第三章 一元一次方程专题复习(教师版)(有解析)

第三章 一元一次方程专题复习（教师版）

一．知识网络结构

二．知识要点剖析

知识点一.等式与方程

1．等式：表示相等关系的式子.

等式的基本性质（方程的同解原理）：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即:若a=b ，则a ±c ＝b ±c ；(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

即:若a=b ，则ac=b c , c

b

c a = （c ≠0）

其它性质：若a=b ，b=c,则a=c （传递性）．

注意：等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意式性质成立的条件． 2.方程：含有未知数的等式叫方程．

方程的解:能使方程左右两边相等的未知数的值.

注意：等式、方程含有等号, 方程是含有未知数的等式； 代数式不含等号；不等式含不等号. 知识点二.一元一次方程

（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1（次），系数不为0的整式方程．

（2）一般形式：ax+b=0(其中x 是未知数，a,b 是已知数，且a ≠0). 注意：

（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程． （2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等. 知识点三.一元一次方程的解法

思路：通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x ＝a 的形式。 解一元一次方程的一般步骤： 知识点四.列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：

①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤检验，⑥答题． 解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。

注意：(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x 表示出来，即所设的未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x 的代数式表示。 (2)解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。

变形名称 具体做法

变形依据 注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数

等式基本性质2

①不漏乘不含分母的项 ②分子为多项式要加括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括号

去括号法则、分配律 注意括号前是负号要变号；有系数时，括号内每项都乘。

移项 把含有未知数的项都移到方程的

一边，其他项都移到方程的另一边

等式基本性质1

记住移项要变号

合并同类项 把方程化成ax ＝b(a ≠0)的形式

合并同类项法则

系数相加，字母及其指数不变

系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数

a ，得到方程的解x ＝

a

b 等式基本性质2

分子、分母不要颠倒

(3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。 2.列方程解应用题常见类型：

（1）和、差、倍、分问题：弄清和谁比，比谁多，比谁少

较大量＝较小量＋多余量，增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量，总量＝倍数×倍量 （2）等积变形问题：锻造前的体积=锻造后的体积

长方体的体积=长×宽×高， 圆柱的体积=底面积×高． （3）利率（息）问题:

本息和=本金+利息， 利息=本金×利率×时间（期数）， 总钱数=各部分钱数和． （4）销售问题：利润是和成本比的

利润=售价-进价， 售价=标价×折扣， 售价＝进价×(1＋利润率)， 利润率＝

进价利润×100％=进价

进价

折扣标价-?， 总价=单价×数量， （5）行程问题：路程=时间×速度，时间=错误！未找到引用源。，速度=错误！未找到引用源。．

①相遇问题：S 甲＋S 乙＝两地距离

②追及问题：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程

同时不同地出发：前者走的路程＋两地距离＝追者所走的路程

③顺逆流问题： 顺流速度＝静水速度＋水流速度， 逆流速度＝静水速度－水流速度 顺流的距离＝逆流的距离

（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、错误！未找到引用源。、千米／小时）

（6）工程问题： 工作总量=工作时间×工作效率， 工作总量=各部分工作量的和（或整体1）．

（7）数字问题：设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a ，b ，则这个两位数可表示为10a ＋b ，即：多位数的表示方法：例如：32

101010abcd a b c d =?+?+?+. 抓住数字所在的位置、新数与原数之间的关系.

（8）比例分配问题: 甲∶乙∶丙＝a ∶b ∶c, 全部数量＝各种成分的数量之和(设一份为x) （9）劳力调配问题:从调配后的数量关系中找相等关系，要抓住“相等”“几倍”“几分之几”“多”

“少”等关键词语.

（10）日历数字规律问题:上下行相差7. （11）年龄问题： 老幼变化一样.

三.考点典型例析

考点1. 等式的基本性质

1.如果等式ax=b 成立，则下列等式恒成立的是（ D ）． A.abx=ab B.x=

a

b

C.b-ax=a-b

D.b+ax=b+b 2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（ B ）. A ．若x y =，则55x y -=+ B ．若a b =，则ac bc =

C ．若a b c c =，则23a b =

D ．若x y =，则x y

a a

=

考点2.一元一次方程的概念 1.下列方程中是一元一次方程的是( B ) A ．2x=3y B ．7x+5=6(x-1) C ．x 2

-0.5x=2 D ．1

2x x

-= 2.已知方程（a-2）x |a|-1=1是一元一次方程，则a=___-2____，x=___-4

1

_____ ．

考点3.方程的解

1.如果x=2是x+a=1的解，那么a 的值是 0 ．

2.当x ＝ 2 时，代数式4x －5与3x －9的值互为相反数．

3.已知已知关于x 的方程kx=7－x 有正整数解，则整数k 的值为 0或6 .

