。

123200220:(1)()(200)(0.67)1(0.67)0.2530240220200220()(200240)(0.67)(0.67)

30302402200.5()(240)11(0.67)0.2530P B P X P B P X P B P X -??

=≤=Φ=Φ-=-Φ= ???--????

=≤≤=Φ-Φ=Φ-Φ- ? ?????-??

==≥=-Φ=-Φ= ???

解，

，。(5分)

123112233(2)()()(|)()(|)()(|)0.250.10.50.010.250.20.08(10)

B B B P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=?+?+?=，，构成了一个完备事件组。由全概率公式，。

分

3333()()(|)

0.250.2

(3)(|)()

()

0.08

0.0550.625(15)

0.08

8

P B A P B P A B P B A P A P A ?===

===。分

六、（10分）设随机变量X 服从于区间

[0,1]上的均匀分布，求X

Y e =

的概率密度函数

()Y f y

[1,]1[1,]()0.........................22[1,]()()...............4()(ln )................................6ln ....................................Y Y X

Y e y e f y y e F y P Y y P e

y P X y y ?=∈=≤=≤=≤=解：易知只能落在内，故：

（）当时，。分（）当时，分

分

，..81()() (101)

[1,];

()0[1,]Y Y Y f y F y y

y e y f y y e '∴==

?∈?=?

???

分

。分

，综上，，。