数学物理方法 刘连寿
9解：
3．解
8—3 2．解：
数学物理方法第三章答案完整版
第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；
数学物理方法第八章作业答案
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
数学物理方法习题答案[1]
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
《数学物理方法》各章节作业题
《数学物理方法》各章节作业题 要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周 星期四上课时交第一章的作业，以此类推。 说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 （第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出） 希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：） 辅导答疑安排：待定 辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）
第5页（第三版）第6页（第四版）： 第1题中（1），（2），（4），（6），（10）； 第2题中（1），（2），（3），（7）； 第3题中（2），（3），（7），（8）； 第9页（第三版）第8页（第四版）： 第2题中（1），（3），（7），（9）； 第3题。 “第二章复变函数的导数”作业题（2月27日交） 第13页（第三版）第12页（第四版）：习题； 第18页（第三版）第16页（第四版）： 第1题； 第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）； 第23页（第三版）第20页（第四版）： 第1题 第3题。 “第三章复变函数的积分”作业题（3月6日交） 第38页（第三版）第31页（第四版）： 第1题，第2题； 补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分
?-l z dz α的物理意义。 补充题2：计算()?-l n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。 “第四章 复数级数”作业题（3月16日交） 第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题； 第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）； 第60页（第三版） 第47页（第四版）： （1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）； 第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。 “第五章 留数定理”作业题（3月23日交） 第71页（第三版） 第55页（第四版）： 第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）； 第2题中（1），（4）； 第3题； 第81页（第三版） 第63页（第四版）： 第1题中（4），（5），（7），（8）； 第2题中（4），（6）； 第3题中（1），（2），（7），（8）。 第二部分 积分变换
第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼
第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一
数学物理方法
数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 课程编号：22189906 总学时：72学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：数学是物理学的表述语言。复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分 介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。数学物 理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分 离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔 函数及其性质以及格林函数的基本知识。该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点， 同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。我 们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本 身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。 先修课程：高等数学 参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社 力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年
数学物理方法试卷(全答案).doc
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
姚端正《数学物理方法》(第三版)部分勘误表
姚端正《数理方法》（第三版）勘误表（部分） P9，“（3）若()f x 在闭区域……”应更正为“（3）若()f z 在闭区域……” P33，中部“任意一条分段光滑的曲线”应更正为“任意一条分段光滑的封闭曲线” P66，习题3.5第2（2）题：“0||z b R <-<”应更正为“||z b R -<” P85，倒数第6行、第7行“1res ()n k f z =∑”应更正为“1res ()n k k f z =∑” P86，例3的计算过程中“||1a <”应更正为“01a <<”，但计算结果仍然对“||1a <”范围成立，即该例题的讨论过程不够完整。 P87，第10行“d[(π)]θ--”应更正为“d(π)θ-” P88，第4行“如图5.4”应更正为“如图5.4（b ）”；第4题需补充条件：01x <<； 第5题：“适当围道计算”应更正为“适当围道（图5.4（a ））计算”。 P107，第3行“稳定状态”应更正为“稳恒状态”；“则热量将停止流动”应去掉这段文字。 倒数第3行“F 为单位长度……”应更正为“F 为单位体积……” P108，第6行“通过介面”应更正为“单位时间通过介面” P111，第6行“k h E =”应更正为“k h EA =” P120，第1行“//at x a c at x a c ++--? ”应准确写为“()/()()/()at x a c at x a c ++--? ” P121，第4-5行“则在τ?这段时间内”应更正为“则在τ?这段时间以后”； 第6行“t τττ<<+?”应更正为“t τ<” P124，第4大题中“()x ψ”应更正为“(,)x y ψ”；“()x ?”应更正为“(,)x y ?”； 解的表达式应更正为 ()01(,,)2π1 d 2πM M at at M a t t u x y t a t a τσσστ-???=+??????+?????????? P146，第2行“I 2I u xx u a u =”应更正为“I 2I tt xx u a u =” P271，第1行“2(2)(1)lim lim 1(1)(1) k k k k c k k R c l l k k →∞→∞+++===+-+”应更正为 “1k k R ===” P274，习题14.1第2题“0y xy ''-=”应更正为“0y xy ''-=” P280，习题14.2第6题“介电常数为ε”应更正为“相对介电常数为ε” P286，习题14.3第3题（1） ”
数学物理方法课程教学大纲
