平面向量平行的坐标表示
《平面向量平行的坐标表示》教案
杜晓红
课题：平面向量平行的坐标表示 目的：1.掌握两向量平行的充要条件
2.能够运用两向量平行的充要条件判别三点共线及向量平行 重点：两向量平行的充要条件的坐标表示 难点：两向量平行的充要条件的坐标表示 课型：新授 方法：讲练 过程： 一． 复习：
1. 已知a=(6,2) b=(3,1) 则a=_b
2. 已知点A(0,3),B(2，-3),C(7，-8),D(3,4),则AB=_DC
3. 平行向量基本定理： 二． 新授：
1. 平面向量平行的坐标表示：
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),如果b ≠0,则a=λb. 用坐标表示为：（a1,a2）=λ(b1,b2), 即a1=λb1,a2=λb2,消去λ，得 a1b2-a2b1=0
∴a ‖b ?a1b2-a2b1=0
当b 不平行于坐标轴时候，即b1≠0，则 a ‖b
?1
1
b a =
2
2b a
三． 例题和练习
例4 判断下列两个向量是否平行
(1)a=（-1,3），b=(5,-15)
(2)e=(2,0), f=(0,3)
练习：p63， 1
例5 如果a=（-1,x）与b=（-x，2）平行且方向相同，求x.
分析：
解：∵a=(-1,x)与b=（-x，2）平行
∴（-1）*2=x*（-x）
∴x=-2或x=2
∵a与b方向相同，∴x=2
练习：P63 2.3
例 6 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标。
分析：
解：设点D的坐标是（x，y），
∵在平行四边形ABCD中，向量AB=向量DC
∴（-1,3）-（-2,1）=(3,4)-(x,y)
∴(x,y)=(2,2)
∴点D的坐标是（2,2）.
练习：P63 4,5
四．小结 a‖b a1b2-a2b1=0
五．作业：P63 2,3,4,5 六．反思：
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
2.3.4平面向量共线的坐标表示
平面向量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 一、教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法： 通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观： 学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学内容之间的内在联系。 三、教学重点与难点 教学重点：平面向量的坐标运算。 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 四、教学设想 （一）导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行向量的共线用代数运算如何体现 思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗 ②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗标出点P 后,你能总结出什么结论 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
平面向量共线的坐标表示
课时跟踪检测（二十一） 平面向量共线的坐标表示 层级一 学业水平达标 1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝????12 ，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12 e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B. 2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ―→，则实数λ的值为( ) A ．－23 B.32 C.23 D ．－32 解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ―→＝(3,1)， ∵a ∥AB ―→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23 ，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB ―→平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2,1) B ．(－6，－3) C ．(－1,2) D ．(－4，－8) 解析：选D AB ―→＝(1,2)，向量(2,1)，(－6，－3)，(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8) 与(1,2)平行且方向相反． 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6. 5．已知a ＝(－2,1－cos θ)，b ＝? ???1＋cos θ，－14，且a ∥b ，则锐角θ等于( ) A ．45° B ．30° C ．60° D ．15°
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
第二章平面向量 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.4平面向量共线的坐标表示 [A组学业达标] 1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，－2y)．若a∥b，则y的值是() A．2B．－2 C．－1 D．1 解析：因为a∥b，所以(－1)×(－2y)＝2×1，解得y＝1. 答案：D 2．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝() A.1 4 B. 1 2 C．1 D．2 解析：由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0， 解得λ＝1 2. 答案：B 3．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是() A．(4，8) B．(8，4) C．(－4，－8) D．(－4，8) 解析：∵a＝(1，－2)＝－1 4(－4，8)，|b|＝4|a|， ∴b可能是(－4，8)． 答案：D 4．已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝______．解析：∵a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，a∥b， ∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3. 答案：－3
5．已知A ，B ，C 三点共线，BA → ＝－38AC →，点A ，B 的纵坐标分别为2，5，则点C 的纵坐标为________． 解析：设点C 的纵坐标为y .∵A ，B ，C 三点共线，BA →＝－38AC →，A ，B 的纵 坐标分别为2，5，∴2－5＝－3 8(y －2)，∴y ＝10. 答案：10 6．已知向量a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝________． 解析：设b ＝(x ，y )，由已知可得???x 2＋y 2＝25，－2x ＝y ，解得???x ＝2，y ＝－4或???x ＝－2， y ＝4，所 以b ＝(2，－4)或(－2，4)． 答案：(2，－4)或(－2，4) 7．已知a ＝AB →，点B 的坐标为(1，0)，b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，且a ＝3b － 2c ，求点A 的坐标． 解析：∵b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)，∴3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a ＝(－7，10)＝AB →. 又点B 的坐标为(1，0)，设点A 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(1－x ，0－y )＝(－7， 10)， ∴???1－x ＝－7，0－y ＝10????x ＝8，y ＝－10， 即点A 的坐标为(8，－10)． 8．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线； (2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解析：(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，∴k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－1 2.