4.若关于x 的方程（k-2018）x-2016=6-2018（x+1）的解是整数，则整数k 的取值个数是（ D ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

解：（k-2018）x-2016=6-2018（x+1）整理，得kx=4，

由于x 、k 均为整数，所以当x=±1时，k=±4，

当x=±2时，k=±2，当x=±4时，k=±1，所以k 的取值共有6个．故选D ．

5.若方程532=+x ，则106+x 等于（ B ）

A.15

B.16

C.17

D.34 6.t 满足方程

，则的值为 2 .

7.已知1-（3m-3）2

有最大值，则方程5m-6=3x+2的解x=( A )

A.-1

B.1

C.-

3

8

D.2 8.当x=1时，式子ax 3+bx+1的值是2，则方程 123244

ax bx x

+-+= 的解是（ C ）

A. x=13

B. x=-1

3

C. x=1

D. x=-1

9.已知方程

23

252

x x -+=-

的解也是方程32x b -=的解，则=__713____. 10.已知方程

与方程

的解相同，则的值为（ A ） A ．0

B ．2

C ．1

D ．-1

11.已知关于y 的一元一次方程

()1

1522017

y y b -+=-的解为3y =-，

那么关于x 的一元一次方程()1

5212017

x x b +=+-的解为 x= - 4 ． 12.方程2y -21=21y - 中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y= -3

5

．这个常数应是

（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：设阴影部分表示的数为a ，将y=-

35代入，得：-310-21=-6

5

-a ，解得：a=3，故选：C ．

13.某书上有一道解方程的题： +1=x ，□处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程

的解是x=﹣2，那么□处应该是数字（ B ）A ．7 B ．5 C ．2 D ．﹣2 解：把x=﹣2

代入

+1=x,

得：

+1=﹣2，解这个方程得：□=5．故选：B ．

14.小华同学在解方程5x ﹣1=（ ）x+3时，把“（ ）”处的数字看成了它的相反数，解得x=2，则该方程的正确解应为x=____

2

1

____． 解：设（ ）处的数字为a ，根据题意，把x=2代入方程得：10﹣1=﹣a ×2+3，解得：a=﹣3，

∴“（ ）”处的数字是﹣3，即：5x ﹣1=﹣3x+3，解得：x=21．故该方程的正确解应为x=2

1． 15.

小明解方程

=

﹣3去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程

正确的解为 ﹣13 ．

解：根据小明的错误解法得：4x ﹣2=3x+3a ﹣3，把x=2代入得：6=3a+3，解得：a=1， 正确方程为：

=﹣3，，解得：x=﹣13，故答案为：x=﹣13

16.小王在解关于x 的方程2a ﹣2x=15时，误将﹣2x 看作+2x ，得方程的解x=3，求原方程的解． 解：根据题意得：2a+6=15，

a=，原方程为：9﹣2x=15，原方程的解是：x=﹣3． 考点4.解一元一次方程

1．下列方程变形正确的是（ C ）

A ．方程3x ﹣2=2x ﹣1移项，得3x ﹣2x=﹣1﹣2

B ．方程3﹣x=2﹣5（x ﹣1）去括号，得3﹣x=2﹣5x ﹣1

C ．方程

可化为3x=6 D ．方程

系数化为1，得x=﹣1

2.

