2016年高考数学文试题立体几何
2016年高考数学文试题分类汇编
立体几何大题
1、【2016年北京高考】如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,,AB DC DC AC ⊥∥ (I )求证:DC PAC ⊥平面;
(II )求证:PAB PAC ⊥平面平面;
(III )设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得//PA 平面C F E ?说明理由.
解:(I )因为C P ⊥平面CD AB ,
所以C DC P ⊥.
又因为DC C ⊥A ,
所以DC ⊥平面C PA .
(II )因为//DC AB ,DC C ⊥A ,
所以C AB ⊥A .
因为C P ⊥平面CD AB ,
所以C P ⊥AB .
所以AB ⊥平面C PA .
所以平面PAB ⊥平面C PA .
(III )棱PB 上存在点F ,使得//PA 平面C F E .证明如下:
取PB 中点F ,连结F E ,C E ,CF .
又因为E 为AB 的中点,
所以F//E PA .
又因为PA ?平面C F E ,
所以//PA 平面C F E .
2、【2016年江苏省高考】如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,BC 的中点,点F 在侧棱B 1B 上,且11B D A F ⊥ ,1111AC A B ⊥.
求证:(1)直线DE ∥平面A 1C 1F ;
(2)平面B 1DE ⊥平面A 1C1F.
(2)在直三棱柱111ABC A B C -中,1111AA ⊥平面A B C
因为11AC ?平面111A B C ,所以111AA ⊥A C
又因为1111111111111
11,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥??=,平面平面 所以11AC ⊥平面11ABB A
因为1B D ?平面11ABB A ,所以111AC B D ⊥
又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥??=F ,平面平面
所以111C F B D A ⊥平面
因为直线11B D B DE ?平面,所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面
3、【2016年山东高考】在如图所示的几何体中,D 是AC 的中点,EF ∥
DB.
(I )已知AB=BC ,AE=EC.求证:AC ⊥FB ;
(II )已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证:GH ∥平面ABC.
解析:(Ⅰ))证明:因BD EF //,所以EF 与BD 确定一个平面,连接DE ,因为E EC AE ,=为AC 的中点,所以AC DE ⊥;同理可得AC BD ⊥,又因为D DE BD = ,所以⊥AC 平面BDEF ,因为?FB 平面BDEF ,FB AC ⊥。
(Ⅱ)设FC 的中点为I ,连HI GI ,,在CEF ?中,G 是CE 的中点,所以EF GI //,又
DB EF //,所以DB GI //;在C F B ?中,H 是FB 的中点,
所以BC HI //,又I HI GI = ,所以平面//GHI 平面ABC ,因为?GH 平面GHI ,所以//GH 平面ABC 。
B
4、【2016年上海高考】将边长为1的正方形AA 1O 1O (及其内部)绕OO 1旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为56π ,11A B 长为3
π,其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.
(1)求圆柱的体积与侧面积;
(2)求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.
【解析】(1)由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =.计算体积与侧面积即得.
(2)由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角,计算C ∠OB 即得. 试题解析:(1)由题意可知,圆柱的母线长1l =,底面半径1r =.
圆柱的体积22V 11r l =π=π??=π,
圆柱的侧面积22112S rl =π=π??=π.
(2)设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//O B OB ,
所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角.
由11A B 长为
3
π,可知1113π∠AOB =∠A O B =, 由C A 长为56π,可知5C 6π∠AO =,C C 2
π∠OB =∠AO -∠AOB =, 所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π. 5、【2016年四川高考】如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC ,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12
AD 。
(I )在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由;
(II )证明:平面PAB ⊥平面PBD 。
【解析】
(I)取棱AD的中点M(M∈平面PAD),点M即为所求的一个点.理由如下:
因为AD‖BC,BC=1
2
AD,所以BC‖AM, 且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM‖AB.
又AB?平面PAB,CM ?平面PAB,
所以CM∥平面PAB.
