2012年第十二届子陵杯八年级数学竞赛(二试)试题

2012年第十二届子陵杯学科竞赛（二试）八年级数学试卷

一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列运算正确的是（ ）

A.24±=

B.5)5(2

-=- C. 7)7(2=- D.3)3(2-=-

2．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A.221x y -=

B.

1

12x x

+= C.1-1x x -=（）(x+1) D.230x -= 3.．在下列命题中，真命题是（ ）

A. 两条对角线相等的四边形是矩形

B. 两条对角线互相垂直的四边形是菱形

C. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

D. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

4. 如图，以平行四边形ABCD 的坐标为（3，2），则点B 的坐标为（ ）

A.（－3，－2）

B.（2，3）

C.（－2，－3）

D.（3，2）

5.余姚某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽量了20如下的数据（单位：分）： 10 、12、15、8、16、18、19、18、20、18、18、20、28、22、25、20、15、16、21、1

6.若将这些数据以4分为组距进行分组，则组数是（ ） A ．4组 B ．5组 C ．6组 D ．7组 6.顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是（ ） A ．平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.等腰梯形

7.有一天，某市一家珠宝店发生了一起盗窃案，盗走了价值10万元珠宝，经过公安干警两个多月的侦查，锁定犯罪嫌疑人必是A 、B 、C 、D 四人中的一人，经审讯，四人提供了下面的口供。A 说：“珠宝被盗那天，我在别的城市，所以我不可能作案”；B 说：“D 是偷盗珠宝的人”；C 说：“B 是偷盗犯，三天前我看见他在黑市上卖珠宝”；D 说：“B 同我有仇，有意诬陷我，我不是罪犯”。经过进一步调查取证，这四人只有一个人说的是真话。你知道犯罪嫌疑人是谁吗？这四个人中谁说的是真话？（ ） A ．A D B ．B D C ．B C D ．.D B

8.如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A.12

B.1-

D.1-

9．如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是（ ） S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是 A 、S 1 ＞ S 2 B 、S 1 = S 2

C 、S 1 ＜ S 2

D 、S 1、S 2 的大小关系不确定

A

M

N

C

B 10．如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=B

C ，AE=DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）

A. 100° B ．90° C. 120° D，60° 二．填空题 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分．) 11、求代数式

2

1

2--x x 有意义时的x 的范围是 。

12写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题________． 13、关于x 的方程(k －2)x 2

－4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 满足的条件是________．

14．直角三角形的两条边分别是4和3，则其斜边的长为 15、如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点

N ，则MN =______

16．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，则BC 边上中线AD 的取值范围为 ． 17．如图，分别以Rt △ABC 的斜边AB ，直角边AC 为边向外作等边△ABD 和△ACE ，F 为AB 的中点，DE ，AB 相交于点G ，若∠BAC=300

，下列结论： ①EF ⊥AC ；②四边形ADFE 为菱形；③AD=4AG ；④△DBF ≌△EFA.其中正 确结论的序号是______

18在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA

PC ＝5，∠APB=135°,则PB ＝ ． 19．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则

图c 中的∠CFE 的度数是 ▲ .

20.如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到

第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第

n 个矩形的面积为 ．

三．解答题（本题有7题，共60分） 21、计算 （每小题3分，共6分）

（1

（2） 2)32(2)6332(--÷- 22. 解下列方程：（每小题4分，共8分）

图a 图b

A D A C

B A E

A

F A

C B A

C

G B 图c

第15题图

（第25题）

（1）)2()2(+=+x x x （2）01622

=+-x x

23．（本题6分）（1）分别化简214，1255

2（2分）

如图的4×4的方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，

21

4

， 125

5

2。（4分）

24．（本题8分）已知：如图，E 是矩形ABCD 边CB 延长线上一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点。 求证：BF ⊥FD

25.（本题10分）某中学八年级共有600名学生，学校为了增强学生的国防意识，在本年级进行了一次国防知识测验．为了了解这次测验的成绩状况，从中抽取了50名学生的成绩，将所得数据整理后，画出频数分布直方图如图所示（成绩都取整数）． （1）第四个小组和第五个小组的频数各是多少? （2）50名学生的成绩的中位数在哪一范围内?

（3）这次测验中，八年级全体学生成绩在80分以上的人数约是多少? （4）估计这次测验中，八年级全体学生的平均成绩是多少分?

26．（本题10分）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价

E

D

C

F

A B

为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答：

（1）当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？

（3）商家应把商品的单价定为多少元时，可获得最大利润，并求出此时的利润为多少？27. （本题12分）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O连接AF、CE,．

（1）如图1，．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q

四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

命题者：孙洪珍审题者：董琴平

第十二届子陵杯学科竞赛（二试）八年级数学答案

一．选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．）

11．X ≥0.5且x ≠2 12．如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

13．K<6且k ≠2 14．5或4 15．2.4 16．1

)4

1

( 三．解答题（本题有7题，共60分） 21、计算 （每小题3分，共6分）

（1（2） 2)32(2)6332(--÷- 解： 4 解：3—3

22. 解下列方程：（每小题4分，共8分）

（1）)2()2(+=+x x x （2）01622

=+-x x 解： 解：x 1=273+ x 2=2

7

3- x 1=-2,x 2=1

23．（本题6分）（1）分别化简214，

1255

2（2分） (2)如图的4×4的方格内画△ABC ，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，

21

4

，125

52。（4分）

解：略

24．（本题8分）已知：如图，E 是矩形ABCD 边CB 延长线上一点，CE ＝CA ，F 是AE 的中点。 求证：BF ⊥FD 解：连结DB,交AC 于点O,连结OF.

（第25题）

25.（本题10分）某中学八年级共有600名学生，学校为了增强学生的国防意识，在本年级进行了一次国防知识测验．为了了解这次测验的成绩状况，从中抽取了50名学生的成绩，将所得数据整理后，画出频数分布直方图如图所示（成绩都取整数）． （1）第四个小组和第五个小组的频数各是多少? （2）50名学生的成绩的中位数在哪一范围内?

（3）这次测验中，八年级全体学生成绩在80分以上的人数约是多少? （4）估计这次测验中，八年级全体学生的平均成绩是多少分? 解:(1)13， 10 (2)69.5~79.5 (3)276 (4)77.3

26．（本题10分）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答： （1） 当每件商品售价定为140元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元，商场日盈利可达1500元？

（3）商家应把商品的单价定为多少元时，可获得最大利润，并求出此时的利润为多少？ 解：（1）60件，盈利1200元 （2）150或170元

（3）定价为160元，最大利润为1600元。

27. （本题12分）已知，矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O 连接AF 、CE,．

E

D

C

F

A B

（1）如图1，．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q

四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

解：（1）证明：①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，

∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，

②设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8-x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+（8-x）2=x2，解得x=5，

∴AF=5cm．

（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形．

因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12-4t，

∴5t=12-4t，解得t=4/3，

∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=4/3秒．

②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：

i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12-b，得a+b=12；

ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12-b=a，得a+b=12；

ii i）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12-a=b，得a+b=12．

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．