解方程﹣1的步骤如下：

解：第一步：

﹣1（分数的基本性质） 第二步：2x ﹣1=3（2x+8）﹣3……（①）

第三步：2x ﹣1=6x+24﹣3……（②） 第四步：2x ﹣6x=24﹣3+1……（③） 第五步：﹣4x=22（④） 第六步：x=

﹣

……（⑤）

以上解方程第二步到第六步的计算依据有：①去括号法则．②等式性质一．③等式性质二．④合并同类项法则．请选择排序完全正确的一个选项（ C ） A ．②①③④②

B ．②①③④③

C ．③①②④③

D ．③①④②③

3.解方程

（1）3x ﹣7（x ﹣1）=3﹣2（x+3） （2

）

=﹣1

（3

）

= （4）x

﹣ [x

﹣（x

﹣）]=2．

解：（1）去括号得：3x ﹣7x+7=3﹣2x ﹣6，移项合并得：﹣2x=﹣10，解得：x=5；

（2）去分母得：3﹣3x=8x ﹣2﹣6， 移项合并得：﹣11x=﹣11，解得：x=1．

（3

）方程整理得：

﹣

1=

，去分母得：4﹣8x ﹣12=21﹣30x ，

移项合并得：22x=29，解得：

x=

；

（4）去括号得：x

﹣x

﹣=2，去分母得：8x ﹣2x ﹣1=16，移项合并得：6x=17，解得：

x=．

4.小聪做作业时解方程

x ＋12－

2－3x

3

＝1的步骤如下：

解：①去分母，得3(x ＋1)－2(2－3x )＝1； ②去括号，得3x ＋3－4－6x ＝1；

③移项，得3x －6x ＝1－3＋4； ④合并同类项，得－3x ＝2；

⑤系数化为1，得x ＝－2

3

.

(1)聪明的你知道小聪的解答过程正确吗？答：________．若不正确，请指出他解答过程中的错误________．(填序号)(2)请写出正确的解答过程． 解：(1)不正确 ①②

（2）去分母，得3(x ＋1)－2(2－3x )＝6，去括号，得3x ＋3－4＋6x ＝6， 移项，得3x ＋6x ＝6－3＋4， 合并同类项，得9x ＝7，解得x ＝7

9

.

考点5.一元一次方程的综合应用

1.已知关于x 的方程2(x －1)＝3m －1与3x ＋2＝－4的解互为相反数，求m 的值． 解：方程3x ＋2＝－4，解得x ＝－

2.

∴关于x 的方程2(x －1)＝3m －1的解为x ＝2. 把x ＝2代入得2＝3m －1，解得m ＝1. 2.x 为何值时，代数式

34+x 的值比21

3-x 的值大1？ 解：由题意得：34+x -213-x =1，解得：x=7

5

．

3.m 为何值时，关于x 的方程3413m x x +=+的解比关于x 的方程2x-m 1

132

x --=的解大2. 答案：m=-

45

. 4.设m 为整数，且关于x 的一元一次方程（m ﹣5）x+m ﹣3＝0．

（1）当m ＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m 的值． 解：（1）当m ＝2时，原方程为﹣3x ﹣1＝0

，解得，，

（2）当m ≠5

时，方程有解，，

∵方程有整数解，且m 是整数， ∴m ﹣5＝±1，m ﹣5＝±2，

解得，m ＝6或m ＝4或m ＝7或m ＝3．

考点6.新定义题 1.已知a ，b 为有理数，定义一种运算：a*b ＝2a ﹣3b ，若（5x ﹣3）*（﹣3x ）＝29，则x 值为 2 ． 解：由题意得2（5x ﹣3）﹣3（1﹣3x ）＝29,解得：x ＝2，故答案为：2． 2.按下面的程序计算：

若输入x=100，输出结果是501，若输入x=25，输出结果是631，若开始输入的x 值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的x 值可能有（ B ） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种

解：∵输出的结果为556，∴5x+1=556，解得x=111；而111＜500， 当5x+1等于111时最后输出的结果为556，即5x+1=111，解得x=22；

当5x+1=22时最后输出的结果为556，即5x+1=22，解得x=4.2（不合题意舍去）， 所以开始输入的x 值可能为22或111．故选：B ．

3.若x 为实数，记{x}=x-[x]（表示不超过x 的最大整数），则方程:2006x+{x}=2007

1

的实根的个数是( )． A.O B.1 C.2 D.大于2的整数 解：2006x+x-[x]=

20071,[x]=2007x-20071

,

由x-1<[x]<=x, 得：1

1

20072007x x x --

≤,解得：11

1

2006

x a a -

≤

,a=2007×2006,

因此有[x]=0或-1.当[x]=0: 2007x=20071, 得：2

1()2007

x = ;

当[x]=-1: 12006

2007120072007

x =-+=-, 得：2

2006(2007)x =- 因此共有上面两个解。 4.