平面向量的坐标表示
7.2.2平面向量的坐标表示 7.2.3共线向量的坐标表示 课 型：新授课 课 时：1课时 一、教材分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得b a λ=,那么与共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 二、教学目标 1、知识与技能目标 进一步掌握平面向量正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算；会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件. 2、 过程与方法 在平面向量坐标表示的基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题，培养学生应用能力. 3、情感态度与价值观 通过学习向量共线的坐标表示，让学生领悟到数形结合的思想；使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力；培养学生勇于创新的精神.
人教版高中数学-必修四 作业 平面向量共线的坐标表示
1.下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) C ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) D ．e 1＝(－2，3)，e 2＝(－12，34 ) 解析：A 、B 、D 中的向量e 1与e 2共线，C 中e 1，e 2不共线，所以可作为一组基底． 答案：C 2．已知向量a ＝(3，5)，b ＝(cos α，sin α)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A.35 B.53 C ．－35 D ．－53 解析：∵a ∥b ，∴3sin α－5cos α＝0，得tan α＝53 . 答案：B 3．设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2，3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.512 π 解析：∵a ∥b ，∴4sin α×3cos α－3×2＝0. ∴sin2 α＝1，∵α为锐角，∴2 α＝π2，即α＝π4 . 答案：B 4．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10) 解析：∵a ∥b ，∴m －2×(－2)＝0，即m ＝－4. ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案：C 5．已知向量a ＝(2x ，7)，b ＝(6，x ＋4)，当x ＝________时，a ＝b ；当x ＝________时，a ∥b .
解析：a＝b时，2x＝6且x＋4＝7，即x＝3. a∥b时，2x(x＋4)－42＝0，即x2＋4x－21＝0. 解得x＝3，－7. 答案：33或－7 6．(2011·湖南高考)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a 的坐标为________． 解析：∵a与b方向相反，∴设a＝λb(λ＜0)，∵b＝(2，1)，∴a＝(2λ，λ)，∵|a|＝25，∴4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4， ∵λ＜0，∴λ＝－2.∴a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 7．已知点M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且MN∥PQ，求y的值，并求出向量PQ的坐标． 解：∵点M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)， ∴MN＝(－1，1)，PQ＝(－1，y－1)． ∵MN∥PQ， ∴(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0， 解得y＝2.∴PQ＝(－1，1)． 8．已知A、B、C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，AE＝1 3 AC，BF＝ 1 3 BC. (1)求点E、F及向量EF的坐标； (2)求证：EF∥AB. 解：(1)设O(0，0)， 则OE＝OA＋AE＝(－13，23)， OF＝OB＋BF＝(7 3 ，0)， 即E(－1 3，2 3)，F( 7 3 ，0)，
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大
小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在
x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示；
《平面向量共线的坐标表示》教学设计
《平面向量共线的坐标表示》教学设计 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 二、讲解新课： a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2) 其中b ≠a .
由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?2 121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0 （2）充要条件不能写成 2 2 11x y x y = ∵x 1， x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)0 1221=-=? y x y x b a λ 三、讲解范例： 例1已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b ，求y. 例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. 例3设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 例4若向量a =(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x 解：∵a =(-1，x)与b =(-x ， 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a 与b 方向相同 ∴x=2 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB 与CD 平 行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， CD =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB ∥CD 又 ∵ AC =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，AB =(2， 4)，2×4-2×6≠0 ∴
人教版高中数学-必修四 平面向量共线的坐标表示
2.3.4平面向量共线的坐标表示 课前预习学案 一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算. 二、预习内容： 1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________. 2.平面向量共线的坐标表示： 设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠0） 其中b ≠a ， 则a ∥b (b ≠0)?_____________________. 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 课内探究学案 一、学习目标： 1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 二、学习内容 1.思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ，那么这个条件是否也能用坐 标来表示呢？ 设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a 由a =λb ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:
__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量a 与b 共 线. 2.典型例题 例1 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线． 例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 三、反思总结 1．平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么? 2．如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?
