黑龙江省大庆实验中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷

大庆实验中学2014—2015学年度上学期期中考试

高三理科数学试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，

考试时间120分钟

一、选择题：本大题共12小题，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |2x ＞8}，那么集合(?U A )∩B ＝( ) A ．{x |3＜x ＜4} B ．{x |x ＞4} C ．{x |3＜x ≤4} D ．{x |3≤x ≤4}

2.设1

2

32,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -??=?-≥??＜，

则的值为，( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3. 下列有关命题的说法正确的是( )

A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”

B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件

C ．命题“?x 0∈R ，x 2

0＋x 0＋1＜0”的否定是“?x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”

D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题

4. 已知平面向量()1,2a =- ，()4,b m =

，且a b ⊥ ，则向量53a b -= （ ）

A.()7,16--

B.()7,34--

C.()7,4--

D.()7,14- 5. 已知{}n a 是等比数列，若4610a a +=，则1737392a a a a a a ++=（ ） A.10 B.20 C.60 D.100

6. 若实数,x y 满足条件20,

0,

3,x y x y y +-≥??-≤??≤?

则34z x y =-的最大值是（ ） A.13- B. 1- C. 3- D.1

7. 奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则

()2012f +()()20132014f f +的值为（ ）

A.2

B.4

C.6

D.8 8. 已知x ＞0，y ＞0，若

222y x

m m x y

8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥4或m≤－2 B ．m≥2或m≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜

m

＜2

9．已知函数()sin()f x A x ω?=+（其中π

0,2

A ?><

）的部分图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）

A.向右平移

π6个长度单位 B.向右平移π

12个长度单位 C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π

12

个长度单位

10. 已知p ：1

x －1<1， q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取

值范围是( )

A ．(－2，－1]

B ．[－2，－1]

C ．[－3,1]

D ．[－2，＋∞) 11. 已知函数()y f x =是定义在

R

上的奇函数，且当0x >时

()()()()()

112

2

''()0(),log 4log 4,,

f x xf x f x f x a f b +>==是的导数设11(l

g )lg 55c f ??

= ???

，则,,a b c 的大小关系是（ ）

A. c a b >> B ．c b a >> C. a c b >> D. a b c >> 12.设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈且122x x a +=，恒有

12()()2f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心，研究并利用函数

32()3sin f x x x x

π=--的对称中心，可得

1240244025()()()()2013201320132013f f f f ++++= （ ） A. 4025 B ．-4025 C. 8050 D. -8050

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 曲线2x

y e =在点()0,1处的切线方程为___________

14.

21

1

e

dx x

-+=?

?

15. 已知()3312,,,sin ,sin ,45413ππαβπαββ???

?∈+=--=

? ????

?则

cos 4πα?

?+= ??

?___________

16. 设向量a →

，b →

，c →

满足1

1,,

2

a b a b →→→→

==?=-a c →→-向量与b c →→

-向量

60

?

的夹角为则c →

的最大值是________________

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤

17.（本小题满分10分）已知向量1cos ,2a x →

?

?=- ??

?，)

,cos 2b x x →=

，x ∈R ，设函

数()f x a b →→

=?

(1)求()f x 的最小正周期；

(2)求()f x 在???

?0，π

2上的最大值和最小值． 18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为

n S

（Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令()2

1

1

n n b n N a *=

∈-，求数列{}n b 的前n 和n T 19.（本小题满分12分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知

sin cos c A C =.

（1）求C ；

（2）若c =，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ?的面积.

20.（本小题满分12分）已知数列{a n }满足11a =，且()

1222,n n n a a n n N *-=+≥∈．

(1)求证：数列2n n a ??

?

???

是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .

21.（本小题满分12分）设函数()2

1x f x e x ax =---. (1)若0a =，求()f x 的单调区间；

(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．

22．（本小题满分12分）设函数x a bx x x f ln )(2-+=

(1) 若2x =是函数)(x f 的极值点，1和0x 是函数)(x f 的两个不同零点，且

N n n n x ∈+∈),1,(0，求n .

(2) 若对任意[]1,2--∈b , 都存在),1(e x ∈(e 为自然对数的底数)，使得0)(

大庆实验中学2014--2015学年度上学期期中考试高三数学试题(理科)答案

一、（1）C （2）C （3）D （4）A （5）D （6）B （7）D （8）D （9）A （10）A （11）D （12）D

二、 13. 210x y -+= 14. 12π+ 15. 56

65

- 16. 2 三、17.（本小题满分10分）

解：f (x )＝1cos ,2x ??-

???

)

,cos 2x x ＝3cos x sin x －1

2cos 2x ＝3

2sin 2x －1

2cos 2x

＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin 26

x π?

?- ??

?