一般情况下

不成立，但有些数可以使得它成立.例如：m=n=0时，我们称使得

成立的一对数m ，n 为“相伴数对”，记为(m ，n)。

(1) 若(m ，1)是“相伴数对”，则m= ； (2) (m,n)是“相伴数对”,则代数式

的值为 。

解：(1）m=-；（2）-3；

m=-n ，代入得-3；

5.阅读材料：规定一种新的运算：＝ad ﹣bc ．例如：＝1×4﹣2×

3＝﹣2．

（1

）按照这个规定，请你计算

的值．

（2）按照这个规定，当

＝

8时，求x 的值．

解：（1）＝5×4﹣2×6＝20﹣12＝8；

（2

）由＝8

，得，解得：x ＝2．

考点7.创新题

1.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文?密文（加密），接收方由密文?明文（解 密）．已

知加密规则为：明文 a ，b ，c 对应的密文 a+1，2b+4，3c+9．例如明文 1，2，3 对应的密文 2，8，18．如果接收方收到密文 7，18，15，则解密得到的明文为（ B ） A ．4，5，6 B ．6，7，2 C ．2，6，7 D ．7，2，6 2.我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将转化为分数时，可设=x ，则

x=0.3+

x ，解得x=，即

=.仿此方法，将

化成分数是

.

3.小李在解方程3x ＋52－2x －m

3＝1去分母时方程右边的1没有乘以6，因而得到方程的解为x ＝－4，

求出m 的值并正确解出方程．

解：由题意x ＝－4是方程3(3x ＋5)－2(2x －m )＝1的解， ∴3(－12＋5)－2(－8－m )＝1，∴m ＝3， ∴原方程为3x ＋52－2x －3

3＝1，

∴3(3x ＋5)－2(2x －3)＝6，

5x ＝－15， ∴x ＝－3.

4.聪聪在对方程x ＋33－mx －16＝5－x

2①去分母时，错误地得到了方程2(x ＋3)－mx －1＝3(5－x)②，因

而求得的解是x ＝5

2

，试求m 的值，并求方程的正确解．

解：把x ＝52代入方程②，得2(52＋3)－52m －1＝3(5－5

2)，解得m ＝1.

把m ＝1代入方程①，得

x ＋33－

x －16＝

5－x

2

，

解得x ＝2，即方程的正确解为x ＝2.

5.为打造徐州故黄河风光带，一段长为360米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队接力完成，共用

时20天．已知甲队每天整治24米，乙队每天整治16米．

（1）根据题意，小明、小丽分别列出如下的一元一次方程（尚不完整）：

小明：24x+16 =360． 小丽：

+=20．

请分别指出上述方程中x 的意义，并补全方程：

小明：x 表示： ；

小丽：x 表示： ．

（2）求甲、乙两队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）

解：（1）由题意得，第一个方程为24x+16（20﹣x ）=360，x 表示的是甲队工作的时间，

第二个方程为

+=20，x 表示的是甲队整治河道的长度，

故答案为：20﹣x ，360﹣x ，甲队工作的时间，甲队整治河道的长度；

（2）设甲队整治河道的长度为x 米，

列方程得：

+=20，解得：x=120， 则360﹣x=360﹣120=240．

答：甲、乙两队分别整治河道120米，240米． 考点8.传统数学文化问题

1.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（倍加增指从塔的顶层到底层）．请你算出塔的顶层有 盏灯． 解：假设尖头的红灯有x 盏，由题意得：

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，

解得，127x=381，x=3（盏）∴塔的顶层是3盏灯。

2.（2017长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（ C ）A.24里 B.12里 C.6里 D.3里

3.今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？

译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题．

解：设共有x 人，可列方程为：8x ﹣3=7x+4．解得x=7， ∴8x ﹣3=53，

答：共有7人，这个物品的价格是53元．

4.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”

译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各是多少尺？”

设井深为x 尺，根据题意列方程，正确的是（ ） A ．3（x+4）=4（x+1） B ．3x+4=4x+1 C ．3（x ﹣4）=4（x ﹣1）

D

．

解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x+4）， 根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x+1）， 故3（x+4）=4（x+1）．故选：A ． 考点9.列一元一次方程解应用题 1.某班进行一次标准化测试，试卷由25道选择题组成，每题答对得4分，不答得0分，答错扣1分．那么下列分数中不可能的是（ ）A ．95 B ．89 C ．79 D ．75 解：设答对x 道题，不答y 道题，则答错（25﹣x ﹣y ）道题．