(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点) (II)由已知,PA⊥AB, PA ⊥CD,
因为AD∥BC,BC=1
2
AD,所以直线AB与CD相交,
所以PA ⊥平面ABCD. 从而PA ⊥BD.
因为AD∥BC,BC=1
2 AD,
所以BC∥MD,且BC=MD.
所以四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=1
2
AD,所以BD⊥AB.
又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.
又BD?平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD.
6、【2016年天津高考】如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF||AB,
AB=2,BC=EF=1,,DE=3,∠BAD=60o,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FG||平面BED;
(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
解析:(Ⅰ)证明:取BD 的中点为O ,连接OG OE ,,在BCD ?中,因为G 是BC 的中点,所以DC OG //且12
1==DC OG ,又因为DC AB AB EF //,//,所以OG EF //且OG EF =
,即四边形OGFE 是平行四边形,所以OE FG //,又?FG 平面BED ,?OE 平面BED ,所以//FG 平面BED .
(Ⅱ)证明:在ABD ?中,060,2,1=∠==BAD AB AD ,由余弦定理可3=BD ,进
而可得090=∠ADB ,即AD BD ⊥,又因为平面⊥AED 平面?BD ABCD ,平面ABCD ;平面 AED 平面AD ABCD =,所以⊥BD 平面AED .又因为?BD 平面BED ,所以平面⊥BED 平面AED .
(Ⅲ)解:因为AB EF //,所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ,连接BH ,又因为平面 BED 平面ED AED =,由(Ⅱ)知⊥AH 平面BED ,所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在ADE ?中,6,3,1===AE DE AD ,由余弦定理可得3
2cos =∠ADE ,所以35sin =∠ADE ,因此35sin =∠?=ADE AD AH ,在A H B Rt ?中,6
5sin ==∠AB AH ABH ,所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为
65
7、【2016年全国I 卷高考】如图,已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ,D 在平面PAB 内的正投影为点E ,连结PE 并延长交AB 于点G.
(I )证明:G 是AB 的中点;
(II )在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F (说明作法及理由),并求四面体PDEF 的体积.
P
A
B
D
C
G E
(II )在平面PAB 内,过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ,F 即为E 在平面PAC 内的正投影.
理由如下:由已知可得PB PA ⊥,⊥PB PC ,又//EF PB ,所以E F P A E F P ,⊥⊥,因此EF ⊥平面PAC ,即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.
连结CG ,因为P 在平面ABC 内的正投影为D ,所以D 是正三角形ABC 的中心. 由(I )知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故2.3
=CD CG
由题设可得⊥PC 平面PAB ,⊥DE 平面PAB ,所以//DE PC ,因此21,.33
==PE PG DE PC
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ,可得2,==DE PE
在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF
所以四面体PDEF 的体积114222.323=
????=V
8、【2016年全国II 卷高考】 如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,点E 、F 分别在AD ,CD 上,AE CF =,EF
交BD 于点H ,将DEF ?沿EF 折到'D EF ?的位置.
(Ⅰ)证明:'AC HD ⊥;
(Ⅱ)若55,6,,'4
AB AC AE OD ====求五棱锥D ABCEF '-体积.
试题解析:(I )由已知得,,.
⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得=AE CF AD CD
,故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ,所以//.'AC HD .
(II )由//EF AC 得1.4
==OH AE DO AD
由5,6==AB AC 得 4.==
=DO BO
所以1, 3.'===OH D H DH
于是2222219,''+=+==OD OH D H 故.
'⊥OD OH 由(I )知'⊥AC HD ,又,'⊥=AC BD BD
HD H ,
所以⊥AC 平面,'BHD 于是.'⊥AC OD
又由,'⊥=OD OH AC
OH O ,所以,'⊥OD 平面.ABC 又由=EF DH AC DO 得9.2
=EF 五边形ABCFE 的面积11969683.2224
=??-??=S
所以五棱锥'ABCEF D -体积169342
=??=V 9、【2016年全国III 卷高考】如图,四棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABCD ,AD BC ,3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,2AM MD =,N 为PC 的中点.
(I )证明MN 平面PAB ;
(II )求四面体N BCM -的体积.