(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π

2

＝π，即函数f (x )的最小正周期为π. ．．．．．．．．．．．5分

(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π

6.

当2x －π6＝π2，即x ＝π

3时，f (x )取得最大值1.

当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得－1

2

，

因此，f (x )在????0，π2上的最大值为1，最小值为－12．．．．．．．．．10分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 由于3577,26a a a =+=， 所以1127,21026a d a d +=+=， 解得13, 2.a d == 由于11()

(1),2

n n n n a a a a n d S +=+-=

所以21,(2).n n a n S n n =+=+．．．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）因为21n a n =+ 所以2

14(1)n a n n -=+ 因此1111

().4(1)41

n b n n n n =

=-++

故12n n T b b b =+++ 111111(1)42231n n =

-+-++-+ 11(1)41

n =-+

4(1)n n =

+ 所以数列{}n b 的前n 项和.4(1)

n n

T n =+．．．．．．．．．．．12分

19.（本小题满分12分）

解：(1)由正弦定理得sin sin cos ,C A A C =因为sin 0A ≠,

解得tan 3

C C π

==

．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)由sin sin()3sin 2C B A A +-=得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理得

sin cos 3sin cos B A A A =,

若cos 0A =，则2

A π

=

，

tan 3

c b π

=，b =

，ABC ?的面积12S bc == 若cos 0A ≠，则sin 3sin ,3B A b a ==，由余弦定理得2

2

2

2cos ,c a b ab C =+-

解得1,3a b ==，ABC ?的面积1sin 2S ab C =

=

综上，ABC ?的面积S =S = ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.（本小题满分12分）

(1)证明：因为a n ＝2a n －1＋2n

，所以a n 2n ＝2a n －1＋2n

2n ＝a n －1

2

n －1＋1，

即a n 2n －a n －12n －1＝1，所以数列????

??a n 2n 是等差数列，且公差d ＝1，其首项a 121＝12，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12

，解得a n ＝????n －12×2n ＝(2n －1)2n －1. ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －

1，①

2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －

1＋(2n －1)×2n ，②

①－②，得－S n ＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －

1－(2n －1)2n

＝1＋4× 1－2n －

1 1－2

－(2n －1)2n ＝(3－2n )2n －3.

所以S n ＝(2n －3)2n ＋3. ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.（本小题满分12分）

解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.

当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分

(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤1

2时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)

得e －x >1－x (x ≠0)，从而当a >12时，f ′(x )

x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，

ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0， 综上可得a 的取值范围为(－∞，1

2

]．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

22（本小题满分12分） （Ⅰ）()2a f x x b x '=+-

，∵2x =是函数()f x 的极值点，∴(2)42

a f

b '=+-. ∵1是函数()f x 的零点，得(1)10f b =+=，

由40210

a b b ?

+-=???+=?解得6,1a b ==-. ………2分 ∴2

()6ln f x x x x =--,6

()21f x x x

'=--

， 令2626

()210,02x x f x x x x x x

--'=--=>>∴> ，

令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在(0,2)上单调递减； 在(2,)+∞上单调递增.……4分

故函数()f x 至多有两个零点，其中01(0,2),(2,)x ∈∈+∞，

因为(2)(1)0f f <<，(3)6(1ln 3)0f =-<,2

(4)6(2ln 4)6ln 04

e f =-=>，

所以0(3,4)x ∈，故3n =．……6分

（Ⅱ）令2

()ln g b xb x a x =+-，[2,1]b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数， 根据题意，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立， 则2max ()(1)ln 0g b g x x a x =-=--<在(1,)x e ∈有解， 令2

()ln h x x x a x =--，只需存在0(1,)x e ∈使得0()0h x <即可，

由于22()21a x x a h x x x x

--'=--=，

令2

()2,(1,)x x x a x e ?=--∈，()410x x ?'=->，

∴()x ?在(1，e )上单调递增，()(1)1x a ??>=-，………9分 ①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ?>，即()0h x '>，

()h x 在(1，e )上单调递增，∴()(1)0h x h >=，不符合题意.

②当10a -<，即1a >时，(1)10.a ?=-<2

()2e e e a ?=--

若221a e e ≥->，则()0e ?<，所以在(1，e )上()0e ?<恒成立，即()0h x '<恒成立， ∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在0(1,)x e ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意. 若221e e a ->>，则()0e ?>，∴在(1，e )上一定存在实数m ，使得()0m ?=， ∴在(1，m )上()0x ?<恒成立，即()0h x '<恒成立， ()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在0(1,)x m ∈，使得0()(1)0h x h <=，符合题意.

综上所述，当1a >时，对任意[2,1]b ∈--，都存在(1,)x e ∈，使得()0f x <成立.…12分