即分数是4x ﹣（25﹣x ﹣y ）=5x+y ﹣25．

若5x+y ﹣25=95，则y=120﹣5x ，又x+y ≤25，y ≥0．则23.75≤x ≤24，即x=24，y=0； 若5x+y ﹣25=89，则y=114﹣5x ，又x+y ≤25，y ≥0则22.25≤x ≤22.8，即不可能；

若5x+y ﹣25=79，则y=104﹣5x ，又x+y ≤25，y ≥0，则19.75≤x ≤20.8，即x=20，y=4；

若5x+y ﹣25=75，则y=100﹣5x ，又x+y ≤25，y ≥0则18.75≤x ≤20，即x=19，y=5或x=20，y=0． 故选：B ．

2.已知面包店的面包一个15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：“如果你再多买一个面包就可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，小明说：“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？（ B ）A ．38 B ．39 C ．40 D ． 41

3.(2017山东滨州)某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个．若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ D ）

A ．22x ＝16(27－x )

B ．16x ＝22(27－x )

C ．2×16x ＝22(27－x )

D ．2×22x ＝16(27－x ) 4..哥哥今年的年龄是弟弟的2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为15岁”，若用x 表示哥哥今年的年龄，则可列方程（ B ） A.152x x +

= B.()66152x x ??

-+-= ???

C.()6152x x -+=

D.()66152x x --+= 5.如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条，且剪下的两个长条的面积相等．问这个正方形的边长应为多少厘米？设正方形边长为xcm ，则可列方程为_________4x=5（x ﹣4）________．

6.（2016聊城）在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ D ）A.27 B.51 C.69 D.72

解：设第一个数为x ，则第二个数为x+7，第三个数7为x+14, 故三个数的和为x+x+7+x+14=3x+21

当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=27． 故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是72．故选：D ．

7.如图所示的是用十字形方框从日历表中框出5个数，已知这5个数的和为5a+5，a 是方框①，②，③，④中的一个数，则数a 所在的方框是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④

解：设中间位置的数为A ，则①位置数为：A-7，④位置为：A+7，

7左②位置为：A-1，右③位置为：A+1，其和为5A=5a+5，∴a=A-1， 即a 为②位置的数；故选：B ．

8.（2016荆州）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ） A.120元 B.100元 C.80元 D.60元 解：设该商品的进价为x 元/件，依题意得： （x+20）÷

10

5

=200，解得：x=80． ∴该商品的进价为80元/件．故选C ．

9.一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，若卖出这两件衣服商店共亏损8元，则a 的值为___60______． 解：设第一件衣服的进价为x ，依题意得：x （1+25%）=a ，

设第二件衣服的进价为y ，依题意得：y （1﹣25%）=a ， 因为卖出这两件衣服商店共亏损8

元，可得：，

解得：a=60，故答案为：60．

10.校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天， 现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬， 那么该如何分配?

第5题 第6题 第7题

11.公园门票价格规定如下表：

某校初一(1)、(2)两个班共104人去游公园，其中(1)班人数较少，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：

①两班各有多少学生？

②如果初一(1)班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？

解：①设初一(1)班有x人，则有

13x+11(104-x)=1240，解得：x=48．

即初一(1)班48人，初一(2)班56人；

②解：要想享受优惠，由(1)可知初一(1)班48人，只需多买3张，

51×11=561，48×13=624＞561，

∴48人买51人的票可以更省钱．

12.某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

解：因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8，

设小美第二次购物的原价为x元，则

(x-300)×0.8+300×0.9=282.8

解得，x=316，所以有两种情况.

情况1：小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，

则小丽应付(316+94.5-300)×0.8+300×0.9=358.4（元），

情况2：小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；

则第一次购物原价为：94.5÷0.9=105（元），

所以小丽应付(316+105-300)×0.8+300×0.9=366.8（元）.

因此，小丽应该付款358.4元或366.8元.