平面向量的坐标表示及其运算
一. 情境引入 上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演. （1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？ [说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题. （2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？ 二．学习新课 1. 向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫 做基本单位向量，分别记为,i j r r ，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r 即为一个位置向量. G H G
思考1：对于任一位置向量OA uu u r ，我们能用基本单位向量,i j r r 来表示它吗？ 如上图右，设如果点A 的坐标为 (),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那 么向量OA uu u r 能用向量OM u u u u r 与ON u u u r 来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ），OM u u u u r 与ON u u u r 能用基本单位向量,i j r r 来表示吗？（依向量与实数相乘 的几何意义可得,OM xi ON y j ==u u u u r r u u u r r ），于是可得： OA OM ON xi y j =+=+u u u r u u u u r u u u r r r 由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA uu u r 都能表示成 两个相互垂直的基本单位向量,i j r r 的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分 解. 2.向量的坐标表示 思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r 的线性组合吗？如下图左. 显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA uu u r ，使OA a =uu u r r .于是，
平面向量的坐标表示教学设计
《平面向量的坐标表示》教学设计 【教学目标】 1. 知识与技能 掌握平面向量的坐标表示并能运用其对平面向量线性运算进行坐标表示。 2. 过程与方法 在对平面向量的坐标引入以及平面向量线性运算的表示过程中体会数形结合思想的重要性。 3. 情感态度与价值观 在学习《平面向量的坐标表示》这一章时，通过对例题的训练让学生体会向量坐标表示的优越性，并以此激发学生探索问题、发现问题与解决问题的能力。 【教学重难点】 教学重点：平面向量线性运算的坐标表示。 教学难点：平面向量的坐标概念的引入。 【学习者特征分析】 在此之前，学生已经学习了平面向量的线性运算（包括加减法以及数乘向量）以及平面向量基本定理。 【教学流程】 创设情境、提出问题→几点注意、知识延拓→课堂小练、知识巩固→课堂小结、作业布置 【教学过程】 （一）创设情境、提出问题 师：在上一讲中我们学习了平面向量基本定理，那同学们回忆一下，什么是平面向量基本定理？ 生1：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于平面内的任 一向量a ，存在唯一一对实数1λ，2λ使2211e e a λλ+=。 师：很好！而且当时我们把不共线的向量1e ，2e 叫作一组基底，同时我们也 知道基底的选取很简单，只需不共线即可，接下来我们看一下这样一组基底。在 平面直角坐标系中，我们分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作 为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作a P O =。由平面向 量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得j y i x P O +=。因此j y i x a +=。 由x ，y 的唯一性，我们把实数对),(y x 叫作向量a 的坐标，记作),(y x a = 。带 着这个新概念，我们进入今天的教学内容：平面向量的坐标。 （二）几点注意、知识延拓 师：对于向量a 的坐标表示),(y x a = ，大家应注意以下几点：①),(y x 就是
向量共线的坐标表示
《平面向量共线的坐标表示》教案 教学目标 (1)知识目标：理解平面向量共线的坐标表示，会根据向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式； (2)能力目标：通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力； (3)情感目标：在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 教学重点和难点 (1)重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解； (2)难点：定比分点的理解和应用。 教学过程 一、新知导入 （一）、复习回顾 1、向量共线充要条件: 2.平面向量的坐标运算： （1）.已知 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)则 a + b =(x 1+x 2,y 1+y 2). a - b =(x 1-x 2,y 1-y 2). λa =(λx 1,λy 1). （2）. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. （二）、问题引入 已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝????12，1，b ＝??? ?－12，－1. 问题1：上面几组向量中，a 与b 有什么关系？ 问题2：以上几组向量中a ，b 共线吗？ ),,(),,(2211y x B y x A 若),(1212y y x x --=则. ,)(//λλ=?≠使存在唯一实数
二、新知探究 思考: 两个向量共线的条件是什么？如何用坐标表示两个共线向量？ 设a ρ=(x 1， y 1) ，b ρ=(x 2， y 2) 其中b ρ≠a ρ。 由a ρ=λb ρ得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ???==?21 21y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0a ρ∥b ρ (b ρ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0 探究：（1）消去λ时能不能两式相除？ （不能 ∵y 1， y 2有可能为0， ∵b ρ≠0 ∴x 2， y 2中至少有一个不为0） （2）能不能写成2 211x y x y = ？ （不能。 ∵x 1， x 2有可能为0） (3)向量共线有哪两种形式？ a ∥b (b ≠0)???===?. 01221y x y x b a λ 三、新知巩固（实例分析合作探究与指导应用） 1．向量共线问题： 例1. 已知(4,2)a =r ，(6,)b y =r ，且//a b r r ，求y ． 变式练习1： 2．证明三点共线问题： 例2: 例2.已知 A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)，试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系。 变式训练2：设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线． r r r r 已知a //b,且a =(x,2),b =(2,1),求x 的值.
