2016年高中数学联赛四川预赛参考答案及评分细则 (1)

2016年全国高中数学联赛（四川）初赛试题

参考答案及评分标准

说明：

1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.

2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次. 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

1、A

2、D

3、C

4、C

5、A

6、B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

7、180

8、12

?

9

、 10、14 11、3

2 12、2015

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）

13、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n

n S r =+（r 为常数）， 记22(1log )n n b a =+ *

()n ∈N ． （1）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ； （2）若对于任意的正整数n

，都有1212111n n

b b b b b b +++???≥"成立， 求实数k 的最大值．

解：（1）由条件易知12213322,2,4a r a S S a S S =+=?==?=, 又由2

213a a a =得1r =?． ……5分 于是21n

n S =?．故1

2

n n a ?=，22(1log )2n n b a n =+=，2n

n n a b n =?．

因此 1

2

1

1222(1)2

2n n n T n n ?=×+×++?×+×" ①

2

3

1

21222(1)22n

n n T n n +=×+×++?×+×" ②

由①-②得：1

2

1

1222

22n n n n T n ?+?=++++?×"，故1(1)22n n T n +=??+．

所以，数列{}n n a b 的前n 项和为1

*(1)22()n n T n n +=??+∈N ． ……10分

(2) 因为k ≤

=

构造()f n =

，

则(1)1()f n f n +=>， ……15分 于是{()}f n 严格单增，则()f n

的最小值为(1)f =， 即实数k

． ……20分

14、已知a 、b 、c 为正实数， 求证：()()()111a b c

abc a b c b c a c a b a b c

++≥

≥+?+?+?++．

证明：（1）先证：222

111a b c

abc a b c ++≥++

等价于证明：2

2

2

()()()()ab bc ca abc a b c ++≥++， 令,,x ab y bc z ca ===，

由不等式2

2

2

x y z xy yz zx ++≥++知结论成立． ……5分 （2）再证：2

22111()()()a b c a b c b c a c a b a b c ??

++≥+?+?+?++?

???

（*） 由于不等式是轮换对称的，不妨设max{,,}a a b c =，则0,0a b c c a b +?>+?> ①当0b c a +?≤时，结论显然成立；

②当0b c a +?>时，令,,a y z b z x c x y =+=+=+， 则1()2x b c a =

+?，1()2y c a b =+?，1

()2z a b c =+?， ……10分 故,,x y z 均大于0.

不等式（*）变为：222

111

2()8[

()()()

x y z xyz y z z x x y ++≥+++++ 只需证：

111yz zx xy ++≥222

444

()()()y z z x x y ++

+++， ……15分 注意到：2

()4y z yz +≥，则

241

()y z yz

≤

+, 同理：

241()z x zx ≤+，2

41

()

x y xy ≤+．所以，原不等式成立． ……20分

15、已知抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，在抛物线上任取不同于点C 的一点A ，直线AC 与直线y =x +3交于点P ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点B ．

（1）求证：直线AB 过定点； （2）求△ABC 面积的最小值． 解：（1）由抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，

可得抛物线方程为y 2=4x ．

设点A 坐标为(20

4

y ,y 0)( y 0≠2)， 则直线AC 的方程为y ?2=02

214

y y ??(x ?1)， 即y ?2=

04

2

y +(x ?1)， 与y =x +3联立解得P 点坐标为(

0062y y ???,00212

2

y y ??)． ……5分 所以B 点坐标为(2020(6)(2)y y ??,00212

2

y y ??)．

当2

0y =12时，A 坐标为(3,y 0)，B 点坐标为(3,

00212

2

y y ??)，直线AB 过定点Q (3,2)．

当2

0y ≠12时，204y ≠2020(6)(2)y y ??，直线AB 的方程为y ? y 0=0002

2000212

2(6)4(2)y y y y y y ??

???

?(x ?2

04y )， 化简得，y ? y 0=020(2)12y y ??(4x ?2

0y )，（或：y ? y 0=020

(2)34

y y ??( x ?2

04y )，）

易得，直线AB 也过定点Q (3,2)． ……10分 法2：由抛物线y 2=2px 过定点C (1,2)，可得抛物线方程为y 2=4x ． 设直线AB 的方程为x =my +a ，与抛物线方程联立得，y 2?4my ?4a =0． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=?4a ， P 点坐标为B (y 2?3,y 2)，因为AP 过定点C ，

所以22231y y ???=112

1

y x ??，又x 1=my 1+a ，

所以(m ?1)y 1y 2?(2m ?4)y 1+(a +1)y 2?2a ?6=0． ……5分 将y 1y 2=?4a ，y 2=4m ?y 1代入上式，得(?2m +3?a )y 1+(2a +4m ?6)=0． 即(?2m +3?a )(y 1?2)=0．

因此式对任意y 1≠2都成立，所以?2m +3?a =0，即3=2m +a ，

因此直线x =my +a 过定点Q (3,2)． ……10分 （2）由（1）可设直线AB 的方程为x ?3=m (y ?2)，

与抛物线方程联立得y 2?4my +4(2m ?3)=0．则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4(2m ?3)，

S △ABC =1

2

|CQ |?|y 1?y 2|=|y 1?y 2|

=

．

所以当m =1时，△ABC 面积的最小值为

． ……20分

16、已知a 为实数，函数f (x )=|x 2?ax |?ln x ，请讨论函数f (x )的单调性． 解：由条件知函数()f x 的定义域为(0,)+∞． （1) 若a ≤0，则f (x )= x 2?ax ?ln x ，

于是2121

()2x ax f x x a x

??′=??=，令()0f x ′=，得

104a x ?=<，204

a x +=

>．

所以，()f x 在(0,4a )上单调递减，在(4a ,+∞)上单调递增．……5分

（2）若a ＞0，则f (x )=22

ln ,ln ,0x ax x x a x ax x x a ?????

?+???当≥时当＜＜时 ， ① 先讨论g (x )=x 2

?ax ?ln x (x ≥a )的单调性．

g ′ (x )=2x ?a ?1x =221x ax x ??．令g ′ (x )=0，得x =4a +＞0，

当4

a +＞a ，即a ＜1时，

g (x )在(a ,4a )上单调递减，在(4a ,+∞)上单调递增；

当4

a +≤a ，即a ≥1时，g (x )在(a ,+∞)上单调递增． ……10分

② 再讨论当a ＞0时，h (x )=?x 2+ax ?ln x (0＜x ＜a )的单调性．

h ′ (x )=?2x +a ?1x

=221

x ax x ?+?．

当Δ=a 2?8≤0，即0＜a ≤h ′ (x )≤0，h (x )在(0, a )上单调递减；

当Δ=a 2?8＞0，即a ＞时，

令h ′(x )= 0，得10x <=＜a ，20x a <=<，

所以h (x )在(0，a )上单调递减，

在上单调递增． ……15分

综上可得：

① 当a ＜1时，f (x )在(0,4a )上单调递减，在(4

a +,+∞)上单调递增；

② 当1≤a ≤f (x )在(0, a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增；

③ 当a ＞f (x )在(0,4a )，(4

a +,a )上单调递减，

在(4a ?,4

a )，(a ,+∞)上单调递增． ……20分