北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学文科

北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科）

2018.1

第Ⅰ卷（选择题

共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项．

1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = （A ）{|13}x x -<<（B ）{|10}x x -<<（C ）{|02}x x <<（D ）{|23}

x x <<2．在复平面内，复数2i

1i

-对应的点的坐标为（A ）(1,1)

（B ）(1,1)

-（C ）(1,1)

--（D ）(1,1)

-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1

y x =-+（B ）2

(1)y x =-（C ）sin y x

=（D ）1

2

y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）2（B ）6（C ）30（D ）270

5．若12

2log log 2a b +=，则有

（A ）2a b =（B ）2b a =（C ）4a b =（D ）4b a

=6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的

三视图如图所示，则截去．．

的几何体是（A ）三棱锥（B ）三棱柱（C ）四棱锥（D ）四棱柱

7．函数()sin()f x x ?=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2

x =对称”的

（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

8．已知A ，B 是函数2x

y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线1

2

y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)

-∞-（B ）(,2)

-∞-（C ）(,3)

-∞-（D ）(,4)

-∞-

第Ⅱ卷（非选择题

共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．

10．已知双曲线22

221x y a b

-=的一个焦点是(2,0)F

，其渐近线方程为y =，该双曲线的

方程是____．

11．向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．如果小正方形网格

的边长为1，那么?=a b ____．

12．在△ABC 中，3a =，3

C 2π∠=

，△ABC

，则b =____；c =____．

13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,

10,10.x x y x y -??

+-??-+?

≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．

14．已知函数2,2,()1,

3.x x x c f x c x x

?+-?

=?

是1

[,2]4

-，则实数c 的取值范围是____

．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）

已知函数2π

()2sin cos(2)3

f x x x =-+．

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1

()2

f x -≥．

16．（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是公比为1

3

的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项．

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．

17．（本小题满分13分）

某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．

表1

图2

（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组

成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；

（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，

B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．

（只需写出结论）类别

得分()

x B

1B 8090x ≤≤2

B 7080x <≤A

1A 5070x <≤2

A 2050

x <≤

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11

B C 于点E ，交BC 于点F .（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：1//A A EF ；

（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若

116V V =，求BF

BC

的值.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；

（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平

行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知函数2()ln 2f x x x x =-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为

(2)(1)f f -；

（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．

北京市西城区2017—2018学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2018.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C 5．C

6．B

7．C

8．B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．010．2

2

1

3

y x -=11．4

12．113．

2

214．1[,)4-+∞；1

[,1]

2

注：第12，14题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为2π

()2sin cos(23

f x x x =-+ππ1cos 2(cos 2cos

sin 2sin 33

x x x =--?-?[4分]3

2cos 2122

x x =

-+[5分]π

)1

3

x =-+，

[7分]所以()f x 的最小正周期2π

πT =

=．[8分]（Ⅱ）因为π2x ≤≤

0，所以ππ2π2333

x --≤≤．[10分]所以ππ3

sin(2sin(332

x --=≥，

[12分]所以1()2

f x -

≥．[13分]

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为26a +是1a 和3a 的等差中项，

所以2132(6)a a a +=+．

[2分]

因为数列{}n a 是公比为1

3

的等比数列，

所以1112(

6)39

a a a +=+，[4分]解得127a =．

[6分]所以1411

()3n n n a a q --=?=．

[8分]（Ⅱ）令1n a ≥，即41

()13

n -≥，得4n ≤，

[10分]故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1．[11分]所以当3n =，或4n =时，n T 取得最大值，

[12分]n T 的最大值为34123729T T a a a ==??=．

[13分]

17．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+?=，

[2分]所以A 类学生所占比例为40%．[3分]

因为全市高中学生共20万人，

所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人．

[4分]（Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）．

将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种．

[6分]

依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe (,),(,)ce abd de abc ．

[8分]

所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为

63

105

=．[10分]

（Ⅲ）12k k <．

[13分]

18．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为AB ⊥平面11AA C C ，所以1A C AB ⊥．

[2分]

在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA AC =，所以四边形11AA C C 为菱形，所以11A C AC ⊥．[3分]所以1A C ⊥平面1ABC ．

[5分]

（Ⅱ）在三棱柱111ABC A B C -中，

因为11//A A B B ，1A A ?平面11BB C C ，[6分]所以1//A A 平面11BB C C ．

[8分]

因为平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以1//A A EF ．

[10分]

（Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .

因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以231

V =，[11分]

所以1233213

V V V V =-=.因为

116

V V =，所以

3131624

V V =?=.[12分]

因为三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，所以△ABF 与△ABC 的面积之比为14

，[13分]所以

1

4

BF BC =．[14分]

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．

[2分]所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

[3分]设椭圆C 的半焦距为c

，则c ==[4分]所以椭圆C

的离心率2

c e a =

=

．[5分]

（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ．

[6分]若PAQB 是平行四边形，则PA PB PQ +=

，

[8分]

所以00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+，整理得002, 3x t y t =-=-．[10分]

将上式代入220044x y +=，得22(2)4(3)4t t -+-=，[11分]

整理得2528360t t -+=，解得185

t =，或2t =．[13分]

此时182

(

,)55

P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形，所以存在182

(,)55

P ，或(2,2)P 满足题意．[14分]

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，

导函数为()2ln 2f x x x x '=+-．[1分]

所以(1)1f '=-，又(1)2f =-，

所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--．

[3分]（Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-．

[4分]所以只需证明方程2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解．[5分]设函数()2ln 4ln 2g x x x x =+-，[6分]则()2ln 3g x x '=+．

当(1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增．[7分]又(1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =．

[8分]综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为

(2)(1)f f -．

[9分]

（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下：

[10分]

首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+，[11分]

则()2ln 1h x x x x '=+-．

当1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增，[12分]

所以1x >时，有()(1)0h x h >=，即当1x >时，有()1f x x >--．所以(1.01) 1.011 2.01f >--=-．

[13分]