平面向量的坐标表示
第7章 平面向量的坐标表示 1.理解向量的有关概念 （1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别； （2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0r ，注意零向量的方向是任意方向； （3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量, → a 的单位向量是 a a → → ； （4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a → -. 2.向量的表示方法 （1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→ c 等； （3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→ j 为基底，则平面内的任一向量→ a 可表示为→ → → +=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→ a 的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3．实数与向量的积： 实数λ与向量→ a 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度和方向规定如下： 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线 ?AB AC u u u r u u u r 、共线；
示范教案( 平面向量共线的坐标表示)
2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 整体设计 教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a=λb,那么a与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 三维目标 1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示. 2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体. 3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识. 重点难点 教学重点:平面向量的坐标运算. 教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？ 思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？ 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标
2.3平面向量的基本定理及坐标表示(1)(教学设计)
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1）（教学设计） 2．3．1平面向量基本定理；2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 [教学目标] 一、知识与能力： 1． 了解平面向量基本定理。 2．掌握平面向量基本定理，理解平面向量的正交分解及坐标表示； 3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
平面向量共线的坐标表示
2.3.4平面向量共线的坐标表示 班级 姓名 日期： 温馨提示：用心去倾注.用脑去思考.用行动去演绎你的数学人生。 一、学习目标 1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 二、教学重点难点 教学重点： 向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解． 教学难点： 定比分点的理解和应用 三、课堂教学 一、复习引入： 前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。这就为 解决问题提供了方便。我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa ， 那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。 二、讲解新课： 思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a =λb ，那么这个条件是否也能 用坐标来表示呢？ 设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b ≠） 其中b ≠a 由a =λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ???==?2 121y y x x λλ 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0 结论：a ∥b (b ≠)?x 1y 2-x 2y 1=0 注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b ≠， ∴x 2, y 2中至少有一个不为0.
2?充要条件不能写成2 211x y x y = ∵x 1, x 2有可能为0. 3?从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)01221=-=? y x y x λ （三）典型例题 例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 解：∵//a b ，∴4260y -?=．∴3y =． 点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解. 变式训练1：已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -= ，且//，则32+等于_________. 例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线． 证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=， 又26340?-?=，∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线。 点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线. 变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为_________. 例3:设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标. 解：（1）)(2121OP OP OP +=＝?? ? ??++2,22121y y x x 所以，点P 的坐标为??? ??++2,2 2121y y x x （2）当2121PP P =时，可求得：点的坐标为：?? ? ??++32,322121y y x x 当212PP P =时，可求得：点的坐标为：?? ? ??++32,322121y y x x 点评:此题实际上给出了线段的中点坐标公式和线段三等分点坐标公式.
第八讲向量的坐标表示及其运算
第八讲向量的坐标表示及其运算 一、知识点 （一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念 （1）基本单位向量 （2）位置向量 （3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 ),(),(),(),,(112 1212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±?∈==ρρρρρ ，， 4.向量的摸：22y x a += ρ （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比 分点的坐标公式??? ??? ? ++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式 二、典型例题 例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？ （1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量