(Ⅱ)因为⊥PA 平面ABCD ,N 为PC 的中点,
所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2
1. ....9分 取BC 的中点E ,连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥,522=-=BE AB AE .
由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5,故525421=??=
?BCM S . 所以四面体BCM N -的体积3
54231=??=
?-PA S V BCM BCM N . .....12分 10、【2016年浙江高考】如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I )求证:BF ⊥平面ACFD ;
(II )求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.
解析:(1)延长,,AD BE CF 相交于一点K ,如图所示,
因为平面BCFE ⊥平面ABC ,且AC BC ⊥,所以
AC ⊥平面BCK ,因此BF AC ⊥,
又因为//EF BC ,1BE EF FC ===,2BC =,所以
BCK ?为等边三角形,且F 为CK 的中点,则BF CK ⊥,
所以BF ⊥平面ACFD .
(2)因为BF ⊥平面ACK ,所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角,
在Rt BFD ?中,32
BF DF ==,得cos BDF ∠=,
所以直线BD 与平面ACFD .
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值
最新-江苏高考数学立体几何真题汇编
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 (2008年第16题) 在四面体ABCD 中, CB =CD ,AD ⊥BD ,且E 、F 分别是AB 、BD 的中点, 求证:(1)直线EF ∥平面ACD (2)平面EFC ⊥平面BCD 证明:(1) ??? E , F 分别为AB ,BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ,EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD (2)? ?????CB =CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD , 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? (2009年第16题) 如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1D⊥B1C . 求证:(1)EF∥平面ABC (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EF∥BC, 因为EF?平面ABC,BC?平面ABC,所以EF∥平面ABC (2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1, 又A1D?平面A1B1C1,故CC1⊥A1D, 又因为A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C,又A1D?平面A1FD, 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E (2010年第16题) 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,PD =DC =BC =1,AB =2,AB ∥DC , ∠BCD =90°. (1)求证:PC ⊥BC ; (2)求点A 到平面PBC 的距离. 证明:(1)因为PD ⊥平面ABCD , BC ?平面ABCD ,所以PD ⊥BC . 由∠BCD =90°,得CD ⊥BC , 又PD ∩DC =D ,PD 、DC ?平面PCD , 所以BC ⊥平面PCD . 因为PC ?平面PCD ,故PC ⊥BC . 解:(2)(方法一)分别取AB 、PC 的中点E 、F ,连DE 、DF ,则: 易证DE ∥CB ,DE ∥平面PBC ,点D 、E 到平面PBC 的距离相等. 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由(1)知:BC ⊥平面PCD ,所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC , 因为PD =DC ,PF =FC ,所以DF ⊥PC ,所以DF ⊥平面PBC 于F . 易知DF = 2 2 ,故点A 到平面PBC 的距离等于2. (方法二)等体积法:连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h . 因为AB ∥DC ,∠BCD =90°,所以∠ABC =90°. 从而AB =2,BC =1,得△ABC 的面积S △ABC =1. 由PD ⊥平面ABCD 及PD =1,得三棱锥P —ABC 的体积V =13S △ABC ×PD = 1 3 . 因为PD ⊥平面ABCD ,DC ?平面ABCD ,所以PD ⊥DC . 又PD =DC =1,所以PC =PD 2+DC 2=2. 由PC ⊥BC ,BC =1,得△PBC 的面积S △PBC = 2 2 . 由V A ——PBC =V P ——ABC ,13S △PBC ×h =V = 1 3 ,得h =2, 故点A 到平面PBC 的距离等于2.
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何
2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .
3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D
5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P
全国高考文科数学立体几何综合题型汇总
新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理,1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角 2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE; (2)平面CDE ⊥平面ABC 。 证明:(1)BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理, AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。 证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1 AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设 11111 A C B D O ?=,连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D (2)1CC ⊥Q 面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又 1111 A C B D ⊥∵, 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证 11 A C AD ⊥, 又 1111 D B AD D ?= ∴1A C ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定 A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C