2014年硕士研究生入学考试初试专业课613数学分析试题

北 京 科 技 大 学

2014年硕士学位研究生入学考试试题

============================================================================================================= 试题编号： 613 试题名称： 数学分析 （共 2 页） 适用专业： 数学, 统计学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。

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1.(15分) （1）计算极限 2020cos lim ln(1)x x xdx x →+?；

（2）设112(1)0,,(1,2,3,),2n n n

a a a n a ++>==+证明: lim n n a →∞存在，并求该极限. 2. (15分) (1)设222z y x u ++=，其中),(y x f z =是由方程xyz z y x 3333=++所确定的隐函数, 求x u .

(2) 设2233x u v y u v z u v ?=+?=+??=+?，求z x ??. 3. (15分)设)(x f 在[]0,2上连续，且)0(f ＝(2)f ，证明?0x ∈[]0,1，使

)(0x f ＝0(1).f x +

4.(15分) 设f (x ) 为偶函数, 试证明:

20()d d 2(2)()d ,a D f x y x y a u f u u -=-??? 其中:||,|| (0).D x a y a a ≤≤>

5. (15分)设)(x f 在区间[0,1]上具有二阶连续导数，且对一切[0,1]x ∈，均有(),''()f x M f x M <<. 证明: 对一切[0,1]x ∈，成立 '()3f x M <.

6. (15分) 设0a >, ()f x 是定义在区间[,]a a -上的连续偶函数,

(1) 证明: 0()d ()d 1e a

a x a f x x f x x -=+??; (2) 计算积分3 2 2cos d .1e x

x x π

π-+?

7. (15分) (1)证明：级数4211n x n x +∞

=+∑在[0,)+∞上一致收敛； (2)求级数3231(1)8ln()n n

n n x n n n +∞

-=-+∑的收敛域.

8. (15分) 证明：若(),f x y 在矩形区域D 满足：

12112|(,)(,)|||f x y f x y L x x -≤- 与 12212|(,)(,)|||,f x y f x y L y y -≤- 其中12,L L 是正的常数，则函数(),f x y 在D 一致连续.

9.(15分) 设对于半空间0>x 内任意的分片光滑的有向封闭曲面∑, 都有

2

()d d d d d d 0,1xy f x y z z x x y x ∑--=+?? 其中函数

()f x 在[0,)+∞上具有一阶连续导数, 且(0)1,f = 求()f x .

10. (15分) 设()()(),0f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明: ()2sin b

a f x dx m ≤?.