13.为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：

居民用水阶梯水价表单位：元/立方米

分档户每月分档用水量x（立方米）水价

第一阶梯0≤x≤15 5.00

第二阶梯15＜x≤21 7.00

第三阶梯x＞21 9.00

（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为_______元；

（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为_______立方米；（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？

解：（1）由表格中数据可得：0≤x≤15时，水价为：5元/立方米，

故小明家5月份用水量为14立方米，

在这个月小明家需缴纳的水费为：14×5=70（元）；

（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，

∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，

设小明家6月份使用水量为x立方米，

∴75+（x﹣15）×7=110，解得：x=20，

故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：20﹣15=5（立方米），故答案为：5；

（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：

117+（a﹣21）×9≤180，解得：a≤28．

答：小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．

14.为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．

（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？

（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．

②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为_____元．

解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元，由题意得：

30x+20（x+6）=1070，解得：x=19，

则x+6=25，

答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元；

（2）①设单价为19元的钢笔y 支，则单价为25元的毛笔为（60﹣y ）支，根据题意得：

19y+25（60﹣y ）=1322，解得：y=

3

89， 不合题意，即张老师肯定搞错了；

②设单价为19元的钢笔z 支，签字笔的单价为a 元，根据题意得：

19z+25（60﹣z ）=1322﹣a ，即6z=178+a ， 由a ，z 都是整数，且178+a 应被6整除，

经验算当a=2时，6z=180，即z=30，符合题意； 当a=8时，6z=186，即z=31，符合题意，

则签字笔的单价为2元或8元．故答案为：2或8．

15.甲、乙两个仓库共存有粮食60t ．解决下列问题，3个小题都要写出必要的解题过程：

（1）甲仓库运进粮食14t ，乙仓库运出粮食10t 后，两个仓库的粮食数量相等．甲、乙两个仓库原来各有多少粮食？

（2）如果甲仓库原有的粮食比乙仓库的2倍少3t ，则甲仓库运出多少t 粮食给乙仓库，可使甲、乙两仓库粮食数量相等？

（3）甲乙两仓库同时运进粮食，甲仓库运进的数量比本仓库原存粮食数量的一半多1t ，乙仓库运进的数量是本仓库原有粮食数量加上8t 所得的和的一半．求此时甲、乙两仓库共有粮食多少t ？ 解：（1）设甲仓库原有粮食xt ，则乙仓库原有粮食（60﹣x ）t ，根据题意得：

x+14=（60﹣x ）﹣10， 解得：x=18．∴60﹣x=42．

答：原来甲仓库有18t 粮食，乙仓库有42t 粮食．

（2）设甲仓库原有粮食xt ，则乙仓库原有粮食（60﹣x ）t ，根据题意得：

x=2（60﹣x ）﹣3，解得：x=39．∴60﹣x=21． ∴原来甲仓库有39t 粮食，乙仓库有21t 粮食．

设甲仓库运出yt 粮食给乙仓库，可使甲、乙两仓库粮食数量相等，根据题意得：

39﹣y=21+y ，解得：y=9．

答：甲仓库运出9t 粮食给乙仓库，可使甲、乙两仓库粮食数量相等． （3）设甲仓库原有粮食mt ，乙仓库原有粮食nt ，则m+n=60．

设运进粮食后，两仓库共有粮食wt ，则

w=60+（

21m+1）+21（n+8）=65+2

1

（m+n ）=65+30=95． 答：此时甲乙两仓库共存有粮食95t ．

16.如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A 点逆流航行3小时到达B 点后，又继续顺流航行2.5小时后到达C 点，总共航行了208千米，已知水流的速度是2千米/时。

（1）求游艇在静水中的速度。

（2）由于AC 段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需多少时间？（结果保留一位小数）

解: （1）设游艇在静水中的速度为x 千米/时，则游艇顺流航行的速度为（x ＋2）千米/时，逆流航

行的速度为（x －2）千米/时，根据题意得： 3（x －2）+2.5（x ＋2）=208，解得x=38． 答：游艇在静水中的速度为38千米/时.

（4）由（1）可知，顺流航行速度为40千米/小时，逆流航行的速度为36千米/小时． AB 段的路程为3×36=108（千米），BC 段的路程为2.5×40=100（千米），

故原路返回时间为： ≈2.8+2.7=5.5（小时）．

答：游艇用同样的速度原路返回大约需要5.5小时

17.甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动2

3

周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动

3

4

周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转几周，时针和分针第一次相遇．

解：设分针旋转x 周后，时针和分针第一次相遇，则时针旋转了（x ﹣1）周， 根据题意可得：60x=720（x ﹣1）， 解得：x=1112．故答案为：11

12．