《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明： 本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材： 必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。 参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。 三、考试要点： 第一章复变函数 （一）考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 （二）考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv 第二章复变函数的积分 （一）考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 （二）考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 （一）考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 （二）考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 （一）考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 （二）考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 （一）考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 （二）考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题
数学物理方法
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
第八章 分离变数法数学物理方法 梁昆淼
第八章 分离变数法 1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。 解：可分为三种情况讨论： 1) 0>λ ，解为x x e C e C x X λλ-+=21)(，由边界条件只能得到平庸解 0)(=x X ， 显然没有意义。 ----------------(3分) 2) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得01=C ，于是 22,)(C C x X =为任意常数。 ----------------(2分) 3) 0<λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得 ???=-=????=-+---=-.0sin ,0. 0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时，必有 01=C ，这和上两种情况一 样没有意义。 b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时， 1C 不必为 零，这种是有意义的情况。此时由 0sin =-l λ 得到本征值 λ:).,3,2,1(22 2 =-=?-=n l n n l πλλ π 综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(22 2 =-=n l n πλ 此时，本征解为.cos )(1x l n C x X π= ----------------(5分) 1. 2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足
下面的条件， (1) 试给出所满足的数学物理定解问题； (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解 ； (3) 根据求出虚部。 3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分) 解：(1) 由题意，对于常微分方程： ()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0 X X π''== (2) 现在先求解X ，对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论： a) 0λ<，由(1)式的解是 12()x x X x C e C e λλ---=+ 积分常数1C ，2C ，由(2)决定，即 120C C -=，22120E E C e C e ππ----= 由此得出01=C ， 02=C 而0)(≡x X 。无实际意义，即0λ<无可能性。（3分） b) 0λ=，式(1)的解是 21)(C x C x X += 则根据(2)式，有 10C =， 1(2)0X C π'== 即2C 为任意数 此时2()X x C ≡。（3分）
数学物理方法
《数学物理方法(1)》教学大纲 学时：68 学分：4 适用专业：物理学 一、课程的性质、目的和任务 本门课程是学科专业方向课，属物理学专业必修课程。通过本课程的教学，使学生掌握并能运用矢量、张量初步、复变函数论、积分变换、分离变量法和球函数等理论物理的基本数学工具。培养学生严谨的逻辑和推演等理性思维能力，为学习物理系基础理论课量子力学、统计物理和电动力学等打好数学基础。使学生深入理解基本概念，适度锻炼、提高综合分析、解决问题的能力和耐力。 二、课程教学的基本要求 （1）掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在围道积分中的应用；（2）掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程； （3）初步学会确定边界条件和初始条件； （4）熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法和拉普拉斯变换法； （5）了解特殊函数的导出和意义。 三、课程教学内容 （一）矢量分析 1．算子 的运算规则，含算子的常用恒等式 2．梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系表达式 （二）复变函数 1．初等复变函数，多值函数的支点、黎曼面及其单值分支 2．复变函数导数，科希——黎曼方程、解析函数，共轭调和函数 （三）复变函数的积分 1．复变函数的积分 2．单通区域、复通区域上的科希定理与科西积分公式 （四）幂级数展开 1．复数项级数、幂级数、收敛圆与收敛半径 2．泰勒展开、罗朗展开及收敛环域的确定，解析延拓和奇点的分类 （五）留数定理 1．留数定理，极点的留数计算方法和利用留数定理计算实函数（主值）积分的方法
2．多值函数的回路积分 （六）傅立叶变换 1．傅立叶积分、傅立叶变换及其性质 2．狄拉克函数 （七）拉普拉斯变换基础 1．拉普拉斯变换，有理分式反演法，延迟定理，位移定理和卷积定理2．黎曼-梅林反演公式，运算微积方法求解微、积分方程 （八）分离变量法 1．波动方程，热传导方程和拉普拉斯方程等三类方程的分离变量法（九）球函数 1．勒让德多项式，勒让德方程的本征值和本征函数，母函数和递推公式2．具有轴对称性的物理问题等 四、课内实践教学要求 本课程无课内实践要求。 五、考核形式 考试（闭卷） 六、学时分配： 七、本课程与其它课程的联系
数学物理方法第二篇第3章
第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d ， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 1c at x =-，2c at x =+， 作自变量的变换，令 at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中，化简得 0=ξηu ， 利用偏导数的意义，得通解
)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ， 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(，C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d ， 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.
数学物理方法解析函数
第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念及哥西-黎曼条件 一 导数的定义 定义 2.1. 设函数()w f z =在区域D 上有定义，且z 及z z +?均属于D ，如果 0()()lim z f z z f z z ?→+?-? 2.1 存在，则称此极限为函数()f z 在z 点的导数，记为()df z dz 或'()f z . 这时称函数()f z 在z 点可微. 例1. ()n f z z =在复平面上每点均可微，且 1n n d z nz dz -=. 事实上，对固定的点z ，有 121100()(1)lim lim[()]2n n n n n n z z z z z n n nz z z z nz z ----?→?→+?--=+?++?=?. 例2. ()f z z =在复平面上均不可微. 事实上， z z z z z z z z z z +?-+?-?==???. 当0z ?→时，上式的极限不存在. 因为当z ?取实数而趋于0时，它趋于1，当z ?取纯虚数而趋于0时，它趋于1-. 函数在一点可微，则它在该点必连续，反之不一定正确. 例如函数()f z z =，由000 lim ()lim ()lim ()()z z z f z z z z z z z f z ?→?→?→+?=+?=?+==，知它在复平面上处处连续，但由例2知它处处不可微.
若函数(),()f z g z 在区域D 上z 点可微，则其和，差，积，商（要求分母不为0）在区域D 上z 点可微，且有如下的求导法则： [()()]''()'()f z g z f z g z ±=±， [()()]''()()()'()f z g z f z g z f z g z =+， 2 ()'()()()'()[]'(()0)()[()]f z f z g z f z g z g z g z g z -=≠. 二 哥西---黎曼条件 现在，我们来研究复变函数()f z 在点z 可微的必要条件和充分条件. 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在一点可微，也就是说， 0()()lim '()z f z z f z f z z ?→+?-=?. 2.2 令,()()z x i y f z z f z u i v ?=?+?+?-=?+?，其中 (,)(,)u u x x y y u x y ?=+?+?-， (,)(,)v v x x y y v x y ?=+?+?-， 则前式变为 00lim '()x y u i v f z x i y ?→?→?+?=?+?. 因为z x i y ?=?+?无论按什么方式趋于0，(2.2)式总是成立的.可先让 0,0,x y ?→?=即变点z z +?沿平行于实轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为 00lim lim '()x x u v i f z x x ?→?→??+=??. 于是知道,u v x x ????必存在，且 '().u v f z i x x ??=+?? 2.3 同样，让0,0,y x ?→?=即变点z z +?沿平行于虚轴的方向趋于z 点，此时(2.2)成为
高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版） 第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 (1).(2)(12)222; i i i i i i ---=---=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102 i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122 2 2 22 2 2 (5).()[( )] a b a bi a bi a b i a b a b +=+=++ ++1 1222 22 4 [(cos sin )]()(cos sin );22a b i a b i θ θ θθ=++=++ 3.设 11, 2i z += 23;z i =-试用三角形式表示12z z 及12 z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4 266z i z i π π ππ=+= + 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设1 2 3 ,,z z z 三点适合条件1 2 3 0z z z ++=及123 1;z z z ===试证明123 ,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。 证明：1 2 30;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
【最新】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞-) ()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3 sin 3 cos 2 3 1cos sin 2 32 1isin cos 2 2 2 π π ??ρ??ρi i i +=++=+= + 指数形式：由三角形式得：3 1 3 πρπ?i e z === 7、求函数2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z